高等数学-第9章 - (多元函数微分学的几何应用)

1、高等数学 课程相关 教材及相关辅导用书 高等数学第一版，肖筱南主编,林建华等编著, 北京大学出版社2010.8. 高等数学精品课程下册第一版，林建华等编著,厦门大学出版社,2006.7.高等数学第七版,同济大学数学教研室主编，高等教育出版社,2014.7.高等数学学习辅导与习题选解（同济第七版上下合订本）同济大学应用数学系编 高等教育出版社,2014.8.第九章 多元函数微分学 9.1 多元函数的基本概念 9.2 偏导数 9.3 全微分 9.4 多元复合函数的求导法则 9.5 隐函数的求导公式 9.6 多元函数多元函数微分学的几何应用微分学的几何应用 9.7 方向导数与梯度 9.8 多元函数的

2、极值 9.9 综合例题4第六节第六节一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用 第九章第九章 5复习复习: : 平面曲线的切线与法线平面曲线的切线与法线已知平面光滑曲线已知平面光滑曲线)(xfy ),(00yx切线方程切线方程0yy 法线方程法线方程0yy 若平面光滑曲线方程为若平面光滑曲线方程为, 0),( yxF),(),(ddyxFyxFxyyx 故在点故在点),(00yx切线方程切线方程法线方程法线方程)(0yy ),(00yxFy )( ),(000 xxyxFx 0 )(00 x

3、xxf )()(100 xxxf 在点在点有有有有因因 0)( ),(000 yyyxFx),(00yxFy)(0 xx 6一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面位置位置. .TM平面平面. .空间光滑曲线在点空间光滑曲线在点 处的处的切线切线为此点处割线的极限为此点处割线的极限M过点过点 与切线垂直的平面称为曲线在该点的与切线垂直的平面称为曲线在该点的法法M71.设空间曲线的方程设空间曲线的方程)1()()()( tztytx ozyx(1)式中的三个函数均可导式中的三个函数均可导.M.),(0000tttzzyyxxM 对应于对应于;),(0000ttzyxM 对应于对应于设

4、设M 8考察割线趋近于极限位置考察割线趋近于极限位置切线的过程切线的过程zzzyyyxxx 000t t t 上式分母同除以上式分母同除以, t ozyxMM 割线割线 的方程的方程为为MM ,000zzzyyyxxx 9,0,时时即即当当 tMM曲线在曲线在M处的切线方程处的切线方程.)()()(000000tzztyytxx 切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量. )(),(),(000tttT 法平面：过法平面：过M点且与切线垂直的平面点且与切线垂直的平面.0)()()(000000 zztyytxxt 解解当当0 t时，时，, 2, 1, 0 z

5、yx,costext ,sincos2tty ,33tez , 1)0( x, 2)0( y, 3)0( z切线方程切线方程,322110 zyx法平面方程法平面方程, 0)2(3)1(2 zyx. 0832 zyx即即11(1).(1).空间曲线方程为空间曲线方程为,)()( xzxy ,),(000处处在在zyxM,)()(100000 xzzxyyxx . 0)()()(00000 zzxyyxxx 法平面方程为法平面方程为切线方程为切线方程为2.2.特殊地：特殊地：)(),(, 100 xxT 切向量切向量12(2).(2).空间曲线方程为空间曲线方程为,0),(0),( zyxGzy

6、xF切线方程为切线方程为,)()(100000 xzzzxyyyxx 法平面方程为法平面方程为.)()()(000000zzxzyyxyxx)()(xzzxyy隐式确定隐式确定,),(000处处在在zyxM求导求导将方程组对将方程组对 x 00dxdzGdxdyGGdxdzFdxdyFFzyxzyx),(),(xzxy )(),(, 100 xzxyT 切向量切向量13例例 2 2 求曲线求曲线6222 zyx，0 zyx在在点点)1, 2, 1( 处的切线及法平面方程处的切线及法平面方程.解解 1 1 直直接接利利用用公公式式; 1dxdzdxdyxdxdzzdxdyy,zyxzdxdy ,

