黄金分割(成都市东湖中学九上数学)

1、 下面一组矩形中下面一组矩形中, 你觉得哪一个矩你觉得哪一个矩形最好看呢形最好看呢?黄金矩形黄金矩形CAB0.6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 09179805762862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788 0675208766 8925017116 9620

2、703222 1043216269 5486262963 1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364 8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221 2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788 3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053 1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480

3、710 1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834 7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764 8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115 8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131 7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596 1164562990 9816290555

4、 2085247903 5240602017 2799747175 3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093 9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264 7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149 9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362 1076738937 6455606060 5922. 度量C到点A、B的距离,ACABAC

5、BC与 相等吗？A AC CB B如图如图, ,点点 C C 把线段把线段 AB AB 分成两条线段分成两条线段 AC AC 和和 BC ,BC ,如果如果ACABACBC=那么称线段那么称线段 AB AB 被点被点 C C 黄金分割黄金分割( (golden sectiongolden section),),点点 C C 叫做叫做线段线段 AB AB 的黄金分割点的黄金分割点, ,AC AC 与与 AB AB 的比叫做黄金比的比叫做黄金比. .CABA AC C B B: 15 1 2 0.618 : 1ACABACBC=ACABACBC=AC2=AB BC5 1 2ACBC=ACAB5 1

6、 2由或，能得出点是线段的由或，能得出点是线段的黄金分割点吗？黄金分割点吗？方法总结方法总结证明线段上的点是线段的黄金分割点的方法：CAB如果如果ACABACBC=、，、，那么那么点是线段的点是线段的黄金分割点。（比例线段）黄金分割点。（比例线段）5 1 2ACBC=ACAB5 1 2、如果或，那么点是线段的黄金分割点。（比值法）如图，乐器上的一根弦如图，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点，两个端点A，B固定在固定在乐器板面上，支撑点乐器板面上，支撑点C是靠近点是靠近点B的黄金分割点，支撑点的黄金分割点，支撑点D是靠近点是靠近点A的黄金分割点。试确定支撑点的黄金分割点。试确定支撑点C到端点

7、到端点B的距离的距离以及支撑点以及支撑点D到支撑点到支撑点C的距离。的距离。ABCDCABD练一练 点拨点拨: : 5 1 2ACAB=3 5 2ADAB=黄金分割的事例黄金分割的事例黄金比在建筑、摄影、美术上的应用黄金比在建筑、摄影、美术上的应用黄金比在自然界中的发现黄金比在自然界中的发现人体的黄金比人体的黄金比0.618优选法优选法黄金比在军事上的应用黄金比在军事上的应用活动一：建立黄金分割的概念（1）以下）以下3张图片，哪张构图最美？张图片，哪张构图最美？（2）芭蕾舞演）芭蕾舞演员做相同的动员做相同的动作，踮脚尖和作，踮脚尖和不踮脚尖，哪不踮脚尖，哪个更美？个更美？活动一：建立黄金分割的

8、概念（）脸型相同，五官基本相同的）脸型相同，五官基本相同的3 3张脸，哪个更美？张脸，哪个更美？ 建立黄金分割的概念建立黄金分割的概念建立黄金分割的概念BAC建立黄金分割的概念 1在图在图1和图和图2中分别测量中分别测量AB、AC、BC，利用计算器计算，利用计算器计算 比值并填表比值并填表1（保留（保留2个有效数字）个有效数字） BA图图 1C数学美的魅力 古埃及胡夫金字塔古埃及胡夫金字塔人与黄金分割人与黄金分割 人体肚脐不但是黄金点美化身型，有时还是医疗效果黄金点，许多民间名医在肚脐上贴药治好了某些疾病。人体最感舒适的温度是23(体温)，也是正常人体温 （ 3 7 ） 的 黄 金 点（23=

