北京重点中学2012015学年高二下学期期中考试数学理试卷版含答案

1、北京市20142015学年度第二学期期中考试高二数学（理）试卷（考试时间：100分钟总分：100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1 .已知复数z满足：zi=2+i（i是虚数单位），则z的虚部为（）A.-2iB,2iC.2D,-22 .图书馆的书架有三层，第一层有3本不同的数学书，第二层有5本不同的语文书，第三层有8本不同的英语书，现从中任取一本书，共有（）种不同的取法。A.120B.16C.64D.3923 .已知曲线y=±-3lnx+1的一条切线的斜率为则切点的横坐标为4 2（）1A.3B.2C.1D.124

2、 .由直线y=1,y=2,曲线y及y轴所围成的封闭图形的面积是2x（）A.2ln2B.2ln2-1C.11n2D.-245 .以下说法正确的是（）A,在用综合法证明的过程中，每一个分步结论都是结论成立的必要条件B,在用综合法证明的过程中，每一个分步结论都是条件成立的必要条C.在用分析法证明的过程中，每一个分步结论都是条件成立的充分条件D.在用分析法证明的过程中，每一个分步结论都是结论成立的必要条件6 .设函数f(x)=xlnx,则f(x)的极小值点为()A.x=eB.x=ln2C.x=e2D.xe7 .已知21x1=2,22x1x3=3x4,23父1黑3父5=4父5x6,.,以止匕类推，第5个

3、等式为()A_4_A. 21357=56785B. 213579=56789C. 2413579=678910D. 2513579=6789108 .在复平面内，复数34i,i(2+i)对应的点分别为A,B,则线段AE的中点C对应的复数为()A.-2+2iB.2-2iC.-1+iD.1-i9 .已知函数f(x)=；x2+cosxf(x)是函数f(x)的导函数，则f'(x)的图10 .设函数y=f(x)在区间(a,b)上的导函数为f'(x),fx)在区间(a,b)上的导函数为f”(x),若区间(a,b)上f"(x)0,则称函数f(x)在区间(a,b)上为“凹函数”，已知

4、f(x)=2ox5.112mx4-2x2在(1,3)上为“凹函数”，则实数m的取值范围是()3131A.(-°o,一)B,一,5C.(-«,3D.(一叫5)99二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分.)11 .函数f(x)=x3+ax2在(1,f上是增函数，则实数a的取值范围是2212 .设集合A=1,2,3,4,5,a,bwA,则方程勺+工=1表示焦点位于y轴上的ab椭圆有个.'n)、sinx,x|0,j213 .设f(x)=_',贝Ugf(x)dx为。x52014 .已知复数z=x+yi(x,ywR,x#0回z2=%；3,则:的范围为.15 .

5、在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有c2=a2+b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O-LMN,如果用SSS表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么类比得到的结论是N16 .对定义在区间D上的函数f(x)ffig(x),如果对任意xD,都有f(x)-g(x)W1成立，那么称函数f(x)在区间D上可被g(x)替代，D称为“替代区间”.给出以下命题：1f(x)=x+1在区间(-°o,+=c)上可被g(x)=x+-替代；f(x)=x可被g(x)=11替代的一个“替代区间”为12

6、；4x42 f(x)=lnx在区间1,e可被g(x)=xb替代，则e-2<b<2; f(x)=lg(ax2+x)(xwD)g(x)=sinx(xwD2),则存在实数a(a=0),使得f(x)在区间D°D2上被g(x)替代；其中真命题的有三、解答题(本大题共4小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17.(本小题共8分)已知函数f(x)=x3+ax2+2,x=2是f(x)的一个极值点，求：(1)实数a的值；(2)f(x)在区间匚1,3】上的最大值和最小值18 .（本小题共8分）若a、b、c均为实数，且a=x2-2y+土，b=y2-2Z+土，c=Z2-2x+

7、236求证：a、b、c中至少有一个大于0。19 .(本小题共10分)已知函数f(x)=exax1(awR).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数F(x)=f(x)-1x2在1,2上有且仅有一个零点，求a2的取值范围；20 .(本小题共10分)已知数列小的各项均为正整数，对于任意nwN*,都有11十2+<an<2+-成立，且a2=4.Oni1ann1(1)求a1，a3的值；(2)猜想数列劣的通项公式，并给出证明.北京市20142015学年度第二学期期中考试高二(理)试卷答案及评分标准、选择题序号12345678910答案DBAABDDDAC二、填空题1.1 IT)12.101

8、3.3-114.-73,73115.s12+s22+s32=s4216 .三、解答题17 .(1)因为，f'(x)=3x2+2ax,(1分)(2分)(3分)f(x)在x=2处有极值，所以，f'(2)=0,即3M4+4a=0,所以,a=-3。(2)由(1)知a=3,所以f(x)=x33x2+2,f'(x)=3x26x(4分)令f(x)=0，得x1=0,x2=2,当x变化时f(x),f(x)的变化情况如下表:x-1(-1,0)0(0,2)2(2,3)3f(x)+0-0+f(x)-22-22(7分)从上表可知f(x)在区间-1,3上的最大值是2,最小值是-2。(8分)18 .

9、证明：假设a,b,c都不大于0,即a<0,b<0,c<0.a+b+cM0(4分)1abc=x-2yy-2zz-2x236=(x-1)2(y-1)2(z-1)2二3>0与上式矛盾(8分)a,b,c中至少有一个大于0x19.(1)解：f(x)=ea(1分)当a<0时，(x)>0,则f(x)在(q,书c)上单调递增(2分)当a>0时，f(x)在(_oo,lna)上单调递减，f(x)在(Ina,十.)上单调递增.(4分)(2)解：由F(x)=f(x)-x22x12.ex-1=0,得a=2xe考查函数g(x)=12x-12x(x-1)ex-1x21(xw1,2)

10、，贝Ug'(x)=22xx12x/、令h(x)=(x-1)e-x+1,h(x)=x(e-1)2当1ExM2时，h(x)>0,h(x)在1,2】上单调递增(5分)(6分)(7分)x1-h(x)>h(1)=1>0,gx)>0,g(x)在1,2】上单调递增(8分)2x12.ex-11g(x)=2在1,2】上的最小值为g(1)=e-；,最大值为g(2)2(e-3)(9分),当ewaw；(e23)时，函数F(x)=f(x)x在1,2】上有且仅有一个零点(10分)20.11十(1)因为2+，aa<2+,a2=4an111annn1,一、111112,2当n=1时，由2+<2+<2+，即有2+一父一+<2+，a2©a2Ja14a14a1-2解得一：二a138彳±7.因为&为正整数，故ai1.(2分)当n=2时,1由2,：二6a31+1<4a3J<21(4分)解得8<a3<10,所以a3=9.2.(2)由a1=1,a?=4,a3=9,猜想：an=n(5分)下面用数学归纳法证明.10当n=1,2,3时，由（1）知an=n2均成立.2o假设n=k（k>3）成立，则ak=k2,，-1由条件得2-ak1：