中值定理与导数的应用

1、第六节第六节 函数图形的描绘函数图形的描绘 本节课函数图形的描绘，仅从本节课函数图形的描绘，仅从一个函数表达式就能画出该函数的一个函数表达式就能画出该函数的图像。我们要通过研究该函数的奇图像。我们要通过研究该函数的奇偶性、周期性、渐近线、单调性、偶性、周期性、渐近线、单调性、拐点，以及特殊点来画出函数的图像。拐点，以及特殊点来画出函数的图像。一、渐近线（曲线的发展趋势）一、渐近线（曲线的发展趋势）定义定义: :( ),( ).yf xPPLLyf x 当当曲曲线线上上的的一一动动点点沿沿着着曲曲线线移移向向无无穷穷点点时时 如如果果点点到到某某定定直直线线的的距距离离趋趋向向于于零零 那那么么

2、直直线线就就称称为为曲曲线线的的一一条条渐渐近近线线1.1.铅直渐近线铅直渐近线()x垂垂直直于于轴轴的的渐渐近近线线000lim( )lim( )( ).xxxxf xf xxxyf x 如如果果或或那那么么就就是是的的一一条条铅铅直直渐渐近近线线例如例如,)3)(2(1 xxy21lim,(2)(3)xxx 31lim(2)(3)xxx 有铅直渐近线两条有铅直渐近线两条: :. 3, 2 xx-4-2246-1-0.75-0.5-0.250.250.50.7513 32.2.水平渐近线水平渐近线()x平平行行于于轴轴的的渐渐近近线线lim( )lim( )()( ).xxf xbf xb

3、bybyf x 如如果果或或为为常常数数那那么么就就是是的的一一条条水水平平渐渐近近线线例如例如,arctanxy lim arctan,2xx lim arctan,2xx 有水平渐近线两条有水平渐近线两条: :.2,2 yy有水平渐近线两条有水平渐近线两条: :-3-2-1123-1.5-1-0.50.511.5.2,2 yyarctanyx 解解11.lim1,xxe 11xyye 是是曲曲线线的的水水平平渐渐近近线线。练练 习习 10lim,xxe 10 xxye 是是曲曲线线的的铅铅直直渐渐近近线线。-10-7.5-5-2.52.557.510-10-7.5-5-2.52.557.5

4、10112.lim,1xx 111xxy 是是曲曲线线的的铅铅直直渐渐近近线线。11lim0, lim011xxxx 011xyy 是是曲曲线线的的水水平平渐渐近近线线。-4-224-4-2243.3.斜渐近线斜渐近线lim ( )()0lim ( )()0( ,)( ).xxf xaxbf xaxba byaxbyf x如如果果或或为为常常数数那那么么就就是是的的一一条条斜斜渐渐近近线线斜渐近线求法斜渐近线求法: :( )lim,xf xax lim ( ).xf xaxb ( ).yaxbyf x 那那么么就就是是曲曲线线的的一一条条斜斜渐渐近近线线注意注意: :,( ).a byf x

5、有有一一个个不不能能存存在在，可可以以断断定定不不存存在在斜斜渐渐近近线线例例1 12(2)(3)( ).1xxf xx 求求的的渐渐近近线线解解(,1)(1,)D 1lim( )xf x ,1lim( )xf x , 1.x 是是曲曲线线的的铅铅直直渐渐近近线线2(2)(3)lim( )lim,1xxxxf xx 该该曲曲线线没没有有水水平平渐渐近近线线。2(2)(3)lim ( )l2im1xxxxf xxxxa 2(2)(3)2 (1)lim1xxxx xx 412lim4,1xxx 24.yx 是是曲曲线线的的一一条条斜斜渐渐近近线线( )limxf xx 又又2(2)(3)lim(1

6、)xxxx x , 2 2(2)(3)( )1xxf xx 的的两两条条渐渐近近线线如如图图-4-3-2-11234-30-20-10102030练练 习习 1yxx 求求曲曲线线的的渐渐近近线线。解解(,0)(0,)D 0lim ( )xf x , 0.x 是是曲曲线线的的铅铅直直渐渐近近线线1lim( )lim(),xxf xxx 该该曲曲线线没没有有水水平平渐渐近近线线。1lim()xxxx1lim()xxxx0, .yx 是是曲曲线线的的一一条条斜斜渐渐近近线线( )limxf xx 又又1limxxxx , 1 -4-3-2-11234-4-3-2-11234二、图形描绘的步骤二、图

7、形描绘的步骤利用函数特性描绘函数图形利用函数特性描绘函数图形. .第一步第一步第二步第二步第三步第三步第四步第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势以及其他变化趋势; ;第五步第五步在在画画图图时时经经常常要要补补充充一一些些点点。我我们们通通常常补补充充以以下下点点：与与坐坐标标轴轴的的交交点点、区区间间端端点点处处的的点点。注意注意: :例例1 132( )1.f xxxx 作作函函数数的的图图形形解解: (,),D 无奇偶性及周期性无奇偶性及周期性. .2( )321(31)(1),fxxxxx ( )622(31)fxxx ( )0,fx 令