9、370.618）。这说明医学与0.618有千丝万缕联系,尚待开拓研究。人体还有几个黄金点：肚脐上部分的黄金点在咽喉，肚脐以下部分的黄金点在膝盖，上肢的黄金点在肘关节。上肢与下肢长度之比均近似0.618.生命的黄金分割 最有意味的是，在人的生命程序最有意味的是，在人的生命程序DNA DNA 分子中，也包含着分子中，也包含着“黄金分割黄金分割比比”。它的每个双螺旋结构中都是由。它的每个双螺旋结构中都是由长长 3434个埃与宽个埃与宽2121个埃之比组成的，个埃之比组成的，它们的比率为它们的比率为1.61904761.6190476，非常接近，非常接近黄金分割的黄金分割的1.61803391.618

10、0339。这是否说明。这是否说明黄金分割律是比黄金分割律是比DNADNA中的遗传密码更中的遗传密码更基本的东西？因为承载基本的东西？因为承载DNADNA的结构的结构双螺旋结构双螺旋结构也遵循黄金分割律。也遵循黄金分割律。黄金分割律也许是我们的宇宙的黄金分割律也许是我们的宇宙的DNADNA中的遗传密码？中的遗传密码？ 武器装备与黄金分割 当发射子弹的步枪刚刚制造出来的时候，当发射子弹的步枪刚刚制造出来的时候，它的枪把和枪身的长度比例很不科学合理，很不它的枪把和枪身的长度比例很不科学合理，很不方便于抓握和瞄准。到了方便于抓握和瞄准。到了19181918年，一个名叫年，一个名叫阿尔阿尔文文约克约克的

11、美远征军下士，对这种步枪进行了改的美远征军下士，对这种步枪进行了改造，改进后的枪型枪身和枪把的比例恰恰符合造，改进后的枪型枪身和枪把的比例恰恰符合0.6180.618的比例。的比例。 黄金分割与优选法 数学上最优化问题的解决方法大致分为两类：数学上最优化问题的解决方法大致分为两类：间接最优化方法和直接最优化方法。间接最优化间接最优化方法和直接最优化方法。间接最优化方法是把研究对象用数学方程表示出来，再用数方法是把研究对象用数学方程表示出来，再用数学方法求最优解。但在许多情况下，对象本身处学方法求最优解。但在许多情况下，对象本身处理不清楚，间接最优化方法就无法使用，于是人理不清楚，间接最优化方法

12、就无法使用，于是人们就通过大量试验来寻找最优解。如何安排试验，们就通过大量试验来寻找最优解。如何安排试验，较快较省地求得最优解，这就是直接最优化方法。较快较省地求得最优解，这就是直接最优化方法。如果将实验点定在区间的如果将实验点定在区间的0.6180.618左右，那么实验的左右，那么实验的次数将大大减少。实验统计表明，对于一个因素次数将大大减少。实验统计表明，对于一个因素问题，用问题，用“0.6180.618法法”做做1616次实验，就可以取得次实验，就可以取得“对分法对分法”做做25002500次试验所达的效果。次试验所达的效果。2020世纪世纪5050、6060年代华罗庚在全国推广年代华罗

13、庚在全国推广“0.6180.618法法”，在生产中，在生产中获得大量应用，特别在工程设计方面应用最多，获得大量应用，特别在工程设计方面应用最多，成效最佳。成效最佳。 做一做做一做已知线段已知线段ABAB，按照如下方法作图：，按照如下方法作图：1 1、经过点、经过点B B，作，作BDABBDAB，使，使BD=BD=（1/21/2）ABAB；2 2、连接、连接ADAD，在，在DADA上截取上截取DE=DBDE=DB；3 3、在、在ABAB上截取上截取AC=AEAC=AE。（1 1）如果设）如果设AB=AB=2 2，那么，那么想想 一一 想想（2 2）点）点C C是线段是线段ABAB的黄金分割点吗？

14、的黄金分割点吗？BDBD= =ADAD= =ACAC= =BCBC= =5 3 5 5 1 1答：是理由如下：答：是理由如下：（）：（）：（）：（）：5 1 3 5 5 1 5 1 5 1 巴台农神庙巴台农神庙（Parthenom Temple）如果用图中的虚线表示的矩形画成如图所示的矩形ABCD，以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD，那么我们可以惊奇的发现， 。点E是AB的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？BCBEBCAB=FCAEBDFDCAEBBCBEBCAB=1.1.点点E E是是ABAB的黄金分割点吗？的黄金分割点吗？2.2.矩形矩形ABCDABCD的宽与长

