【理科附加】专题01平面几何证明-十年高考2009-2018之高三数学分项与解读江苏专版版含解析

1、专题1平面几何证明【考情概览】年份题号考点难度层次考查内容，方式，模型等201821A平囿儿何证明简单平囿儿何证明201721A平面几何证明简单平面几何证明201621A平囿儿何证明简单平囿儿何证明201521A平面几何证明简单平面几何证明201421A平面几何证明简单平面几何证明201321A平面几何证明简单平面几何证明201221A平面几何证明简单平面几何证明201121A平面几何证明简单平面几何证明201021A平面几何证明简单平面几何证明200921A平面几何证明简单平面几何证明【真题展示】1.12018江苏，理21A选彳4-1:几何证明选讲（本小题满分10分）如图，圆 O O 的半径

2、为2,ABAB 为圆 O O 的直径，P P 为 ABAB 延长线上一点，过 P P 作圆 O O 的切线，切点为 C C.若PC2J3,求 BCBC 的长.（第21-4题）【解析】证明：连结 OCOC 因为 PCPC 与圆 O O 相切，所以 OCLPCOCLPC又因为 PG2PG2。，OC2,OC2,所以OP=VPC2OC2=4.又因为 OBOB2,从而 B B 为RtOCFMOCFM 边的中点，所以 BGBG2.212009江苏，21A选修4-1:几何证明选讲如图，在四边形ABCM,ABCBAD.【解析】证明：由ABCABAD得/ACB4BDA故AB、C、D四点共圆，从而/CBAWCDB

3、再由ABCBAD得/CAB4DBA因此/DBAhCDB所以AB/CD.312010江苏，21Al选修4-1:几何证明选讲AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C,若DA=DC求证：AB=2BC又OA=ODDA=DC所以/DAO之ODA=DCQ/DOC=DAO+ODA=2DCO所以/DCO=30,/DOC=60,所以OC=2OD即OB=BC=OD=O肺以AB=2BC4.12011江苏，21A选修4-1:几何证明选讲如图，圆。与圆O内切于点A,其半径分别为与r2(口2上).求证：AB：AC为定值.).圆O的弦AB交圆Q于点C(O1不在AB求证：AB/CD.【解析】证明：

4、连OD则：ODLDC【答案】详见解析【解析】解：如图，利用EC/DB,AB:AC=ADAE=2n:2r2,证出结论5.12012江苏，21A】选彳41:几何证明选讲如图，ABAB 是圆 O O 的直彳仝,D,ED,E 为圆 O O 上位于 ABAB 异侧的两点，连结 BDBD 并延长至点 C C使 BD=DCBD=DC 连结 ACAEDEACAEDE 求证：/E=ZC.E=ZC.【答案】详见解析.解析证明：如图，连结0C,因为RD=DC/0为AR的中点,所以口D/AJC,D/AJC,于是NQDBNQDB= =NC.NC.因为OB=OIbOB=OIb所以NODB=/B.NODB=/B.于是/B=

5、/G/B=/G因为点和E,B,DE,B,D普醒图0 0上，目 4E E为图。上位于ABAB异侧的两点，所以Z3Z3和4 4为同弧所对的圆周角，故CE=NB,CE=NB,所以/E=NC/E=NC. .6.12013江苏，21A选彳41:几何证明选讲（本小题满分10分）如图，ABAB 和 BCBC 分别与圆 O O 相切于点 D,C,ACD,C,AC 经过圆心 O,O,且 BC=BC=2OCOC求证：AC=AC=2ADAD【解析】证明：连结OD.因为AB和BC分别与圆O相切于点D,C,所以/同）0=/留洱=90.又因为/A=/丸所以Rt2kAD0sRkACB.所以BC0DACAD又BC=2口匕=加

6、5故AC=2AD.7.12014江苏，21A选彳4-1:几何证明选讲如图，AB是圆O的直径，CD是圆O上位于AB异侧的两点，证明OCBD【解析】由题意,DB,又OCOB,.OCBB,OCBD.8.【2015江苏,21A（选修41:几何证明选讲）【答案】见解析.如图，在ABC中，ABAC,ABC的外接圆圆 O O 的弦AE交BC于点 D D求证：ABDsAEB【答案】详见解析【解析】试题分析：利用等弦对等角 同邨对等角，得到上也=，及公共角*所以两三角形相似试题解折：因为AB=AC,所以NABD=NC.又因为/C=/E,所以/ABD=NE,又/BAE为公共角，可知AABDSAAEB.【考点定位】

