质点力学讲座

1、主讲教师：主讲教师：姜海丽姜海丽E-mail：力学习题 力学专题力学专题一一 运动学（三个物理量的计算）运动学（三个物理量的计算） 基本概念基本概念22dtrdadtrdv12rrrkzjyixr轨迹方程为轨迹方程为f(x,y,z)角量与线量的关系：角量与线量的关系：22dtddtd2RaRaRvdRdrndtdvnvaaan2题型：题型：1 已知运动方程求速度，加速度，求导已知运动方程求速度，加速度，求导avr2 已知加速度，求速度，位置，积分已知加速度，求速度，位置，积分rvadvadtdvadtdtdva）（1，再积分）（vdvadxdxdvvdtdxdxdvdtdva23 求轨迹方程求

2、轨迹方程典型例题典型例题1、某物体的运动规律为、某物体的运动规律为tkvdtdv2式中式中k为大于为大于0的常数，当的常数，当t=0时，初速度为时，初速度为0v则则v与与t的函数关系为的函数关系为(B)(A)0221vktv0221vktv(C)02121vktv(D)02121vktv2、一质点从静止出发沿半径、一质点从静止出发沿半径R=1m的圆周运动，其角加速度随时间的变化为的圆周运动，其角加速度随时间的变化为tt6122（SI）,则质点的角速度为则质点的角速度为 ，切向加速度为，切向加速度为 2334tt rad/stt6122m/s2jttittr)314()2125 (32a3 已知

3、质点的运动学方程为已知质点的运动学方程为 (SI)。当。当t = 2 s时，加速度时，加速度的大小为的大小为a = ;加速度加速度与与x轴正方向间夹角轴正方向间夹角 = 2.24 m/s2, 104o 答案：答案：C5、一质点从静止出发沿半径、一质点从静止出发沿半径R=1 m的圆周运动，其角加的圆周运动，其角加速度随时间速度随时间t的变化规律是的变化规律是 =12t2-6t (SI)， 则质点的角速则质点的角速切向加速度（切向加速度（3） 4t3-3t2(rad/s), 12t2-6t (m/s2)6、 由楼窗口以水平初速度由楼窗口以水平初速度v 0射出一发子弹，求：射出一发子弹，求：（1）子

4、弹在任意时刻的位置及轨迹方程；（）子弹在任意时刻的位置及轨迹方程；（2）子弹在任意时刻的速度、切向加速度和法向加速子弹在任意时刻的速度、切向加速度和法向加速度；（度；（3）任意时刻质点所在轨迹的曲率半径。（）任意时刻质点所在轨迹的曲率半径。（4）20220v/2121 , v1gxygtytx轨迹方程为：）解：（222022vvvvtgyx01vgttg22202/ddtgtgtatvv同向与v222002/122/tggagatnvv垂直方向与ta（2）v x = v 0，v y = g t，速度大小为：速度大小为： 方向为：与方向为：与x轴夹角轴夹角 gvtgvtgvgvvan023222

5、0222002)(3）（二、动力学二、动力学（1）牛顿运动定律（力对时间的瞬时效应）牛顿运动定律（力对时间的瞬时效应）amF2vmmaFdtdvmmaFnnzzyyxxmaFmaFmaF自然坐标系自然坐标系 直角坐标系直角坐标系 22tnaaa222zyxaaaa题型：题型：1、求解加速度、求解加速度2、求解在任意时刻的速度或位置、求解在任意时刻的速度或位置1、一条质量分布均匀的绳子，质量为、一条质量分布均匀的绳子，质量为M、长度为、长度为L，一端拴在竖直转轴一端拴在竖直转轴OO上，并以恒定角速度上，并以恒定角速度 在水平在水平面上旋转设转动过程中绳子始终伸直不打弯，且忽面上旋转设转动过程中绳

6、子始终伸直不打弯，且忽略重力，求：距转轴为略重力，求：距转轴为r处绳中的张力处绳中的张力T( r)（8）题型题型1、求力、求力解：取距转轴为解：取距转轴为r处，长为处，长为d r的小段绳子，其质量为的小段绳子，其质量为(M/L) dr.所谓张力是指小微元后面所有微元的向心力之和。所谓张力是指小微元后面所有微元的向心力之和。 )(2)(22222rLLMrdrLMrdrrTLr2、一条轻绳跨过摩擦可忽略的轻滑轮，在绳的一端、一条轻绳跨过摩擦可忽略的轻滑轮，在绳的一端挂一质量为挂一质量为m1的物体，在另一端有一质量为的物体，在另一端有一质量为m2的的环，求当环相对于绳以恒定的加速度环，求当环相对于

