第2章线性代数基础1

1、2.1 2.1 线性空间线性空间2.2 2.2 内积空间内积空间2.3 2.3 线性变换线性变换2.4 2.4 线性变换的矩阵表示和空间的同构线性变换的矩阵表示和空间的同构2.5 2.5 线性变换的最简矩阵表示线性变换的最简矩阵表示第第2 2章章 线性代数基础线性代数基础11. 1. 线性空间线性空间 向量空间是几何空间的推广，线性空间是向量空间的推广。向量空间是几何空间的推广，线性空间是向量空间的推广。 线性空间是某类客观事物从量的方面的一个抽象，其概念是线性空间是某类客观事物从量的方面的一个抽象，其概念是以以n 维向量的概念及运算法则加以抽象维向量的概念及运算法则加以抽象, ,以公理化的形

2、式给出的。以公理化的形式给出的。本章内容要点本章内容要点2. 2. 线性变换线性变换 线性变换是一种特殊的映射，主要讨论线性空间中元素之线性变换是一种特殊的映射，主要讨论线性空间中元素之间的最基本联系。间的最基本联系。3. 3. 矩阵的作用矩阵的作用 在线性空间和线性变换的讨论中，矩阵是一个重要的工具。在线性空间和线性变换的讨论中，矩阵是一个重要的工具。特别地，矩阵还是线性变换便利的表达方法。特别地，矩阵还是线性变换便利的表达方法。2： 在线性代数课程中，我们把有序数组称为向量，把在线性代数课程中，我们把有序数组称为向量，把 n 维维向量的全体所构成的集合向量的全体所构成的集合 Rn 称为称为

3、 n 维向量空间。一般地，如维向量空间。一般地，如果果 V 为非空的为非空的 n 维向量的集合，且集合维向量的集合，且集合 V 对于向量加法及数对于向量加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合乘两种运算封闭，那么就称集合 V 为向量空间。为向量空间。 不难验证，不难验证，2 2 维几何空间维几何空间 R2 和和 3 3 维几何空间维几何空间 R3 分别是分别是 2 2 维和维和 3 3 维向量空间；集合维向量空间；集合V = x = (0, x2, x3)T | x2, x3 R 是是 2 2 维向量空间，如图维向量空间，如图 1 1 所示；齐次线性方程组所示；齐次线性方程组 Ax = 0 的解的

4、解集也构成向量空间。集也构成向量空间。 3图图 1 1 二维向量二维向量空间空间 V = x = (0, x2, x3)T | x2, x3 R4 本质上，向量空间就是满足某些特性本质上，向量空间就是满足某些特性( (比如对于向量加法比如对于向量加法及数乘两种运算封闭及数乘两种运算封闭) )的向量集合，它的一个直观模型是向量的向量集合，它的一个直观模型是向量几何，几何，2 2 维和维和 3 3 维几何空间中大多数有用的结论都可以扩展维几何空间中大多数有用的结论都可以扩展到向量空间。到向量空间。 定义向量空间的目的就是讨论向量集合的一般性质。定义向量空间的目的就是讨论向量集合的一般性质。 向量空

5、间定义的要素是：集合、运算和运算法则。向量空间定义的要素是：集合、运算和运算法则。 然而，在现代数学中，然而，在现代数学中，“向量向量”的概念不仅限于的概念不仅限于“有序数有序数组组”，符合一定条件的任何数学对象都可被当作向量处理。线，符合一定条件的任何数学对象都可被当作向量处理。线性空间就是向量空间的一般化，它将某类客观事物从量的方面性空间就是向量空间的一般化，它将某类客观事物从量的方面进行抽象，并以向量及其运算法则的形式加以描述。进行抽象，并以向量及其运算法则的形式加以描述。 线性空间是为了解决实际问题而引入的线性空间是为了解决实际问题而引入的, , 它是某一类事物它是某一类事物从量的方面

