数学二中于世章

1、青岛市名师课堂青岛市名师课堂青岛二中青岛二中 于世章于世章（高中数学）（高中数学）2014.10.26 青岛二中青岛二中“蓝心结蓝心结”公益课堂公益课堂执教人执教人 于世章于世章2014 10 26莫道秋草黄莫道秋草黄 却见君行早却见君行早若问由何聚若问由何聚 此番风景好此番风景好羡鹤排空上羡鹤排空上 吟诗碧霄朝吟诗碧霄朝唯愿追梦人唯愿追梦人 争舞潮头豪争舞潮头豪一引子一引子 在德国数学家高斯的一部传记中，有这样一在德国数学家高斯的一部传记中，有这样一段话：段话： 有一个异乡人在巴黎问当地人，有一个异乡人在巴黎问当地人，“为什么贵为什么贵国历史上出了那么多伟大的数学家？国历史上出了那么多伟大的

2、数学家？” 巴黎人回答，巴黎人回答，“我们最优秀的人学习数学我们最优秀的人学习数学.” 又去问法国数学家，又去问法国数学家，“为什么贵国的数学一为什么贵国的数学一直享誉世界呢？直享誉世界呢？” 数学家回答，数学家回答，“数学是我们传统文化中最优数学是我们传统文化中最优秀的部分秀的部分.” 如果有一个异乡人在中国如果有一个异乡人在中国的高中学校内问高三学生：中的高中学校内问高三学生：中国的高三学生为什么热衷于数国的高三学生为什么热衷于数学？为什么学习数学废寝忘食？学？为什么学习数学废寝忘食？ 把数学看成是传统文化的一部分，而把数学看成是传统文化的一部分，而不是做为敲门砖或谋取名利的手段，我们不是

3、做为敲门砖或谋取名利的手段，我们的数学事业就会兴旺发达，数学研究和人的数学事业就会兴旺发达，数学研究和人才培养就会成为一种有序的制度，中国也才培养就会成为一种有序的制度，中国也有望成为真正的数学大国有望成为真正的数学大国. 二数学的基本思想二数学的基本思想 很多老师讲课的时候，内容讲很多老师讲课的时候，内容讲得很清楚，但是不讲思想得很清楚，但是不讲思想.结果是结果是学生往往抓不住问题的本质，这对学生往往抓不住问题的本质，这对培养创造性思维非常不利培养创造性思维非常不利. 有些老师教课很受学生欢迎，原有些老师教课很受学生欢迎，原因是什么呢？我个人认为，这样的老因是什么呢？我个人认为，这样的老师不

4、仅将内容讲的透彻，而且还会让师不仅将内容讲的透彻，而且还会让学生明白为什么这么讲，数学内容为学生明白为什么这么讲，数学内容为什么采用这样的呈现方式，这就不仅什么采用这样的呈现方式，这就不仅要知其然还要知其所以然要知其然还要知其所以然.这很重要这很重要. 什么是数学思想呢？函数方程、什么是数学思想呢？函数方程、等量替换、数形结合、分类、递归、等量替换、数形结合、分类、递归、转换；配方法、换元法、加强不等转换；配方法、换元法、加强不等式等等式等等. 本节课将在转换、数形结合、函数本节课将在转换、数形结合、函数方程等方面进行深入探讨方程等方面进行深入探讨. 为了更好的突出本节课的主题，我们为了更好的

5、突出本节课的主题，我们一起来做一个游戏一起来做一个游戏.课题课题 怎样解题怎样解题 三三.小试牛刀小试牛刀共需要件，丙各元，现在购买甲、乙、件，共需件、丙件、乙若购买甲元，件，共需件、丙件、乙买甲，若购有甲、乙、丙三种货物12 . 4110415. 3173【引例引例1】 元. 我受到的启发我受到的启发 数学解题能力的数学解题能力的提高，是建立在思维能力提高的基提高，是建立在思维能力提高的基础之上，不能把思维限定在已知的础之上，不能把思维限定在已知的框架内，打破框架的途径往往来自框架内，打破框架的途径往往来自灵感灵感. .不能否认部分灵感是普通常不能否认部分灵感是普通常识，而常识又常常是保守的

6、识，而常识又常常是保守的, ,灵感灵感也确实没有论证的力量，缺乏精细，也确实没有论证的力量，缺乏精细，但它并不妨碍我们对问题的思考但它并不妨碍我们对问题的思考. .【引例引例2】(2014年华约）年华约）x x1 1,x,x2 2,x,x3 3,x,x4 4,x,x5 5是正整数，任取是正整数，任取4 4个，其和组成的集合个，其和组成的集合为为44,45,46,4744,45,46,47，求这五个数，求这五个数. . 四四.在划归与转化中提升能在划归与转化中提升能力收获成绩力收获成绩 化归与转化的思想，就是在研究和化归与转化的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某解决数学问题时采

7、用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想问题的思想.转化是将数学命题由一种形转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程，化归是把式向另一种形式的变换过程，化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题一类已经解决或比较容易解决的问题.22ABC4 0)( 4 0)1259sinsinsinxoyACxyACB例1 在平面直角坐标系中，已知的顶点（ ，和，顶点B在椭圆上，则 .为（）中，则都在集合和且），（

8、的夹角，满足，面向量若两个非零的平，定义，面向量对于任意两个非零的平变式baZnabbababa|2n24.1mOCOBOAmOHHABC），则实数，两条边上高的交点为，外接圆的圆心为变式(O2 .BABAcbacbaCBAcoscos1coscosABC3数列，则成等差、，若、的边分别为，所对、中，角在变式 .为的值，则，若，分别交于点，直线与作一的重心如图，过变式yxxyACyAEABxADED110.ACABGABC4 .大值为的最为锐角），则、（北京高考）变式coscoscos(1sinsinsin5222 .15cos2-6cos4-cos6-cos32R201366的值求，年北约）