7、绳以恒定的加速度a2沿绳下滑时，沿绳下滑时，物体和环相对于地面的加速度各为多少？环与绳的物体和环相对于地面的加速度各为多少？环与绳的摩擦力多大？（摩擦力多大？（10） m2 a2 2a111amTgm222amgmT212aaa解：因绳子质量不计，所以环受到的摩擦力在数解：因绳子质量不计，所以环受到的摩擦力在数值上等于绳子张力值上等于绳子张力T 设设m2相对地面的加速度为相对地面的加速度为，取向上为正；，取向上为正；m1相对地面的加速度为相对地面的加速度为a1(即绳子的即绳子的加速度加速度)，取向下为正，取向下为正 2122211)(mmamgmma21212)2(mmmmagT2121212

8、)(mmamgmma解得解得 3、小车、小车B上放一质量为上放一质量为m的物块的物块A，小车沿着与水平，小车沿着与水平面夹角为面夹角为的光滑斜面下滑。由于摩擦，的光滑斜面下滑。由于摩擦，A和和B之间没之间没有相对滑动。如图所示，求：物体有相对滑动。如图所示，求：物体A和和B之间的相互作之间的相互作用力。（用力。（5）singa cosmamafxsinmamamgNy物体物体A受力如图所示，若车与受力如图所示，若车与A无相对滑动，则它们的无相对滑动，则它们的加速度应为加速度应为 由牛顿第二定律：由牛顿第二定律： 水平方向水平方向 竖直方向竖直方向 singa 2coscossinmgNmgfc

9、os22mgNfRtgNftg代入得：所以所以f和和N的合力的合力R的大小为的大小为 4、质量、质量m =10 kg、长、长l =40 cm的链条，放在光滑的水的链条，放在光滑的水平桌面上，其一端系一细绳，通过滑轮悬挂着质量为平桌面上，其一端系一细绳，通过滑轮悬挂着质量为m1 =10 kg的物体，如图所示的物体，如图所示t = 0时时,系统从静止开系统从静止开始运动始运动, 这时这时l1 = l2 =20 cm l3设绳不伸长，轮、绳设绳不伸长，轮、绳的质量和轮轴及桌沿的摩擦不计，求：当链条刚刚全的质量和轮轴及桌沿的摩擦不计，求：当链条刚刚全部滑到桌面上时，物体部滑到桌面上时，物体m1速度和加

10、速度的大小（速度和加速度的大小（6） 题型题型2、已知受力求运动参量、已知受力求运动参量amTgm11malxgmT/)/1 (21lxga2m/s 4.921 , 0 gaxxtxxtadvdvdddvddvd解：分别取解：分别取m1和链条和链条m为研究对象，坐标如图为研究对象，坐标如图 设链条在桌边悬挂部分为设链条在桌边悬挂部分为x 解出解出 当链条刚刚全部滑到桌面时当链条刚刚全部滑到桌面时 xlxgxad)/1 (21ddvv002d)1 (d2lxlxgvvv22222)4/3(/21gllglglv m/s 1.213212glv 两边积分两边积分 5、以初速度、以初速度v0上抛一小

11、球，小球在运动过程中上受到上抛一小球，小球在运动过程中上受到阻力，其大小为阻力，其大小为f=kv，k为常数，求：小球任意时刻的为常数，求：小球任意时刻的速度及达到的最大高度。（速度及达到的最大高度。（2）kmgmktekvmgvdtkvmgmdvdtdvmkvmgtvv)(000dydvvdtdvmkvmg000Hvdvkvmgvdy00ln21kvmgmgkmgvkH 6、质量为、质量为m的子弹以速度的子弹以速度v0竖直射入沙土中，设竖直射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为比例系数为K，忽略子弹的重力，求（，忽略子弹的重

12、力，求（1）子弹射）子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；（入沙土后，速度随时间变化的函数式；（2）子弹）子弹射入沙土的最大深度。射入沙土的最大深度。tmKddvv vvvvvv0dd,dd0ttmKtmKmKt/0evv解：解：(1) 子弹进入沙土后受力为v，由牛顿定律 xmtxxmtmKdd)dd)(dd(ddvvvvvvdKmdxvvdd000maxKmxxKmx/0maxv 7、在光滑的水平面上，、在光滑的水平面上， 固定平放如图所示的半圆形固定平放如图所示的半圆形挡板挡板S， 质量为质量为 m 的滑块以初速度的滑块以初速度 v0 沿切线方向进沿切线方向进入挡板内，滑块与屏间的摩擦系