8、令1,13xx 得得驻驻点点( )0,fx 令令1.3x 得得特特殊殊点点 列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间, , 凹凸区间及极值凹凸区间及极值点与拐点点与拐点: :三、作图举例三、作图举例x1(,)3 ), 1( 1 1(, )3 3 31 1(,1)3 0131 极大值极大值1 32(,)3 27 拐点拐点)2716,31(0)(xf )(xf)(xf xyo)0 , 1( A(0,1)CD D3 5(, )2 811 3131 0:补补充充点点( 1,0),(1,0),AB (0,1),C3 5(, ).2 8D 凸凸凹凹凹凹凸凸 (1,0)B()(31)(1),fxxx ( )

9、2(31)fxx 极小值极小值(1, 0)-2-1123-2-11234123 xxxy例例2 2中的函数中的函数 2212( )xxe 是概率中的服从是概率中的服从 标准正态分布的密度函数。标准正态分布的密度函数。 0 0(0,1)1N 均均值值是是 ，方方差差是是例例2 22( ).xxe 作作函函数数的的图图形形解解(,),D 偶函数偶函数, , 图形关于图形关于y轴对称轴对称. .1 1: 0( ).Wx 2lim( )limxxxxe 0, 0.y 得得水水平平渐渐近近线线无无铅铅直直、斜斜渐渐近近线线。2( )2,xxxe 222( )24xxxex e 222(21)xex (

10、)0,x 令令0,x 得得驻驻点点( )0,x 令令22,.22xx 得得特特殊殊点点 列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间, ,凹凸区间及极凹凸区间及极值点与拐点值点与拐点: :x2(,)22(0,)2( )x ( )x 0( )x 022 极大值极大值10拐点拐点21(,)2e2 2( )2,xxxe 22( )2(21)xxex 凸凸凹凹xyo2222 1-3-2-11230.20.40.60.812( )xxe xyxe 讨讨论论函函数数增增减减性性凹凹凸凸性性极极值值、拐拐点点、渐渐近近线线并并作作图图 的的、，。列表列表(,)D 解解定定义义域域 () () 10 xyex l

11、imlim0 xxxyxe 曲线过点曲线过点(0,0)() () 20 xyex 12(1, 2) ( ,) (2 ,00+1(1 ,)e22(2,)exy y y+驻点：驻点：x =1x =2练练 习习 极大值极大值( (拐点拐点) )故故 y = 0为水平渐近线为水平渐近线因因图形：图形：X0y1渐近线渐近线 ：y = 0(0,0)1,1(e)2, 2(2e2xxey .(x +)e -112345-0.6-0.4-0.20.20.40.6例例3 3232.(1)xyx 描描绘绘函函数数的的图图形形解解(, 1)( 1,),D 2113lim( )lim2(1)xxxf xx , 1.x

12、得得铅铅直直渐渐近近线线23lim( )lim2(1)xxxf xx 2, 2.y 得得水水平平渐渐近近线线无无斜斜渐渐近近线线。23( ) 2(1)xf xx 33(1)( )(1)xfxx 46(2)(1)xx ( )0,fx 令令1,x 得得驻驻点点( )0,fx 令令2.x 得得特特殊殊点点243(1)32(1)(1)xxxx 3263(1)3(1) 3(1)(1)xxxx 33(1)(1)xx 列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间, ,凹凸区间及极凹凸区间及极值点与拐点值点与拐点: :x21 ( )fx ( )f x0( )fx (, 1) (1,2) 038 33(1)( )(

13、1)xfxx (2,) 1( 1,1) 间断点间断点 凸凸 凸凸极大极大值点值点11(1,)4凸凸凹凹拐点拐点8(2, )346(2)( )(1)xfxx 0 xy11232(1)xyx .28(2, )3211(1,)4-4-3-2-11234-4-3-2-11234练练 习习24(1)( )2.xf xx 作作函函数数的的图图形形解解, 0: xD非奇非偶函数非奇非偶函数, ,且无对称性且无对称性. .34(2)( ),xfxx 48(3)( ).xfxx ( )0,fx 令令2,x 得得驻驻点点( )0,fx 令令3.x 得得特特殊殊点点24(1)lim( )lim2xxxf xx 2,

14、 2;y 得得水水平平渐渐近近线线2004(1)lim( )lim2xxxf xx , 0.x 得得铅铅直直渐渐近近线线列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间, ,凹凸区间及极值凹凸区间及极值点和拐点点和拐点: :x)3,( ), 0( )2, 3( 3 )0 , 2( )(xf )(xf 00)(xf 2 0 不存在不存在拐点拐点极值点极值点间间断断点点( 2, 3)26( 3,)9:补补充充点点(13,0),(13,0); ( 1, 2),A (1,6),B(2,1).C作图作图xyo2 3 2111 2 3 6ABC( 2, 3)26( 3,)9-4-224-4-22468作业：作业：n习题习题3-6 143-6 14附加题：附加题：21.( )2( )().xp xp xx 求求一一个个二二次次三三项项式式, ,使使得得12001012.11sin(1)lim();(2) lim() ;tan(1)(3)lim lnln(1);(4)lim