6、的一个抽象从量的方面的一个抽象, , 即把实际问题看作向量空间即把实际问题看作向量空间, , 进而通进而通过研究向量空间来解决实际问题过研究向量空间来解决实际问题. .5 由前面的讨论我们知道由前面的讨论我们知道: 是是n维向量空间，且维向量空间，且中间的元素对在空间上定义的向量加法和数与向量中间的元素对在空间上定义的向量加法和数与向量的乘法是封闭，并满足八条运算规律：的乘法是封闭，并满足八条运算规律：nR0,0; nnRR(3);)1( ;)2( ,; ,nRk lR 设设(4),0;nnRR 6;1)5( ;)6( kllk .)8( kkk ;)7( lklk 另外，在微积分中，区间另外

7、，在微积分中，区间a, b上全体实连续函数构成的上全体实连续函数构成的集合记为集合记为Ca, b, 对函数的加法和数与函数的数量乘法是封闭对函数的加法和数与函数的数量乘法是封闭的，即的，即( ), ( ) , ( )( ) , ;,( ) , f xg xC a bf xg xC a bkR kf xC a b 且易验证运算满足八条运算规律。且易验证运算满足八条运算规律。 Ca, b中的元素并不是有序数组，却有与中的元素并不是有序数组，却有与 中元素间类中元素间类似的线性运算。而似的线性运算。而 与与Ca, b之间有无联系？它们在结构上之间有无联系？它们在结构上有无相同之处？有无相同之处？nR

8、nR 为了普遍研究，有必要将这些研究对象不同的集合从本为了普遍研究，有必要将这些研究对象不同的集合从本质上统一起来，这样就可以舍弃具体对象，依据运算性质，质上统一起来，这样就可以舍弃具体对象，依据运算性质，抽象出本质的共性。为此我们引入线性空间的概念：抽象出本质的共性。为此我们引入线性空间的概念：7定义：设定义：设 V 是一个非空集合，是一个非空集合，F 为数域，为数域， , , , , V, 对于任意的对于任意的 , , V, 总有唯一的元素总有唯一的元素 V与之对应，与之对应，称称 为为 与与 的和的和(简称简称加法运算加法运算)，记记2.1.1 2.1.1 线性空间的定义及例题线性空间的

9、定义及例题1.1.1线性空间的定义线性空间的定义总有唯一的元素总有唯一的元素d d V 与之对应，与之对应，称称d d 为为l l与与 的积的积(简称简称数乘运算数乘运算),记作记作 d d ll，作作 ，且对于任意的，且对于任意的 l l F 及任意的及任意的 V ， 如果上述的两种运算满足以下八条运算规律如果上述的两种运算满足以下八条运算规律, 那么那么, 就称就称V为为数域数域F上的线性空间上的线性空间(或向量空间或向量空间),V中元素无论其本来性质中元素无论其本来性质如何，统称为向量，特别，若如何，统称为向量，特别，若F=R(C)则称则称V为实为实(复复)向量空间，向量空间，简称实简称

10、实(复复)空间空间.V中的运算称为线性运算中的运算称为线性运算.2.1 2.1 线性空间线性空间8 (8) 数量加法对数乘的分配律数量加法对数乘的分配律: (k+l)a = ka +la .设设 , , , V, 1, l, k F, (1) 加法交换律加法交换律: a +b =b +a ; (2) 加法结合律加法结合律: (a +b ) +g =a +(b +g ) ; (3) 零元素零元素: 存在存在 V, 对任一向量对任一向量a , 有有a + = a ; (4) 负元素负元素: 对任一元素对任一元素a V, 存在存在 V, 有有a + =O, 记记 = a ; (5) 数数1：1 a

11、= a ; (6) 数乘结合律数乘结合律: k(l a) = (l k)a ; (7) 数乘对加法的分配律数乘对加法的分配律: k(a +b )= ka +kb ;9 说明说明1. 凡满足以上八条运算规律的加法及乘数运算统称为凡满足以上八条运算规律的加法及乘数运算统称为线性运算线性运算. 说明说明2. 向量向量(线性线性)空间中的元素称为空间中的元素称为向量向量, 但不一定是有序但不一定是有序数组数组,也可以是矩阵、多项式、函数等也可以是矩阵、多项式、函数等. . 说明说明3. 一个集合一个集合, 对于定义的加法和数乘运算不封闭对于定义的加法和数乘运算不封闭, 或者或者运算不满足八条性质的任一