13、数为入挡板内，滑块与屏间的摩擦系数为 。求：滑块沿。求：滑块沿挡板运动时任一时刻的速度挡板运动时任一时刻的速度v及路程及路程S.求：当滑块从屏求：当滑块从屏的另一端滑出时，摩擦力所作的功。的另一端滑出时，摩擦力所作的功。v0O解：建立自然坐标系，受力分析如图解：建立自然坐标系，受力分析如图dtdvmNfRvmNr2dtdvRv2tvRRvtvvdvdtRvvt0020)(0即即：v0ONvfr tSvdtdSvdtdS00)1ln()(0tRvRtS解：建立自然坐标系，受力分析如图解：建立自然坐标系，受力分析如图dtdvmNfRvmNr2dtdvRv2dvdvRvddvdtdddvdtdvRv

14、即即：2v0ONvfr 积分得：积分得：evvdvdvvv000由动能定理得：由动能定理得：)1(212121220202emvmvmvW（2 2）力的时间累积）力的时间累积动动 量：量：vmP动量定理：动量定理：0PPIdtFtFI冲冲 量：量：守恒定律：当守恒定律：当 时，则有时，则有0外外FCPP0题型：题型：1、已知速度变化，求冲量或平均冲力、已知速度变化，求冲量或平均冲力2、已知、已知F=F(t),求速度求速度3、碰撞、打击、爆炸，动量守恒求速度、碰撞、打击、爆炸，动量守恒求速度1、质量为、质量为20g的子弹沿的子弹沿x轴正向以轴正向以500m/s的速度射入一木块后的速度射入一木块后

15、与木块一起仍沿与木块一起仍沿x轴正向以轴正向以50m/s的速度前进，此过程木块所受的速度前进，此过程木块所受冲量为冲量为(A)9Ns (B)- 9Ns (C)10Ns (D) -10Ns 答案：答案：A2、 一物体质量为一物体质量为10 kg，受到方向不变的力，受到方向不变的力F3040t (SI)作作用，在开始的两秒内，此力冲量的大小等于用，在开始的两秒内，此力冲量的大小等于_；若物体的初速度大小为若物体的初速度大小为10 m/s，方向与力的方向相同，则在，方向与力的方向相同，则在2s末物体速度的大小等于末物体速度的大小等于_140 Ns , 24 m/s 3、 一颗子弹在枪筒里前进时所受的

16、合力为一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力为F=400-4 105t/3(SI)，子弹从枪口射出时的速率，子弹从枪口射出时的速率为为300 m/s。假设子弹离开枪口处合力恰好为零，。假设子弹离开枪口处合力恰好为零，求：（求：（1）子弹走完枪筒全长所用时间；（）子弹走完枪筒全长所用时间；（2）子弹在枪筒中所力的冲量；（子弹在枪筒中所力的冲量；（3）子弹的质量。）子弹的质量。）（s103031044000) 1 (35ttF310305) sN(6 . 0d)3104400()2(ttI）（kg1023006 . 0300)() 3(31212mmvvmPPI4、质量为质量为M=1.5kg的物体，用一

17、根长为的物体，用一根长为l=1.25m的细绳悬挂在天花板上，今有一质量为的细绳悬挂在天花板上，今有一质量为m=10g的子弹以的子弹以v0=500m/s的速度射穿物体，刚穿出的速度射穿物体，刚穿出物体时子弹的速度大小为物体时子弹的速度大小为v=30m/s, 设穿透时间设穿透时间极短，求（极短，求（1）子弹刚穿出时绳中张力的大小；）子弹刚穿出时绳中张力的大小；（2）子弹在穿透过程中所受的冲量。（）子弹在穿透过程中所受的冲量。（14）vsN7 . 40vvmmtf方向相反量与为正方向）负号表示冲（设00vv解：解：(1) 因穿透时间极短，故可认为物体未离开平因穿透时间极短，故可认为物体未离开平衡位置

18、因此衡位置因此,作用于子弹、物体系统上的外力均作用于子弹、物体系统上的外力均在竖直方向，故系统在水平方向动量守恒令子在竖直方向，故系统在水平方向动量守恒令子弹穿出时物体的水平速度为弹穿出时物体的水平速度为有有 mv0 = mv+M v v = m(v0 v)/M =3.13 m/s T =Mg+Mv2/l =26.5 N (2) 5、质量为、质量为M的人，手执一质量为的人，手执一质量为m的物体，以与的物体，以与地平线成地平线成角的速度角的速度v0向前跳去，当他达到最向前跳去，当他达到最高点时，将物体以相对于人的速度高点时，将物体以相对于人的速度u向后平抛向后平抛出去，求：由于抛出该物体，此人跳