9、对于任意的（变式（一）特殊与一般的相互转化（一）特殊与一般的相互转化 对于那些结论不明或解题思路对于那些结论不明或解题思路易发现的问题，可先用特殊情形探易发现的问题，可先用特殊情形探求解题思路或命题结论，再在一般求解题思路或命题结论，再在一般情况下给出证明，这不失为一种解情况下给出证明，这不失为一种解题的明智之举题的明智之举.侧面的二面角范围吗？两个你能求出正三棱锥相邻例2形中心的轨迹是的矩于给定如图，内接变式ABC1 .oCAB .是的取值范围时，当的取值范围是则，且域内（不含边界）运动的延长线围成的阴影区及、线段在由射线，点如图所示，变式yxxOByOAxOPABOBOMPABOM21/2

10、 .（二）有限与无限的相互转化（二）有限与无限的相互转化 若将极限思想与特殊化原则相结若将极限思想与特殊化原则相结合，根据图形元素的极端位置或某合，根据图形元素的极端位置或某一类量的极端情形，来研究解决数一类量的极端情形，来研究解决数学问题，尤其是最大值、最小值、学问题，尤其是最大值、最小值、边界值等问题，常常是快速有效边界值等问题，常常是快速有效. .)2014(1) 1 (2)()2(3)()3(R)(3ffxfxfxfxfxxf，则，且，都有任意实数上的函数，对是定义在例 .的取值范围是，则，满足项和为的前数列的等差，公差为实数，首项为是，浙江高考）设（变式dSSSnadadann015

11、20106511（三）等与不等的相互转化（三）等与不等的相互转化 等与不等是辩证的两个方面，等与不等是辩证的两个方面，把不等问题转化成相等问题，可以把不等问题转化成相等问题，可以减少运算量，提高正确率；把相等减少运算量，提高正确率；把相等问题转化为不等问题，能突破难点问题转化为不等问题，能突破难点找到解题的突破口找到解题的突破口.074) 12(242个整数根何值时此方程至少有一取为正整数，问中的已知二次方程例aaaxaax.2|) 1(1212的取值范围值都成立，求的取的一切实数对于满足设不等式变式xmmxmx222( )2 ()213( )2xxf xet exxtf x变式2 （辽宁高考

12、）已知，求证：（四）常量与变量的相互转化（四）常量与变量的相互转化 解决数学问题时，变量的选取解决数学问题时，变量的选取对问题解决起至关重要的作用，打对问题解决起至关重要的作用，打破思维常规，合理选择变量，常使破思维常规，合理选择变量，常使难题峰回路转柳暗花明，起到事半难题峰回路转柳暗花明，起到事半功倍之效功倍之效.22.1.1 .0 .)2cos(0cossin4 , 02sinR44533DCBAyxayyyaxxayx）的值为（则，且，、设例0.0.0.0.3232R1xyDxyCyxByxAyxxyyx）那么（，且，已知变式.010R2的取值范围，求实数，且，已知变式abcacbacb

13、a（五）函数与方程的相互转化（五）函数与方程的相互转化 用函数与方程思想方法解题，就是用函数与方程思想方法解题，就是对所给出的数学问题，从不同角度仔细对所给出的数学问题，从不同角度仔细审视，看看此数学问题的解法，是否与审视，看看此数学问题的解法，是否与函数或方程有关联，若有，就可用函数函数或方程有关联，若有，就可用函数或方程的有关性质来求解；表面上看若或方程的有关性质来求解；表面上看若没有，能否经过一番改造（转化）为函没有，能否经过一番改造（转化）为函数或方程的问题，这样会便于问题的解数或方程的问题，这样会便于问题的解决决.最小周长为的一点，则上任意是侧棱的中点，是侧棱，各条棱的长都是中，如图

14、，正三棱锥例ADEPBDPCEABCP26 .ACBPED变式变式 如图，在直三棱柱如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，中，底面为直角三角形，底面为直角三角形， ACB90 ，AC6，BCCC1，P是是BC1上一上一动点，则动点，则CPPA1的最小值是的最小值是_.PC1B1A1CAB（六）高维与低维的相互转化（六）高维与低维的相互转化 事物的空间形成，总是表现为事物的空间形成，总是表现为不同维数且遵循由低维想高维的发不同维数且遵循由低维想高维的发展规律，通过降维转化，可把问题展规律，通过降维转化，可把问题有一个领域转换到另一个领域而得有一个领域转换到另一个领域而得以解决，这种转化在立体几何

15、中特以解决，这种转化在立体几何中特别常见别常见.为有理数？与，使实数年北大）是否存在（例3cot3tan20097xxx.22) 1(3442222的取值范围轴有交点，求实数有一条与中至少，已知三条抛物线：变式axaaxxyaxaxyaaxxy （七）（七） 正与反的相互转化正与反的相互转化 对于那些从对于那些从“正面进攻正面进攻”很难奏效或运算较难的问题，很难奏效或运算较难的问题，可先攻其反面，从而使正面可先攻其反面，从而使正面问题得以解决问题得以解决.仿佛为你而等待仿佛为你而等待整整三十一载整整三十一载不不 满满一节课满满一节课才等来了这笑语欢声才等来了这笑语欢声短暂相聚的时光短暂相聚的时光在在“转化转化“的轻柔与飘洒中的轻柔与飘洒