12、条运算不满足八条性质的任一条, 则此集合就不能构成线性空间则此集合就不能构成线性空间.线性空间是二维、三维几何空间及线性空间是二维、三维几何空间及 维向量维向量空间的推广，它在理论上具有高度的概括性空间的推广，它在理论上具有高度的概括性. .n线性空间线性空间 是一个集合是一个集合对所定义的加法及数乘运算封闭对所定义的加法及数乘运算封闭所定义的加法及数乘符合线性运算所定义的加法及数乘符合线性运算101.1.2 1.1.2 线性空间的判定方法线性空间的判定方法: : 例例1 mC1112T12(,),nnyyyR T12(,),nnyyyC 定义加法：定义加法：T2211),(nnyxyxyx

13、T12(,) ,nx xx T1212(,) |,nnnRx xxxxxR 例例2 实数域上全体实数域上全体 n 维向量的集合维向量的集合kR 定义数乘：定义数乘：,),(T21nkxkxkxk 上的线性空间。上的线性空间。是数域是数域RRn (1) 如果在一个集合上定义的加法和乘数运算是通常实如果在一个集合上定义的加法和乘数运算是通常实（复）数间的加（复）数间的加, 乘运算乘运算, 则只需检验运算的封闭性则只需检验运算的封闭性.T12(,) ,nx xx T1212(,) |,nnnCx xxxxxC kC kR T1212(,) |,nnnVx xxxxxC 上的线性空间。上的线性空间。是

14、数域是数域CCn上的线性空间。上的线性空间。是数域是数域CCnRnV值得注意是值得注意是 既不同于既不同于 也不同于也不同于nVnRnC13例例3 3 实数域实数域 R上的全体上的全体 mn 矩阵，对矩阵的加法矩阵，对矩阵的加法 和数乘运算构成和数乘运算构成 R上的线性空间，记作上的线性空间，记作 Rmn,nmnmnmnmRCBA ,nmnmnmRDA l l Rmn是一个线性空间。是一个线性空间。,)(|RaaAARijnmijnm 14 例例4 次数次数不超过不超过n的多项式的全体记作的多项式的全体记作Pxn, 即即Pxn = p(x)=a0+a1x+anxn | a0, a1, , an

15、 R 对通常对通常多项式加法多项式加法, 数乘多项式的乘法数乘多项式的乘法构成构成向量空间向量空间.通常的多项式加法通常的多项式加法, 数乘多项式的乘法两种运算满足线性数乘多项式的乘法两种运算满足线性运算规律运算规律. 实际上实际上 对对p(x)=a0+a1x+anxn, q(x)=b0+b1x+bnxn Pxn, l l R, = (a0+a1x+anxn)+(b0+b1x+bnxn )= (a0+b0)+(a1+b1)x+(an+bn)xnp(x)+q(x)= l l(a0+a1x+anxn) l l p(x)=l la0+l la1x+l lanxn Pxn,所以所以Pxn对对线性运算封

16、闭线性运算封闭. Pxn,15 例例5 次数次数等于等于n 的多项式的全体记作的多项式的全体记作Qxn, 即即Qxn= p(x)=a0+a1x+anxn | a0, a1, , an R, an 0 对于通常的对于通常的多项式加法多项式加法, 数乘多项式的乘法数乘多项式的乘法不构成不构成向量空间向量空间. 多项式加法多项式加法, 数乘多项式的乘法两种运算对数乘多项式的乘法两种运算对Qxn不满足线不满足线性运算的封闭性性运算的封闭性. 实际上实际上对对p(x)=a0+a1x+anxn Qxn, 0 R,0 p(x)=0(a0+a1x+anxn) = 0+0 x+0 xn = 0 Qxn. 所以所

