一个数学家的心路历程

1、一個數學家的心路歷程及對香港中學數學教育的一些看法 丘成桐教授丘成桐教授香港中文大學二零零四年三月二十日2我在香港的郊區元朗和沙田長大。那裏沒有電，也沒有自來水。小時候就在河中洗澡。家中有八兄弟姐妹，食物少得可憐。五歲時參加某著名小學的入學試，結果沒考上。原因是用了錯誤的記號，如把5757反寫成7575，6969反寫成9696等。3我只能上一所小小的鄉村學校。那裏有很多來自農村的粗野小孩。受到這些小孩的威嚇，加上老師處理不善，不到一年，我便身患重病。在家中養病的半年，我思索如何跟同學老師相處。升上小六時，我已經是一群小孩的首領，帶著他們在街頭亂闖。4家父是位教授。他教了我不少中國文學。可是，他

2、並不知道我曾曠課好一段日子。或者這是因為我在家中循規蹈矩，他教授的詩詞我也能背誦如流。5逃學的原因是老師不怎樣教學，在學校悶得發慌，不久連上街也覺得無聊了。當時香港有統一的升中試。我考得並不好，但幸好分數落在分界線上。政府允許這些落在分界線上的學生申請私立中學，並提供學費。我進入了培正中學。6培正是一所很好的中學。中學生涯的第一年乏善可陳。我的成績不大好，老師常常對我很生氣。大概剛從鄉村出來，“野性”未改吧。我熱中於養蠶、養小魚，到山上去捉各種小動物。沙田的風景美麗清新，在大自然的懷抱裏，倒是自得其趣，到如今還不能忘懷。看來在美國的中學老師常帶學生出課室外去看不同的事物，有時比課堂中的教育更重

3、要。我鼓勵小孩子多有不同的經驗。7當時武俠小說盛行，我很喜歡讀這些小說，沒有錢去買，就向鄰居借。父親不贊成我讀這些小說，認為膚淺，但我還是偷偷去看，也看了各種不同的章回小說如七俠五義、說岳全傳、東周列國志等雜書。父親從我小學五年級教我詩詞、古文和古典小說如三國演義、水滸傳、紅樓夢、西廂記等。父親堅持我在看這些小說時，要背誦其中的詩詞。當時雖以為苦，但順口吟誦，也慢慢習慣。總覺得沒有看武俠小說來得刺激。8但是真正對我有影響的卻不是武俠小說。中國古典文學深深影響了我做學問的氣質和修養。近代的作品，如魯迅的也有閱讀。記憶深刻的路是人行出來的，自己的路更要自己去走。武俠小說宣揚的個人英雄主義不見得有益

4、。9我們家中常有父親的學生來訪，往往興高采烈的談學問。他們討論時常常談及希臘哲學，雖然我對希臘哲學不大了解，但卻對它留下深刻的印象。希臘學者對真理和美無條件的追求是我一生做學問的座右銘。他們對康德的哲學、對自然辦證法的討論使我莫名其妙，但是久而久之，竟然引起了我對自然科學的興奮。10西方的作品如浮士德、戰爭與和平等文學著作，雖有接觸，但遠不如中國文學對我的印象深厚。我開始研讀史學名著史記和左傳。對史記尤其著迷。這不僅是由於其文字優美、音調鏗鏘，還是因為它敘事求真，史觀獨特。直到現在，我還不時披閱這書。史學大師駐足高涯，俯視整個歷史，與大科學家的思入風雲，干宇宙之奧秘遙相呼應。11在當時讀這些文

5、章，大多部份不能夠領會，尤其困難的是讀馮友蘭寫的新原道和新原人，但是重複的去讀，總有點收穫。晉晉陶淵明陶淵明好讀書，不求甚解，好讀書，不求甚解，每有會意，便欣然忘食。每有會意，便欣然忘食。12其實在做科學時，也往往有同樣的經驗，讀書只要有興趣，不一定要全懂，慢慢自然領會其中心思想，同時一定要做到不戚戚於貧賤，不汲汲於富貴。不戚戚於貧賤，不汲汲於富貴。這是古人的經驗，陶淵明的古文和詩有他的獨特氣質，深得自然之趣，我們做科學的學者也需要得到自然界的氣息，需要同樣的精神。13在以後的日子裏，我都以此作為原則，以研讀學問為樂事，不以為苦。在父親的循循善導下，我開始建立我對人生的看法。14到如今，我讀史