19、的水平距出去，求：由于抛出该物体，此人跳的水平距离增加了多少离增加了多少？（？（15）)v(vv)(11umMmM)/(1mMmuvv)/(1mMmuvv vgt/sin0vgMmmutx)(sin0vv解：人到达最高点时，只有水平方向速度解：人到达最高点时，只有水平方向速度v = v 0cos ，此人于最高点向后抛出物体，此人于最高点向后抛出物体m设抛出后设抛出后人的速度为人的速度为v 1，取人和物体为一系统，则该系统，取人和物体为一系统，则该系统水平方向的动量守恒即水平方向的动量守恒即 由于抛出物体而引起人在水平方向的速度增量为由于抛出物体而引起人在水平方向的速度增量为 因为人从最高点落到

20、地面的时间为因为人从最高点落到地面的时间为 故跳的水平距离增加量为故跳的水平距离增加量为 6、如图所示，一质量为、如图所示，一质量为M车静止在光滑水平面上，车上车静止在光滑水平面上，车上有有n个人，每人质量均为个人，每人质量均为m。如果每人相对于车以速率。如果每人相对于车以速率u相继快跑并相继跳离车的一端，问：他们这样相继快跑相继快跑并相继跳离车的一端，问：他们这样相继快跑跳离车给车所增加的速度大小是否大于他们同时快跑并跳离车给车所增加的速度大小是否大于他们同时快跑并同时跳离车时给车所增加的速度大小？同时跳离车时给车所增加的速度大小？)(0uvnmMvunmMnmv0)() 1(11uvmvm

21、nMunmMmv1122) 1()()2(vmnMuvmvmnMumnMmvv) 1(12解：根据动量守恒定律，若车上解：根据动量守恒定律，若车上n个人，同时跑步离车，个人，同时跑步离车，有关系式：有关系式： 若若n个人相继跑步并相继跳离车。第一个人跳离车，个人相继跑步并相继跳离车。第一个人跳离车，有关系式：有关系式：第二个人相继跳离车，车速数值由第二个人相继跳离车，车速数值由v1增大到增大到v2，有，有233)2()()3(vmnMuvmvmnMumnMmvv)2(23umMmvvnn1第三个人相继跳离车，车速数值由第三个人相继跳离车，车速数值由v2增大到增大到v3，有，有第第n个人相继跳离

22、车，车速数值由个人相继跳离车，车速数值由vn1增大到增大到vn，有，有把上述把上述n个等式相加，便得当个等式相加，便得当n个人相继跳离车后，小车个人相继跳离车后，小车最终获得的速度大小最终获得的速度大小unmMmmMmmMmvn)2(unmMnmvvvn与比较得：（3 3）力的空间累积）力的空间累积变力的功：变力的功：babadSFSdFWcos保守力有：保守力有：PppbaEEESdFWab)(力学中几种常见的势能，注意势能零点：力学中几种常见的势能，注意势能零点：引力势能：引力势能：rMmGEP重力势能：重力势能：mghEP弹性势能：弹性势能：221kxEP动能定理：动能定理：0kkEEW

23、功能原理：功能原理：PkEEEEEWW其中：非保守内力外守恒定律：当守恒定律：当 时，时， 则有则有0非非保保守守内内力力外外WWCEE0题型：题型：1、已知力，求功；、已知力，求功；2、已知受力，求速度；、已知受力，求速度；3、已知速度，求功；、已知速度，求功；4、只有保守内力做功，机械能守恒，求速度。、只有保守内力做功，机械能守恒，求速度。1、质量为、质量为m0.5kg的质点，在的质点，在Oxy坐标平面内运动，其运动方坐标平面内运动，其运动方程为程为x5t，y=0.5t2（SI），从），从t=2 s到到t=4 s这段时间内，外力对质这段时间内，外力对质点作的功为点作的功为 (A) 1.5

24、J (B) 3 J (C) 4.5 J (D) -1.5 J 2、二质点的质量各为、二质点的质量各为m1，m2当它们之间的距离由当它们之间的距离由a缩短到缩短到b时，时，它们之间万有引力所做的功为它们之间万有引力所做的功为_3、一个力、一个力F作用在质量为作用在质量为 1.0 kg的质点上，使之沿的质点上，使之沿x轴运动已轴运动已知在此力作用下质点的运动学方程为知在此力作用下质点的运动学方程为 (SI)在在0到到4 s的时间间隔的时间间隔内，内，(1) 力力F的冲量大小的冲量大小I =_(2) 力力F对质点所作的功对质点所作的功W =_ 4、质量为、质量为m1和和m2的两个物体，具有相同的动量