17、以Qxn对对线性运算不封闭线性运算不封闭.例例6 6 在区间在区间a, b上全体实连续函数，对函数的上全体实连续函数，对函数的加法与数和函数的数量乘法，构成实数域加法与数和函数的数量乘法，构成实数域R上的上的线性空间，记作线性空间，记作Ca, b。,)()(baCxgxf Ca, b是一个线性空间。是一个线性空间。,)(| )(,上上连连续续在在baxfxfbaC ( ) , kf xC a b,)(),(baCxgxf 16 例例7 正弦函数的集合正弦函数的集合Sx= s(x)=Asin(x+B) | A, B R对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空间对于通常的函数加法及数乘函数的乘

18、法构成线性空间.对对s1(x)=A1sin(x+B1), s2(x)=A2sin(x+B2) Sx, l l R,由于由于, s1(x)+s2(x) = A1sin(x+B1)+A2sin(x+B2)= (a1cosx+b1sinx)+(a2cosx+b2sinx)= Asin(x+B)= (a1+a2)cosx+(b1+b2)sinx Sx,l ls1(x) = l lA1sin(x+B1)= (l lA1)sin(x+B1) Sx,所以所以, Sx是一个线性空间是一个线性空间.AcosB=b1+b2AsinB=a1+a217 例例8 例例9 0 0m nA x 0m nA x , ,m n

19、m nACl kC 0 0 0 12lxkxS封闭，故构成线性空间。封闭，故构成线性空间。1212()m nm nm nA lxkxl A xk A x 例例10 mC18 (2) 一个集合一个集合, 如果定义的加法和乘数运算不是通常的实数如果定义的加法和乘数运算不是通常的实数间的间的加加, 乘运算乘运算, 则除了检验运算的封闭性外，还则除了检验运算的封闭性外，还必需必需检验是否检验是否满足满足八条线性运算规律八条线性运算规律. 例例11 正实数的全体记作正实数的全体记作R+, 在其中定义加法及乘数运算为在其中定义加法及乘数运算为:a b = ab, l l a = al l, (l l R,

20、 a, b R+)验证验证R+对上述加法与乘数运算构成对上述加法与乘数运算构成(实数域实数域R上的上的)线性空间线性空间.证明证明: 对任意对任意a, b R+, l l R, a b = ab R+, l l a = al l R+,所以对所以对R+上定义的加法与乘数运算封闭上定义的加法与乘数运算封闭. 下面验证八条线性运算规律下面验证八条线性运算规律: 对任意对任意a, b, c R+, k, l R, (1) a b = a b = b a = b a ;(2) (a b) c = (a b) c = (a b)c= a(b c) = a (b c) =a (b c) ;19 下面验证八

21、条线性运算规律下面验证八条线性运算规律: 对任意对任意a, b, c R+, k, l R, (1) a b = a b = b a = b a ;(2) (a b) c = (a b) c = (a b)c= a(b c) = a (b c) =a (b c) ;(3) 存在零元存在零元1 R+, 对任意对任意a R+, 有有a 1=a 1=a;(4) 对任一元素对任一元素a R+, 存在负元素存在负元素a-1 R+, 有有a a1= a a1 =1;(5) 1 a = a1 = a ;(6) k (l a) = k al = (al)k = ak l = (k l) a;(7) k (a

22、b) = k (a b) = (a b)k = ak bk(8) (k+l) a = ak+l = ak al= ak bk = k a k b;所以所以, R+对所定义的运算构成线性空间对所定义的运算构成线性空间.= ak al = k a l a .20对于通常的有序数组的加法及如下定义的数乘对于通常的有序数组的加法及如下定义的数乘: l l (x1, x2, , xn)T = (0, 0, , 0)T不构成线性空间不构成线性空间.例例13 n元实有序数组组成的全体元实有序数组组成的全体 Sn= x=(x1, x2, , xn)T| x1, x2, , xn R 但但1 x = 0 x,

23、故不满足第故不满足第(5)条运算规律条运算规律.即所定义的运算不是线性运算即所定义的运算不是线性运算, 所以所以Sn不是线性空间不是线性空间.显然显然, Sn对运算封闭对运算封闭. 例例12 21例例14 平面上不平行于某一向量平面上不平行于某一向量 a 的全体向量，对的全体向量，对通常的向量的加法和数乘不构成线性空间，通常的向量的加法和数乘不构成线性空间，因为此集合中不包含零向量因为此集合中不包含零向量.例例15 注意：注意：22即即n阶方阵阶方阵A的实系数多项式的全体，则的实系数多项式的全体，则V关于矩阵关于矩阵例例16令令 ( )( ) ,n nVf A f xR xAR 的加法和数量乘