7、相似三角形9.12016江苏，21A1选彳441 1 几何证明选讲（本小题满分10分）如图，在ABC4ABC43 3, ,/ /AB090AB090, ,BDLACDBDLACD 为垂足，E E 是 BCBC 的中点.求证：/EDC/ABDEDC/ABD【答案】详见解析【解析】，一_1_一，_,试题分析：先由直角三角形斜边上中线性质DE1BCEC,再由EDCECD,ECD与2DBC互余，ABD与DBC互余，得ABDECD,从而得证.试题解析：B（第21A题）AA（第21-A增i证明：在ZXADB和4ABC中，因为ABC90o,BDAC,A为公共角,所以ADBs/XABC,于是ABDC.在RtB

8、DC中，因为E是BC的中点，所以EDEC,从而EDCC.所以EDCABD.【考点】相似三角形【名师点睛】1.相似三角形的证明方法：（1）找两对内角对应相等；（2）若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例；（3）若无角对应相等，就要证明三边对应成比例.2.利用相似三角形的性质进行对应边的比、对应角的度数的相关运算时，要善于联想变换比例式，通过添加辅助线构造相似三角形，同时注意面积法的应用.10.12017江苏，21A如图，ABAB 为半圆 O O 的直径，直线 PCPC 切半圆 O O 于点 GAPGAPPCPPCP 为垂足.求证：（1）PACCAB;PACCAB;2（2）ACA

9、PAB. .（第21-A题）【答案】见解析t解析】试题分析:（D由弦切角定理得/产=乙CBA，再由直角三角形可得余角相等：=（2）由三角形KFgZXHCS相似可得结论，试题解析：证明：1）因为FC切半周白于点 G所以/用因为皿为半圆。的直径，F做/$曰=90口，APlFCf所以/（7=90口,，所以上%C=N匕四.XP4c（2）由如，故；7；=丁，2所以ACAPAB【考点】圆性质，相似三角形【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路（1）直接应用相交弦、切割线定理及其推论；（2）当比例式（等积式）中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形一比例式一

10、等积式”.在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握.2.应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等.【方法归纳】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路（1）直接应用相交弦、切割线定理及其推论；（2）当比例式（等积式）中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形一比例式一等积式”.在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握.2 .应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等.【考题预测】1.【江苏省盐城中学

11、2018届高三全仿真模拟检测数学试题】如图，过点川的圆与雨;切于点。，且与八氏AC分别交于点氏H已知人D为的平分.求证：4然【答案】证明见解析【解析】分析：由切线的性质知总%比，再根据角平分线的性质及平行线的判定定理求出FF1，比.解析：证明：如图，连接尸，B因为圆与HC切于。j所以4DE=1BAD.因力达0平分乙84二所以=ADAC又ZJMC=zDEF,所以zDE=zDF.所以点睛：主要考查的是相似三角形判定及有关性质的应用，切线的性质，比较简单12.【江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试数学试题】在ABC中，已知AC=2AB,CM是ZACB的平分线，AMC勺外接圆交BC边于点N

12、,求证：BN=2AM【答案】见解析ACAM解析】分析：因为CM是/ACB的平分线，由内角平分线定理，可得前=前，再由图的切割线定理，可得BM-BA=BN*BC,整理，即可得证一证明：如图？在AABC 中，因为CM是/ACM的平分线pAgAM所以5?=俞.1AB2AM又AC=EgBC=-Biir因为EA与BC是圆。过同一点B的弦,AfiBN所以，BMBA=BN-BC,即肥=血2AMBN由、可知=而.所以BN=2AM.点睛：本题考查内角平分线定理和圆的切割线定理及运用，考查推理能力，属于中档题.AC-A8M3.【江苏省南京市2018届高三第三次模拟考试数学试题】在川肥中，为边日上一点，山IMC|的