6、記至以下一段時，仍然使我心志清新司馬遷司馬遷孔子世家贊孔子世家贊天下君王至於賢人，眾矣！天下君王至於賢人，眾矣！當時則榮，沒則已焉，孔子布衣，當時則榮，沒則已焉，孔子布衣，傳十餘世，學者宗之傳十餘世，學者宗之。假如我們追求的永恆的真理，即使一時的挫折，也不覺灰心。15在培正的第二年，我多言多動，老師要記我小過。她是我的班主任，責任心強，誠然是為我好。當她知道家父是位教授，但卻拿著微薄的薪酬後，大為震動。此後在她悉心栽培下，我在課堂上規矩多了。我對潘老師一直都很感激。就在這年，我們開始學習平面幾何。16同學對抽象思維都不習慣。由於在家中時常聽父親談論哲學，對利用公理進行推導的做法，我一點也不覺得

7、見外。學習幾何後，我對父親的講話，又多明白了幾分。利用簡單的公理，卻能推出美妙的定理，實在令人神往。17對幾何的狂熱，提高了對數學包括代數的鑑賞能力。當你喜歡某科目時，所有有關的東西都變得淺易。我對歷史也甚有興趣。它培養我對事物要作一整體觀。事件是如何發生的？到底是甚麼原故？將來會如何？18就在這時，父親完成了他的西方哲學史。他跟學生談話，總是說應整體地看歷史。這種觀念深深地影響了我。這種想法，在往後的日子中，指引我去尋找研究項目。父親的書對我有很深的影響。19書中第一頁的引言文心雕龍文心雕龍 諸子諸子身與時舛，志共道申。身與時舛，志共道申。標心於萬古之上，而送懷與千載之下。標心於萬古之上，而

8、送懷與千載之下。這是何等的胸襟。20十四歲時，父親便去世了。這或許是我一生中最大的打擊。在一段頗長的日子裏，對父親離開了我和家人的事實，我都不能置信。家中經濟，頓入困境，我們面臨輟學。幸得母親苦心操持，先父舊交弟子的援手，我們才倖免如此。21家中遽變，令我更成熟堅強。困境中人情冷暖，父親生前的教導，竟變得真實起來。以前誦讀的詩詞古文，有了進一步的體會。我花了整整半年，研習古典文學和中國歷史，藉此撫平繃緊的心弦。典麗的詩詞教人欣賞自然之美。一個人在頹唐困苦的環境中，找出一個正當舒洩感情的方法，無論在做人和做學問方面都是最緊要的。在中學時就應當學習。22我閱讀了大量數學書籍，並考慮書中的難題。當這

9、些難題都解決掉後，我開始創造自己認為有挑戰性的題目。由個人去創造問題此後變成我研究事業中最關鍵的環節。學校的課本已經不能滿足我了。我跑到圖書館、書店去看書。我花了許多時間打書釘，閱讀那些買不起的書本。我讀了華羅庚先生寫的很多參考書，無論在分析或數論上的討論，都漂亮極了。也看了很多幫助課堂解題，例如:陳明哲寫的一些小冊子，一般來說，我會比課程早一個學期做完所有的習題，所以聽數學課是一程享受。23打從十五歲起，我開始替低年級學生當家教，以幫補家計。我找到一些巧妙的方法，使成績低劣的孩子搖身變成優等生，為此我覺得有點飄飄然。我積累了教導年青人的經驗，同時也體會到教學相長的道理。24我們的數學老師十分