7、zyyxdxdz 由由此此得得切切向向量量,1, 0, 1 T所求切线方程为所求切线方程为,110211 zyx法平面方程为法平面方程为, 0)1()2(0)1( zyx0 zx, 0)1,2, 1( dxdy, 1)1,2, 1( dxdz153例例的切线方程的切线方程上平行于平面上平行于平面求曲线求曲线42,32 zyxxzxy:解解),(000zyx设切点为设切点为x,x,T200321 ,n121 而而0 nTnT由由0341200 xx31, 100 xx)271,91,31(),1, 1 , 1(: 对应点对应点切切线线方方程程312111 zyx312713291131 zyx和

8、和16设曲面方程为设曲面方程为0),( zyxF),(),(),(000tttT 曲线在曲线在M处的切向量处的切向量,)()()(: tztytx 二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线nTM 的曲线的曲线在曲面上任取一条过在曲面上任取一条过),(000zyxM.点有无穷多条曲线点有无穷多条曲线曲面上过曲面上过M:问题问题?平面上平面上点的切线是否都在同一点的切线是否都在同一这些曲线在这些曲线在M17 在光滑曲面 上通过点 M 的任何曲线在点 M 处的切线都在同一平面上.命题命题: :.M曲面的切平面在点称此平面为 nTM事实上, 因)t (z, )t (y, )t (x: 0 )t (

9、, )t (, )t (F 两边对 t 求导,0tt ),(000zyxM)z ,y,x(Fx000)t (0 )z ,y,x(Fy000 )t (0 )z ,y,x(Fz000 )t (0 0 18)z ,y,x(Fx000)t (0 )z ,y,x(Fy000 )t (0 )z ,y,x(Fz000 )t (0 0 )t (, )t (, )t (T000 记记 )z ,y,x(F, )z ,y,x(F, )z ,y,x(Fnzyx000000000 nT 表明这些切线都在以的同一平面上 ， 从而切平面存在 .,的任意性的任意性由于曲线由于曲线为法向量为法向量n19)( ),(0000 x

10、xzyxFx),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx曲面曲面 在点在点 M M 的的法向量法向量法线方程法线方程 000zzyyxx)( ),(0000yyzyxFy0)(,(0000zzzyxFz切平面方程切平面方程),(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFznTM20例例 4 4 求曲面求曲面32 xyezz在点在点)0 , 2 , 1(处的处的切平面及法线方程切平面及法线方程.解解, 32),( xyezzyxFz,yF),(),(x42021021 ,xF),(),(y22021021 ,eF),(z),(z01021021 令

11、令切平面方程切平面方程法线方程法线方程,)z()y()x(0002214 ,yx042 .zyx001221 yFx2 xFy2 zzeF 1,n024 21特殊地：空间曲面方程为特殊地：空间曲面方程为),(yxfz 曲面在曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为,)(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx 曲面在曲面在M处的法线方程为处的法线方程为.1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx,),(),(zyxfzyxF 令令处的法向量处的法向量曲面在曲面在),(000zyxM n1),(),(0000 yxfyxfyx22,1cos22yxxfff ,1co

12、s22yxyfff .11cos22yxff ),(00yxffxx ),(00yxffyy 其中其中点点在在对于对于),(),(:000zyxMyxfz 则法向量的则法向量的方向余弦方向余弦为为),(),(10000yxfyxfnyx此时此时23例例 5 5 求旋转抛物面求旋转抛物面122 yxz在点在点)4 , 1 , 2(处的切平面及法线方程处的切平面及法线方程. 解解, 1),(22 yxyxf)4, 1 ,2()4, 1 ,2(1,2,2 yxn,1, 2, 4 切平面方程为切平面方程为, 0)4()1(2)2(4 zyx, 0624 zyx法线方程为法线方程为.142142 zyx