24、法构成实数域的加法和数量乘法构成实数域R上的线性空间上的线性空间证：根据矩阵的加法和数量乘法运算可知证：根据矩阵的加法和数量乘法运算可知( )( )( ),( )( )f Ag Ah Akf Ad A其中，其中，,( ), ( ) kRh x d AR x又又V中含有中含有A的零多项式，即零矩阵的零多项式，即零矩阵0，为，为V的零元素的零元素.以以 f(x) 的各项系数的相反数为系数作成的多项式记为的各项系数的相反数为系数作成的多项式记为f(x) ，则，则 f(A)有负元素有负元素f(A). 由于矩阵的加法与数由于矩阵的加法与数乘满足其他各条，故乘满足其他各条，故V为实数域为实数域R上的线性空

25、间上的线性空间.231.1.3 1.1.3 线性空间的性质线性空间的性质证明证明: 假设假设1, 2是线性空间是线性空间V中的两个中的两个零元素零元素.1. 零元素是唯一的零元素是唯一的.则对任何则对任何 V有有, + 1 = , + 2 = ,由于由于 1, 2 V, 则有则有 2+ 1= 2, 1+ 2= 1.所以所以 1= 1+ 2 = 2+ 1 = 2.则有则有 + =0, + =0,2. 负元素是唯一的负元素是唯一的.证明证明: 设设 的负元素为的负元素为 与与 ,所以所以= . = +0 = +( + )=( + )+ =( + )+ =0+ 因此因此, 将向量将向量 的负元素记为

26、的负元素记为 .利用负元我们有利用负元我们有: - = +(- ) 24两边加上两边加上 即得即得 0 0； (0)0kkkk两边加上两边加上 k；即得；即得k 00 ;( 1 )1( 1 )(1 1)00 两边加上两边加上 即得即得 ( 1); ()()kkkk 即得即得 两边加上两边加上 k().kkk 00,00, ( 1),()kkkk 3、 0(01),证明：证明：254. 如果如果ll = 0, 则则 l l = 0 或或 = 0.证明证明: 如果如果l l 0, , 0011 l llll l又又那么那么, .1)1(1 l ll llll l 所以所以, = 0. 故结论成立故

27、结论成立.例例17 证明：数域证明：数域P上的线性空间上的线性空间V若含有一个非零若含有一个非零向量，则向量，则V一定含有无穷多个向量一定含有无穷多个向量.证：设证：设,0V 且且121212,有k kPkkkkV1212()0kkkk又又12.kk而数域而数域P中有无限多个不同的数，所以中有无限多个不同的数，所以V中有无限中有无限多个不同的向量多个不同的向量.262.1.2 线性空间的子空间的概念线性空间的子空间的概念 对于数域对于数域F上的线性空间上的线性空间V（简记为（简记为V(F)它的子集它的子集S关于关于V中的两种运算可能仍构成线性空间中的两种运算可能仍构成线性空间S，也可能不构成线

28、性空，也可能不构成线性空间。如：间。如：( , , )|;( , , )|sx y zxyzsx y zxyz125051都是都是 线性空间的两个子集，线性空间的两个子集， 对于三维向量的加法与数乘，对于三维向量的加法与数乘， 构成线性空间；构成线性空间； 对三维空间的加法与数乘不构成线性空间。对三维空间的加法与数乘不构成线性空间。 为此，我们有：为此，我们有：R3s1s2 定义定义1: 设设 V 是一个线性空间是一个线性空间, S 是是 V的一个非空子集的一个非空子集, 如如果果 S 对于对于 V中所定义的加法和数乘两种运算也构成一个线性空中所定义的加法和数乘两种运算也构成一个线性空间间,