10、好。他教授的內容，比課程要求來得艱深，但我覺得絲毫不費氣力。其實我的同學們雖然叫苦，但是總的來說，數學都不錯，這叫做取法乎其上，得乎其中。近代數學的教學方法，恐怕適得其反，取法乎其中，得乎其下。當時我們的物理老師不太行，對此不無失望。中學時養成不了物理上的基本直觀，至今於心還有戚戚焉。國文老師卻是無懈可擊。他是我的父執輩。他教導我們思想要不落俗套。25國文教師說思惟要自出機杼，讀好書之餘，爛書也無妨一讀，以資比較。因此我甚麼書都啃。他這種觀點，就是放諸我日後的科學生涯中，也有其可取之處。作文堂的一個典型題目豬的哲學觀豬的哲學觀於是大伙兒興高采烈，自由發揮。在班裏我並非名列前茅，數學科的等級也不

11、見得最高。但我比同班諸子想得更深，書也讀得更多。26中學讀書，除數學外，真正對我前途有影響的是國文和歷史。現在來談談中學國文和歷史對我的影響。最重要的是立志，覺得做學問是一輩子的志願。立志之後，必需培養興趣，而做習題和思考是不二法門。做學問要有興趣，才能深入，但追求學問的道路曲折有致，必須要有毅力，才能持久。 27在中學和大學的教育中最重要的一環是培養氣質培養氣質孟子我知言，我善養吾浩然之氣。曹丕譬諸音樂，曲度雖均，節奏同檢，至於引氣不齊，巧拙有素，雖在父兄，不能以移子弟 但是師友和讀書的環境卻足以轉變人的情懷雅志。28琴苑要錄伯牙學琴于成連，三年而成；至於精神寂寞，情之專一，未能得也。成連曰

12、吾學不能移人之情，吾師有方子春，在東海中。乃齎糧從之。至蓬萊山，留伯牙曰吾將迎吾師。刺船而去，旬時不返。伯牙心悲，延頸四望，但聞海水汨沒，山林窅冥，群鳥悲號。仰天歎曰先生將移我情。乃援琴作歌。移情二字本此。29做學問，無論是自然科學或文學都有氣質的問題，從文章中，往往可以看出作者的修養。古代注重音樂，從樂聲中可以看見國家的盛衰，也是同樣的道理。 30季札觀樂左傳季札觀樂左傳吳公子札來聘，請觀於同樂，使工為之歌周南召南。曰美哉，始基之矣。猶未也，然勤而不怨矣為之歌鄭，曰美哉，其細已甚。民不堪也，是其先亡乎。為之歌齊，曰美哉，泱泱乎，大風也哉。表東海者，其太公乎為之歌大雅，曰廣哉，熙熙乎，曲而有直

13、體，其文王之德乎。31在培養氣質上，師友的關係至為重要。韓愈韓愈師者，傳道授業解惑者也。 論語論語三人行，必有我師焉。32在與師友相交之際，言必及義，而最重要的善於發問。善問者如叩鐘，問之大者則大鳴，問之小者則小鳴。中國科學家最欠缺的是發問的精神。歷史上最著名的是屈原的天問篇遂古之初，誰傳道之，上下未形，遂古之初，誰傳道之，上下未形，何由考之何由考之。日月安屬，列星安陳。日月安屬，列星安陳。以後的學者很少有這種精神，可能是科學不發達的一個原因。33善於發問後，才能尋找到自己志趣所在，才能夠擇善而固執之。很多同學開始時讀書讀得很好，以後就灰心了，不求上進，一方面是基礎沒有打好，又不敢重新再學，一

14、方面是跟師友之間的關係沒有搞好，言不及義，得不到精神上的支持。有些則名利薰心，不求上進。我有些學生畢業時很踏實，受到表揚，就以為自己了不起，事實上學問還沒有成熟就凋謝了。 34一九六六年我進了中文大學。雖然對歷史抱著濃厚的興趣，我還是選擇了數學作為我的事業。就在這時，中學時唸的高等數學漸漸消化，開始時還不大懂，但一下子全都懂了。我比班中同輩高明不少。35大學的數學使我大開眼界。連最基本的實數系統都可以嚴格的建立起來，著實另人興奮萬分。當我了解數學是如此建構後，我寫信給教授，表達我的喜悅。這是本人賞析數學之始。一位剛從柏克萊畢業的博士來了香港，他名叫史提芬沙拉夫StephenSalaff。他對我