25、欲使它们停下的两个物体，具有相同的动量欲使它们停下来，外力对它们做的功之比来，外力对它们做的功之比W1 W2 =_；若它们具有；若它们具有相同的动能，欲使它们停下来，外力的冲量之比相同的动能，欲使它们停下来，外力的冲量之比I1 I2 =_ 答案：答案：B)11(21bamGm 16N.s 176 J 12mm2/121)(mm, 5、一物体按规律、一物体按规律x=ct3作直线运动（作直线运动（c为常数）。为常数）。设媒质对物体的阻力正比于速度的平方，阻力系设媒质对物体的阻力正比于速度的平方，阻力系数为数为k，求：物体由，求：物体由 x=0到到 x=l过程中，阻力所作过程中，阻力所作的功。（的功

26、。（11）23ddcttxv343242299xkctkckf v727d9d373203432lkcxxkcWWl解：由解：由xct3可求物体的速度：可求物体的速度： 物体受到的阻力大小为：物体受到的阻力大小为： 力对物体所作的功为：力对物体所作的功为： 6、一人从、一人从10 m深的井中提水起始时桶中装有深的井中提水起始时桶中装有10 kg的水，的水，桶的质量为桶的质量为1 kg，由于水桶漏水，每升高，由于水桶漏水，每升高1 m要漏去要漏去0.2 kg的水求：水桶匀速地从井中提到井口，人所作的功的水求：水桶匀速地从井中提到井口，人所作的功（12） 1.96y(SI)-107.82 . 0P

27、F0gymgkyP J 980d)96. 18 .107(ddW1000yyyFWH解：选竖直向上为坐标解：选竖直向上为坐标y轴的正方向，井中水面处为原点轴的正方向，井中水面处为原点 由题意知，人匀速提水，所以人所用的拉力由题意知，人匀速提水，所以人所用的拉力F等于水桶等于水桶的重量即：的重量即： 人的拉力所作的功为：人的拉力所作的功为：7、一光滑半球面固定于水平地面上，今使一小物块从一光滑半球面固定于水平地面上，今使一小物块从球面顶点几乎无初速地滑下，如图所示求：物块脱离球面顶点几乎无初速地滑下，如图所示求：物块脱离球面处的半径与竖直方向的夹角球面处的半径与竖直方向的夹角 （7）RmNmg/

28、cos2vRmmg/cos2v)cos1 (212 mgRmv3/2cos)3/2(cos1解：解：根据牛顿第二定律，小物体尚在球面上时， 小物体脱离球面时刻，N = 0，因而有 由机械能守恒定律，得联立解得 7、 一质量为一质量为m1=4kg，半径，半径R=0.2m，表面光滑的，表面光滑的圆弧形凹槽，静止放在光滑的水平地面上，槽的圆弧形凹槽，静止放在光滑的水平地面上，槽的A端与圆弧中心端与圆弧中心O点在同一水平面上，点在同一水平面上，B端和端和O的连的连线与竖直方向夹角线与竖直方向夹角=60。有一质量为。有一质量为m2=1kg的小滑块自的小滑块自A端从静止开始沿槽面下滑，求滑块由端从静止开始

29、沿槽面下滑，求滑块由B端滑出时，槽相对地面的速度端滑出时，槽相对地面的速度。（。（16） O A B R m2 m1 2v1v122vvv解：设解：设m2在滑出凹槽在滑出凹槽B端时，相对于凹槽的速度为端时，相对于凹槽的速度为，而凹槽相对于地面的速度为，而凹槽相对于地面的速度为则则m2相对于地面的速度相对于地面的速度 ) 1 ( 02211mvmvx对对m1和和m2系统，因水平方向合外力为零，故水平方系统，因水平方向合外力为零，故水平方向动量守恒，则有向动量守恒，则有 ) 2( 2121cos2222112vmvmgRm m/s 0.144 )/(cos1cos2cosv21222121mmmRgmmm又对又对m1、m2和地球系统，外力的功为零，非保守和地球系统，外力的功为零，非保守内力的功也为零，故机械能守恒，则内力的功也为零，故机械能守恒，则 由以上四式可以解出由以上四式可以解出 ) 3 ( )cos2( 2/ 12122212vvvvv又有) 4( cos122vvvx8、如图所示，质量为、如图所示