29、则称则称 S 为为 V的的子空间子空间.27 定理定理1: 线性空间线性空间 V的非空子集的非空子集 S 构成子空间的充分必要构成子空间的充分必要条件是条件是: S对于对于V中的线性运算封闭中的线性运算封闭. 证明证明: 由于由于S是线性空间是线性空间V的子空间的子空间, 则由定义知则由定义知, S对于对于V中中的线性运算封闭的线性运算封闭. 反之反之, 由于由于S是线性空间是线性空间V的非空子集的非空子集, 则则S中的元素必为中的元素必为V中的元素中的元素,又由于又由于S对于对于V中的线性运算封闭中的线性运算封闭,则则S中的元素的线中的元素的线性运算就是性运算就是V中元素在中元素在V中的运算

30、中的运算,因此因此, 八条运算律中八条运算律中(1), (2), (5), (6), (7), (8)显然成立显然成立,(1);(2)()()(5)1;(6) ()()(7)();(8) ()k lklklklkkk 故只需验证故只需验证(3), (4)两条成立两条成立, 即零元素即零元素在在S中中, 且且S中元素的负中元素的负元素也在元素也在S中中. 对任意的对任意的 S, 则则 R, 由运算的封闭性知由运算的封闭性知: 0 S, 而而0 = , 故故 S, 从而从而(3)成立成立. 再由再由(1) R, 则则(1) S, 且且 +(1) = , 所以所以 的负元素就的负元素就是是(1) ,

31、 从而从而(4)成立成立.所以所以S是线性空间是线性空间V的子空间的子空间.28110(1), ,;0bWb c dRcd., 0000)2(2 RcbacbacbaW 例例1 线性空间线性空间R2 3的下列子集是否构成的下列子集是否构成R2 3的子空间的子空间? 为为什么什么?解解(1) W1不构成子空间不构成子空间.因为对因为对,0000011WBA 有有000002AB即即W1对矩阵加法不封闭对矩阵加法不封闭, 故不构成故不构成R2 3的子空间的子空间. W1.,0000002W 对任意对任意2222111000,000WcbaBcbaA (2) 因因故故W2非空非空.29,000000

32、2W 对任意对任意2222111000,000WcbaBcbaA 有有于是于是 212121000ccbbaaBA(2) 因因故故W2非空非空.a1+b1+c1=0, a2+b2+c2=0,满足满足(a1+a2)+(b1+b2)+(c1+c2)=0,因此因此, 有有A+B W2, 即即W2对加法封闭对加法封闭.对任意的对任意的k R, 有有,000111 kckbkakA有有ka1+kb1+kc1= k(a1+b1+c1) = 0,因此因此, 有有kA W2, 即即W2对数乘封闭对数乘封闭.从而从而, W2构成构成R2 3的子空间的子空间.30定义定义2设设V是数域是数域F上的一个线性空间，上

33、的一个线性空间，, .iiV kF is 1 .,;,1111为该线性组合的系数为该线性组合的系数称称组合组合的一个线性的一个线性为为则称向量则称向量sssskkkk 若若V中向量中向量 可以表成可以表成 的线性组合，即存的线性组合，即存在在 使得使得则称则称 可由可由 线性表示。线性表示。 1,s1,skkF 11sskk 1,s31设设 V是线性空间是线性空间, S 是是 V的非空子集的非空子集, 则则 1122,1,2, mmiiWkkkS kF im是是 V中包含中包含 S 的最小子空间的最小子空间.当当 S = 为有限集时为有限集时, 记记12,m 12,mWL 称称W为由为由12,

34、m 生成（张成）的子空间生成（张成）的子空间.简称简称W为由为由12,m 的张空间的张空间.记记W为为 或或12, , ,mW 12, , ,mWspan特别地特别地 为为V的子空间。的子空间。 Wspan32证明：证明：由由1122,1,2, mmiiWkkkS kF im显然显然 ，设，设 ，则存在，则存在 及及WS W，12111, , , mS 1212, , mnk kkl llF使得：使得：1122mmkkk1122mmlll于是：于是：11221122()()mmmmkkklllW又又 ，也有：，也有：kF 1122mmkkkkkkkW所以：所以： 是是V 的一个子空间，再设的一