15、大為讚賞，我們合寫了一本有關常微分方程的書。36另外一位老師布狄Brody來自普林斯頓。他有一套獨特的教學法。他找來一本高深的數學著作，然後要求學生在書中找尋錯誤，並提出改正的方法。這是讓我們不要盲目依賴書本的良方。同時也訓練了我對書本上定理採取存疑的態度。我有時將某些定理推廣了，在課堂上說出來，他聽了很高興。37這些教導的重要性在於培養成獨立思考的習慣在人前表達數學同時在表達數學的時候，找出自己的弱點，與同學和老師一同切磋。 這不論對自己或對自己日後的教學都十分要緊。 38古人說學無常師，其實教亦無常法，有之，因人而施教也。孔門弟子問仁，孔子對每個人有不同的回答方法，而孔門弟子因此各有所長。

16、孔子教學有禮樂射御書數。西方Plato教學有幾何、數論、天文和音樂，合稱數學。 古今中外都以培養通材為訓練領袖的主要過程。39現代社會需要政界和工商業的領袖，也需要大量的工人、會計師、律師等的白領階級和藍領階級，訓練他們可能有不同的層次。但是有一點很重要的作為一個知識份子必需要具有推理的能力。自古以來最要緊和最富用途的就是三段論證方法。在學校學習邏輯方法最好的莫過於平面幾何的公理系統。熟習證明使我們思考清晰。40良好的中學教科書，必需要包含公理系統的學習。平面幾何的本身可能沒有用途，但是它的方法卻是最重要的。正如朱自清寫的荷塘月色的內容可能不重要，但我們要學他的文字的應用，書寫流暢的做法。學習

17、需要融匯貫通，更需要博聞強記。41有些人以為數學每一步都可推理，不宜強記，這是極為可笑的說法，我還沒有親眼看過一個偉大的數學家有這種能力。即使在做研究的時候，我們不能不記憶前人或近人的工作，使我們能夠向前作新的研究。往往記熟某一門技巧後，我們會突然融匯貫通，所以多做習題是很緊要的事，假如能夠讓學生在課堂上有所表現，不單老師對他們瞭解，他們也瞭解自己有甚麼不懂的地方。42學生既要強記，亦要貫通，兩者能混而為一乃是絕妙之處。同一個問題，可能有超過很多個不同的解法，學生能用不同的方法解題，值得鼓勵。譬如來說，畢氏定理是數學中最基本的定理，古往今來有無數的不同證明，能夠舉出一些不同的證明，會讓學生瞭解

18、不同的看法可以達到同一的目標。近代數學的大發展，往往起源於用不同的手法解決同一的問題，所以不可少看這些不同的證明。43數學既可以實用，亦獨立為一至為美麗的學科，習題可以重視實用，但絕對要討論看來無用但美麗的工作，重要的數學的發展可以從實用而形成，也可以追求純美而成功，要注意的是所有重要的實用數學都建基在純美的數學上。數學家和數學是分不開的，能夠多談數學歷史和數學家的經歷，會對培養學生的興趣有極大的幫助。44一本數學教科書能夠引導學生的興趣是一本最成功的教科書，可以講故事數學家的故事、創造這些命題的過程、中國數學、希臘數學、巴比倫的數學、阿拉伯的數學，都是有意思而影響著近代數學家思維的常識。，可以跟其他學科如物理、工程、經濟、音樂等等溝通的數學都值得討論。能使學生以學數學為樂乃是成功的教科書。45關於香港數學課程的評論，在上述個人的經歷中，我已經指出我在香港受到良好的數學教育，但是由我接觸到的香港學生和教育工作同事的談論中，我發覺香港的數學教育質素，與當年的名校相比，質素有明顯的下降。46太注重普及教育的結果，會在有意和無意間，將有興趣和有意義的數學教育忽略。即使學生質素良好，如果只學習淺易的課題，既無挑戰性