13、24例例 6 6 求曲面求曲面2132222 zyx平行于平面平行于平面064 zyx的各切平面方程的各切平面方程. 解解设设 为曲面上的切点为曲面上的切点,),(000zyx切平面方程为切平面方程为0)(6)(4)(2000000 zzzyyyxxx依题意，切平面方程平行于已知平面，得依题意，切平面方程平行于已知平面，得,664412000zyx .2000zyx 25因为因为 是曲面上的切点，是曲面上的切点，),(000zyx, 10 x所求切点为所求切点为满足方程满足方程),2 , 2 , 1(),2, 2, 1( 0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx0)2(12)2(8

14、)1(2 zyx2164 zyx切平面方程切平面方程(1)切平面方程切平面方程(2)26使曲面使曲面 与球面与球面例例7. 7. 确定正数确定正数 zyx222zyx在在),(000zyxM解解: : 二曲面在二曲面在 M M 点的法向量分别为点的法向量分别为 ,yx,zx,zyn0000001 二曲面在点二曲面在点 M M 相切相切, , 则有则有21nn000000000zyxyzxxzy 200002000020000zzyxyzyxxzyx 202020zyx 又点又点M M在球面上在球面上, ,32202020azyx 于是有于是有000zyx 0002z,y,xn 2a相切相切.

15、. 333a 27上求一点上求一点 , , 使该点处的法线垂直于使该点处的法线垂直于练习题：练习题：1.1. 在曲面在曲面yxz ,093 zyx并写出该法线方程并写出该法线方程 . .提示提示: : 设所求点为设所求点为, ),(000zyx则法线方程为则法线方程为000zzyyxx 利用利用113100 xy得得313000 z,y,x平面平面0y0 x1 000yxz 法线垂直于平面法线垂直于平面点在曲面上点在曲面上法线方程为法线方程为133113 zyx282 .2 .求曲线求曲线 0453203222zyxxzyx在点在点(1,1,1)(1,1,1)的切线的切线点点(1,1,1)(1

16、,1,1)处曲面和平面的法向量分别为处曲面和平面的法向量分别为)2,2,1( 因此切线的方向向量为因此切线的方向向量为)1,9,16( 由此得由此得切线切线: :111 zyx1691 法平面法平面: :0)1()1(9)1(16 zyx024916 zyx即即与法平面方程与法平面方程. . )1 , 1 , 1(1)2,2,32(zyxn )5,3,2(2 n21nnl 已知曲线既在曲面上，已知曲线既在曲面上，（1,1,1)1,1,1)处的切线的方向向量与曲面的切平面的处的切线的方向向量与曲面的切平面的法向量、法向量、解：解：也在平面上。也在平面上。 则它在点则它在点平面的法向量均垂直。平面

17、的法向量均垂直。291. 1. 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 切线方程切线方程 000zzyyxx 法平面方程法平面方程)(00 xxt 参数式情况参数式情况. . )()()(:tztytx 空间光滑曲线空间光滑曲线切向量切向量内容小结内容小结)(0t )(0t )(0t )( )(00yyt 0)(00 zzt )(, )(, )(000tttT 30空间光滑曲面空间光滑曲面0),(: zyxF曲面曲面 在点在点法线方程法线方程),(0000zyxFxxx ),(0000zyxFyyy ),(0000zyxFzzz )( ),()( ),(00000000yyzyxFxxzyxFyx 1) 1) 隐式情况：隐式情况： 的的法向量法向量),(000zyxM0)(,(0000 zzzyxFz切平面方程切平面方程2. 2. 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 31空间光滑曲面空间光滑曲面),(:yxfz )( ),()( ),(0000000yyyxfxxyxfzzyx 切平面方程切平面方程法线方程法线方程1),(),(0000000 zzyxfyyyx