35、个子空间，再设W*是是V中包含中包含S的子空间，对的子空间，对 则有则有W W12, , ,mS1122mmkkk又又 且是线性空间，且是线性空间，*WS故故1122*mmkkkW331212,mmLL 12,m 与与12,m 等价等价.从而从而 ，因此，因此W中包含中包含S的最小子空间。的最小子空间。*WW证明：证明：必要性是显然的。必要性是显然的。 充分性：若充分性：若12,m 与与12,m 等价等价.则则 中任一向量都可由中任一向量都可由线性表示，即线性表示，即 故故12,m 12,m 1122immlll12, mL(1,2,)im1212, mmLL同理有同理有 1212, mmLL

36、所以有：所以有：1212,mmLL 34例例2 设设 V为线性空间为线性空间, 则则0和和V是是V的两个子空间，称为的两个子空间，称为 V的的平凡子空间平凡子空间,其它子空间称为其它子空间称为非平凡子空间非平凡子空间.例例3 证明：证明：35 例例4 次数次数不超过不超过n的多项式的全体记作的多项式的全体记作Pxn, 即即Pxn = p(x)=a0+a1x+anxn | a0, a1, , an R 对通常对通常多项式加法多项式加法, 数乘多项式的乘法数乘多项式的乘法构成构成向量空间向量空间.36设设, x | Ax = 0m nAFS是是nF的一个子空间的一个子空间,记作记作N(A), 称为

37、齐次线性方程组的解空间称为齐次线性方程组的解空间, 或矩阵或矩阵, x | Ax = bm nAFS不是不是nF的子空间的子空间.A的零空间，由矩阵行向量生成的空间称为矩阵的行空的零空间，由矩阵行向量生成的空间称为矩阵的行空间，由矩阵列向量生成的空间称为矩阵的列空间，分别间，由矩阵列向量生成的空间称为矩阵的列空间，分别记为：记为： 它们都是它们都是 的子空间。的子空间。( ), ()TR A R AnF(1) N(A)是由齐次线性方程组的基础解系生成的是由齐次线性方程组的基础解系生成的nF的一个子空间的一个子空间,（2）如果向量组）如果向量组12p , , , ,和和*12p , , , ,为

38、方程组为方程组 Ax0 的两个基础解系，则的两个基础解系，则1 12212|,pppSkkkk kk为任意实数为任意实数*1 12212| , ,pppSllll ll为为任任意意实实数数37定义定义3：设设 是线性空间是线性空间V的两个子空间，则的两个子空间，则V的子的子 集合集合: 12,W W1212 , ,WWWW12212,WWWW分别称为两个子空间的交与和分别称为两个子空间的交与和.要注意的是：要注意的是： 是是 中的任一元素与中的任一元素与 中任一元素的和中任一元素的和组成的集合，这与组成的集合，这与 的概念不同。的概念不同。12WW1W2W12WW定理定理 3 如果如果V1 ,

39、 V2 是线性空间是线性空间 V 的两个子空的两个子空间间, 那么它们的交那么它们的交V1 V2 也是也是 V 的子空间的子空间.证明证明首先，由首先，由 0 V1 ， 0 V2 ， 可知可知 0 V1 V2 ，因而，因而 V1 V2 是非空的是非空的.其次其次, 如果如果 , V1 V2 , 即即 , V1 ，而且，而且 , V2 ， 那么那么38 + V1 ， + V2 ，对数量乘积可以同样地证明对数量乘积可以同样地证明.所以所以V1 V2 是是 V 的的子空间子空间.因此因此 + V1 V2 .推广推广 多个子空间的交多个子空间的交 121|,1,2,3,ssiiiVVVVV is 为线

40、性空间为线性空间V的子空间，则集合的子空间，则集合12,sV VV也为也为V的子空间，称为的子空间，称为 的交空间的交空间. 12,sV VV子空间的交的运算规律子空间的交的运算规律1) 交换律交换律 V1 V2 = V2 V1 ；2) 结合律结合律 (V1V2 ) V3 = V1(V2 V3 ) .39定理定理 4 如果如果V1 , V2 是线性空间是线性空间 V 的两个子空的两个子空间，那么它们的和间，那么它们的和 V1 + V2 也是也是 V 的子空间的子空间. = 1 + 2 , 1 V1 , 2 V2 , = 1 + 2 , 1 V1 , 2 V2 ,那么那么 + = ( 1 + 1