13、外接圆交边于点K*2M求证：良”雨的平分线.【答案】证明见解析.【解析】分析：先证明MBs皈，再证明金公最后证明也是沙 B 的平分线.详解：证明，连结则以又二期因此AJLffl浦 s环.所以吃二舞又因为所以言=2,即9=2皿.又因为硒士以期,所以打凡M所以CM是C5的平分线.点睛：本题主要考查几何证明选讲等基础知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析推理能力.4.【江苏省徐州市2018届高三第一次质量检测数学试题】如图，AB是圆O的直径，弦BD,CA的延长线相交于点E,EF垂直BA的延长线于点F.2.求证：ABBEBDAEAC.【答案】见解析.【解析】试题分析：先由圆的割线定理得到BD

14、BEBABF,再由相似三角形得到ABAFAEAC,进而得到结果.解析：连结AD,因为AB为圆的直径，所以ADBD,又EFAB,则A,D,E,F四点共圆，所以BDBEBABF.又ABC-AAEF,所以妲殷，即ABAFAEAC,AEAF2BEBDAEACBABFABAFABBFAFAB2.5.【江苏省南通、徐州、扬州等六市2018届高三第二次调研（二模）测试数学（文理）试题】如图，AB,C是。O上的3个不同的点，半径0成弦BC于点D.求证：DBDCOD2OA2.【答案】证明见解析t解析】试题分析；延长，。交0。于点小则DH=十。后）（3QD）,根据OE=OA,即可得证.试题解析；证明；延长交0。于

15、点4,则W十一QD）./OE=OAfDC0A0D）0A-0I01-0D2.：.DDC+OD1=OA1r6 .【2018年5月2018届高三第三次全国大联考（江苏卷）-数学】如图，在Rt川中,乙式力=9。1，且网=HC=%E是的中点，以此为直径作一圆归；连接|BE并延长至。，使hE=E,连接山.（1）求证：直线4D是圆E的切线；（2）若圆E与线段&埒目交于不同于用的点匕求线段跳7的长.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】舐曜AC的中点,所以CE=A瓦又因为zBEC=IDEATE=DE所以在BECADE4所以HUE=zJM瓦又因为LACB=9。舟以ZLME=加。贝EALAD3又因为欧是圆E的半

16、径，所以直线工5是图E的切线.(2)由条件如占A8C是以C为直角的等股宜角三角形 h因为，C=BC=晔0),结合勾股定理得BA=VAC5+SC=亮风因为EC1照所以直线HC是题的切a而直线即是物的割缥故由圆的切割名旋理如EC工=2F 吼解得5F=gmM7 .【2018年4月2018届高三第二次全国大联考(江苏卷)-数学】如图，ADBGCDADBGCD 是以 ABAB 为直径的圆的切线,切点分别为 A A,B BP,ACAC 和 BDBD 交于 Q Q 点.【答案】见解析【解析】是以犯为直径的圆的切线，.AD1AB.BCLAB,：,ADIIBC,：,ACQBAAQDt丝_,QDA又DAD产是以仍

17、为直径的圆的切线，DH=。巴同理,CP二CBt又LABf.PQLAS.8.【江苏省南京师范大学附属中学、天一、海门、淮阴四校2018届高三联考数学调研测试试题】如图，D为ABC的BC边上的一点，eO1经过点B,D,交AB于另一点E,eO2经过点C,D,交AC于另点F,eO1与e02交于点G.求证：EAGEFG.【解析】试题分析:.PQA,连接功交推于由况口区。四点共圆可得组=/2,同理/F曲进而可证得区G,凡四点共圆，故结论成立.试题解析辘GD交融于H,由史D,瓦G四点共质，可得上GH=/Rp同理/尸GE=/C,故ZBAC+ZEGF=ZBAC+f/C=Ig（Tj所以瓦G,产上四点共圈，故上RAG=ZEFG.9.【江苏省南通市、泰州市2018届高三年级第一次调研测试数学（理）试题】如图，已知。的半径为|1,两圆外切于点刀.点P为上一点，PM|与。?切于点M.若PM二，0%的 半 径 为2, 求PT的长.【答案】4=泰【解析】试题分析:作辅助线，即延长p磔。&与点c，连结%艮劣c,凡%则。必过点T.则得PM1=FCKPT=3,然后证得40.TPe4。/的根据相似三角形的性廉可得FC=:PT,从而可求得FT=悔.试题解析：延长产及 0%与点 5 连宕巳02CQ&则 5%过点由切割线定理得：PM=P