关于超越方程的解法

1、定义1:不是代数函数的函数称为超越函数。定义2:指数函数、对数函数、无理数的募函数、三角函数、反三角函数统称为根本初等超越函数。定义3:最简超越方程是指形如的方程，其中是根本初等超越函数，是常数。解最简超越方程是求一切使根本初等函数的值等于常数的变数值。下面介绍根本初等超越方程的解法一、指数方程定义4:在指数里含有未知数的方程叫做指数方程，特殊地，形如的方程叫做最简指数方程。1.1 最简指数方程的解法当时，方程有唯一解；当时，方程无解。1.2 指数方程的解法解指数方程的主要工具下面的几种同解变形：(1)方程与方程同解；(2)方程与方程同解；(3)方程且与方程同解。因为(4)方程与方程同解；(5

2、)方程其中与方程组同解。即换元法例1:解方程类型或解：例2:解方程类型解：原方程可变形为于是有由此解得例3:解方程类型解：或例4:解方程类型解：以除原方程的两边，得令代入上式，得解得，其中不满足的条件，舍去。所以二、对数方程定义5:在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程。特殊地，形如的方程叫做最简对数方程。2.1 最简对数方程的解法对于任何，方程总有唯一解。-可修编-2.2 对数方程的初等解法解对数方程时不仅要用到同解变形，而且要运用非同解变形，所以在求出根后，一般应验根,以发现有无增根，失根，常用变形有以下几种：(1)根据对数定义。方程可同解变形为(2)方程可以变形为，定义域扩大，应验根

3、。(3)运用对数根本恒等式，对数运算法那么和换底公式进展变形，应注意，验根。(4)对一个等式的两边取对数。等式两边必须都取正值(5)方程与方程组同解.即换元法注：解对数方程时哪些类型符合同解变形，哪些类型不符合同解变形。例5:解方程类型解：4=4=1=3例6:解方程解：运用换底公式将原方程化为类型令，那么有，即由，得由，得经检验，和都是原方程的根。例7:解方程解：方程的定义域是对方程两边取常用对数，得类型令那么可化为解得由由经检验，两根都是原方程的根。三、三角方程定义6:含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程，特殊地，形如：，的方程叫做最简三角方程。3.1 最简三角方程的通解公式的解集是当时无

4、解。的解集是当时无解。的解集是的解集是3.2 三角方程的解法-可修编-但凡可以用初等方法求解的三角方程，一般总可以通过三角式的恒等变形和代数方程将原方程划归为一个或几个最简三角方程。然后写出它的解，由于三角函数的丰富内涵，三角恒等变形的千变方化，因而三角方程的解法也是灵活多样的。三角方程的常用解法有以下几种：3.2.1 用同名三角函数的相等关系根据最简三角方程的通解公式，有以下命题成立：如果其中是的函数，以上诸式仍然成立。例8:解方程解：由原方程可得当时，可解得当时，可解得3.2.2 解方程化积，倍角公式等进展因式分解例9:解方程解：原方程即分别解原方程的解以上解题过程都是用的恒等变形，定义域

5、无变化，故无增解，失解，如果在方程两边同除以，将会失解。3.2.3 化为关于和齐次方程这种方程的一般形式为如，那么以除方程的两端，于是得到与原方程同解得方程：这是关于的代数方程，由此求得的值，使得到以正切函数表示的最简三角方程。如果，但，那么方程可化为如下形式：由此可得，或这后一个方程可按得方法求解。例10:解方程解：方程两边同除以暂设，得-可修编-即由，得由，得解题过程中，在方程到这一步可能失根。因此，须将的解代入原方程检验，显然不适合如果适合，那么须补日此失根。因此原方程的解是3.2.4 引入辅助角的方法对于形如为非零实数的三角方程，可在方程两边都除以，然后令，即，那么方程变形为当时，方程

6、有解。否那么这方程无解。例11:解方程解：将原方程变形为令，那么方程可化为或即或由于，代入上式，得原方程的解3.2.5 运用降次公式把的高次方程化为低次方程然后求解例12:解方程解：原方程可化为即由，得由，得注意到解集是解集的真子集，不必重复。所以原方程的解是3.2.6 换元法例13:解方程解：令，那么原方程化,即所以即。所以3.2.7 运用三角函数的有界性例14:解方程解：原方程化为即因为，所以要使方程成立，必须-可修编-因为，所以因此原方程的解是3.3 三角方程的解集的等效性般地说，只要解在解三角方程时，由于解法不同或所取特殊解的代表值具有不同表达式,法正确，在别除增解，补回失解之后，同一

7、方程的不同形式的解集应该是等效的。判别解集等效性有两种常用方法3.3.1 推理法：通过推理，证明同一方程的表达式不同的两个解集是相等的。例15:解方程解法1:，故解法2:根据三倍角公式，原方程即原方程的解集为解集和是等效的，即它们是相等的集合，证明如下：其中3.3.2 实验法：先找出两个解集的代表值增减的公共周期，然后算出两解集在区间内的具体数值，看它们是否一致。例16:解方程解法1:解集是解法2:解集是当值每增加1时，和中所含的五个子集的代表值分别增加它们的最小公倍数是，即公共周期。算出和的值在0到间的特殊的值：的值的值可见和的这两组取值一样，因此和是等效的。四、反三角方程定义7:反三角函数

8、符号后面含有未知数的方程叫做反三角方程。解反三角方程常需对方程的两边施行三角运算，这样变形的结果容易引入增解，有时也可能失解。例如方程与是不同解的。方程是方程的结果，方程的解是可见方程不仅含有方程的解当时的值，而且含有许多不是方程的解时的-可修编-值，即含有方程的增解。因此，在解反三角方程时必须注意根的检验。例17:解方程解：设，那么从而有因为，所以即，于是有由此解得经检验，为原方程的解，为增根。例18:解方程解：原方程即由上述讨论知，原方程变形为方程只可能曾根，不可能失根，所以先解方程。因为即由此得经检验，是原方程的根，是增根总结上面对求初等超越方程解法的一些方法和技巧作了一些归纳和整理，希望读者在解题过程中进一步探索规律总结方法，从而迅速，准确的解决不同类型的方程，不断提高解初等超越方程的能力。参考文献1李长明，周焕山.初等数学研究M.:高等教育，1995:2192312余元希，田万海，毛宏德.初等代数研究下册M.高等教育，1988.2:1952033X尊宙，X广祥.中学代数研究M.高等教育，2006.6:2072184林国