15、的比是的宽与长的比是黄金比吗？黄金比吗？BCABBCBE=AEABAEBE=点点E E是是ABAB的黄金分割点的黄金分割点AEAB（即（即 ）是黄金比）是黄金比BCAB矩形矩形ABCDABCD的宽与长的比是黄金比的宽与长的比是黄金比宽与长的比等于黄金比的矩形也成为黄金矩形宽与长的比等于黄金比的矩形也成为黄金矩形议一议议一议一、如何作黄金矩形？二、能否利用线段上作出的两个黄金分割点作出五角星？1 1、作一条线段、作一条线段ABAB，并作出它的黄金分割点，并作出它的黄金分割点C C（ACAC为较长线段）；为较长线段）；2 2、以、以ACAC、BCBC或以或以ABAB、ACAC为长和宽作矩形。为长和

16、宽作矩形。CABCABD1 1、作线段、作线段ABAB，并作，并作ABAB的两个黄金分割点的两个黄金分割点C C、D D；2 2、分别以点、分别以点D D、点、点C C为圆心，以为圆心，以ADAD长为半径画弧，长为半径画弧，两弧交于点两弧交于点E E，连接，连接DEDE、CECE得等腰三角形得等腰三角形DECDEC；3 3、分别延长、分别延长EDED、ECEC到点到点F F和点和点G G，使，使EF=EG=ABEF=EG=AB；4 4、连接、连接AGAG、BFBF。CDBAEGF归归 纳纳 小小 结结 ：通过本节课的学习，你有什么收获？、概念：黄金分割、黄金分割点、黄金比、黄金矩形；、方法（）

17、判断黄金分割点的方法（）作线段黄金分割点的方法。、延伸：黄金分割在现实生活中的价值与意义。如图如图, ,点点 C C 叫做叫做线段线段 AB AB 的黄金分割点的黄金分割点, ,更上一层楼CAB如图，已知线段如图，已知线段AC,AC,并且点并且点C C是线段是线段ABAB的黄金分的黄金分割点，你能算出割点，你能算出ABAB的长吗？如果已知线段的长吗？如果已知线段BCBC呢？呢？试试看吧试试看吧！若若 ACAC=1, 则则 1AB=BC 15 - 12=即即 AB=5 + 121.6 18若若 BCBC=1, 则则 ACABAC1=5 - 12=即即 AB=5 + 322.6 18黄金分割哲学（

18、黄金分割的启示） 从黄金分割率的美感中从黄金分割率的美感中, , 我们领略出另一种我们领略出另一种韵味无穷的人生哲学韵味无穷的人生哲学. . 称其为称其为0.6180.618哲学哲学, , 或者更或者更响亮一些响亮一些, , 黄金哲学黄金哲学. . 它相仿于半半哲学它相仿于半半哲学: : 平和平和, , 稳健稳健, , 乐天知命乐天知命. . 可是可是, , 它又多了一点儿向上它又多了一点儿向上, , 一一点儿进取点儿进取, , 超越了一点儿平庸超越了一点儿平庸. . 人生之旅人生之旅, , 说短亦短说短亦短, , 说长亦长说长亦长. . 在这个旅在这个旅程上程上, , 你要有事业你要有事业,

19、 , 有生活有生活, , 有朋友有朋友. . 每每用黄每每用黄金分割率来度量金分割率来度量, , 你会有一种说不清道不尽的身心你会有一种说不清道不尽的身心怡旷怡旷. . 异 曲 同 工如图，设如图，设ABAB是已知线段，在是已知线段，在ABAB上作正方形上作正方形ABCDABCD；取；取ADAD的的中点中点E E，连接，连接EBEB；延长；延长DADA至至F F，使使EF=EBEF=EB；以线段；以线段AFAF为边作为边作正方形正方形AFGHAFGH。点。点H H就是就是ABAB的的黄金分割点。黄金分割点。如下方法也可以得到黄金如下方法也可以得到黄金分割点？分割点？绘画艺术中的黄金分割健康的黄

20、金分割率 气温在人体正常体气温在人体正常体温的黄金分割点上温的黄金分割点上2323左右时，恰是人的身心左右时，恰是人的身心最适度的温度；医学专最适度的温度；医学专家也观察到，当人的脑家也观察到，当人的脑电波频率下限是电波频率下限是8 8赫兹，赫兹，而上限是而上限是12.912.9赫兹，上赫兹，上下限的比率接近于下限的比率接近于0.6180.618时，乃是身心最具快乐时，乃是身心最具快乐欢愉之感的时刻。正常欢愉之感的时刻。正常人的心跳在心电图上也人的心跳在心电图上也显示出显示出T T波出现的位置恰波出现的位置恰好大约是一次心跳节拍好大约是一次心跳节拍的的“黄金分割黄金分割”位置上位置上（如图）。

21、（如图）。 什么是“斐波纳契数列”l斐波纳契是在解一道关于兔子繁殖的问题时，得出了这个斐波纳契是在解一道关于兔子繁殖的问题时，得出了这个数列。假定你有一雄一雌一对刚出生的兔子，它们在长到数列。假定你有一雄一雌一对刚出生的兔子，它们在长到一个月大小时开始交配，在第二月结束时，雌兔子产下另一个月大小时开始交配，在第二月结束时，雌兔子产下另一对兔子，过了一个月后它们也开始繁殖，如此这般持续一对兔子，过了一个月后它们也开始繁殖，如此这般持续下去。每只雌兔在开始繁殖时每月都产下一对兔子，假定下去。每只雌兔在开始繁殖时每月都产下一对兔子，假定没有兔子死亡，在一年后总共会有多少对兔子？没有兔子死亡，在一年后

22、总共会有多少对兔子？l在一月底，最初的一对兔子交配，但是还只有在一月底，最初的一对兔子交配，但是还只有1 1对兔子；对兔子；在二月底，雌兔产下一对兔子，共有在二月底，雌兔产下一对兔子，共有2 2对兔子；在三月底，对兔子；在三月底，最老的雌兔产下第二对兔子，共有最老的雌兔产下第二对兔子，共有3 3对兔子；在四月底，最对兔子；在四月底，最老的雌兔产下第三对兔子，两个月前生的雌兔产下一对兔老的雌兔产下第三对兔子，两个月前生的雌兔产下一对兔子，共有子，共有5 5对兔子；对兔子；如此这般计算下去，兔子对数分别如此这般计算下去，兔子对数分别是：是：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,

23、 55,89, 144, .1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,89, 144, .看看出规律了吗？出规律了吗？l从第从第3 3个数目开始，每个数目都是前面两个数目之和。个数目开始，每个数目都是前面两个数目之和。 黄金分割与斐波纳契数列的关系 黄金数是方程黄金数是方程 的根，整理的根，整理方程有：方程有：012 xxxx11我们利用这个关系构造一个数列：我们利用这个关系构造一个数列：), 2(11, 111Nnnaaann黄金分割与斐波纳契数列的关系 53,32,21, 14321aaaa我们可以得到：我们可以得到：,2113,138,85765aaa 这些数总在

24、这些数总在0.6180.618左右，而且他们的分子、分左右，而且他们的分子、分母都是相邻的斐波纳契数。母都是相邻的斐波纳契数。 因此，往往我们在谈论因此，往往我们在谈论“黄金分割黄金分割”或或“黄黄金数金数”时，通常还包含时，通常还包含“斐波纳契数列斐波纳契数列”或或“斐斐波纳契数波纳契数”。植物的神秘数字植物的神秘数字 在中国，梅花有着类似的象征意义。民间传说梅花五瓣代表着五福。民国把梅花定为国花，声称梅花五瓣象征五族共和，具有敦五伦、重五常、敷五教的意义。但是梅花有五枚花瓣并非独特，事实上，花最常见的花瓣数目就是五枚，例如与梅同属蔷薇科的其他物种，像桃、李、樱花、杏、苹果、梨等等就都开五瓣花。常见的