41、 ) + ( 2 + 2 ) .证明证明其次其次 , 如果如果 , 首先，由首先，由 0 V1 ，0 V2 ，可知，可知 0 V1 + V2 ，因而，因而 V1 + V2 是非空的是非空的.V1 + V2 , 即即又因为又因为 V1 , V2 是子空间，故有是子空间，故有 1 + 1 V1 ， 2 + 2 V2 .因此因此 + V1 + V2 .同理同理k = k 1 + k 2 V1 + V2 .所以，所以， V1 + V2 是是 V 的子空间的子空间.40 推广推广 多个子空间的和多个子空间的和 12|,1,2,3,siiV is为线性空间为线性空间V的子空间，则集合的子空间，则集合12,

42、sV VV也为也为V的子空间，称为的子空间，称为 的和空间的和空间. 12,sV VV121sisiVVVV 子空间的和的运算规律子空间的和的运算规律1) 交换律交换律 V1 + V2 = V2 + V1 ；2) 结合律结合律 (V1 + V2 ) + V3 = V1+ (V2 + V3 ) .41性质性质 1 设设 V1 , V2 , W 都都是子空间，那么由是子空间，那么由W V1 与与 W V2 可推出可推出 W V1 V2 ；而由而由W V1 与与 W V2可推出可推出 W V1 + V2 .性质性质 2 对于子空间对于子空间 V1 , V2 , 以下三个论断是以下三个论断是等价的：等

43、价的：1) V1 V2 ；2) V1 V2 = V1 ；3) V1 + V2 = V2 .子空间的交与和的性质子空间的交与和的性质42V的两子空间的并集未必为的两子空间的并集未必为V的子空间的子空间. 例如例如 注意：注意：12( ,0,0),(0, ,0)VaaRVbbR皆为皆为R3的子空间，但是它们的并集的子空间，但是它们的并集 12( ,0,0),(0, ,0) ,VVaba bR 并不是并不是R3的子空间的子空间. 因为它对因为它对R3的运算不封闭，如的运算不封闭，如12(1,0,0)(0,1,0)(1,1,0)VV 12(1,0,0), (0,1,0)VV 但是但是( , ,0) ,

44、且中至少有一是0a ba bRa b43例例 6 设设 V1 = L( 1 , 2 ) , V2 = L( 1 , 3 ) 是是 R3两个不同的两个不同的 2 维子空间，求维子空间，求 V1 V2 和和 V1 + V2 ，并指出它们的几何意义并指出它们的几何意义.解解 因为因为 V1 和和 V2 是两个不同的子空间，所以是两个不同的子空间，所以 1 , 2 , 3 线性无关，线性无关，从而从而 V1 = V2 与题设矛盾与题设矛盾. 于是由子空间的交与和于是由子空间的交与和的定义可得的定义可得V1 V2 = L( 1 )，V1 + V2 = L( 1 , 2 , 3 ) = R3 .否则否则

45、3 可由可由 1 , 2 线性表示线性表示44其几何意义是：其几何意义是：V1 = L( 1 , 2 ) 是向量是向量 1 , 2 所所确定的平面，确定的平面，的平面，的平面，是整个是整个 3 维空间维空间. V2 = L( 1 , 3 ) 是向量是向量 1 , 3 所确定所确定V1 V2 是这两个平面的交线，是这两个平面的交线， V1 + V2oxyz 1 2 3V1V2V1 V245例例 7 设设 V1 , V2 分别是分别是 R3 过原点的直线和平过原点的直线和平面面(直线不在平面上直线不在平面上)上的全体向量构成的子空间，上的全体向量构成的子空间，求求 V1 V2 和和 V1 + V2

46、 ，并指出它们的几何意义，并指出它们的几何意义.解解 由定义容易求得由定义容易求得V1 V2 = 0 ，V1 + V2 = R3 .V1V2 1xoyz46直和的定义直和的定义设设 为线性空间为线性空间V的两个子空间，若和的两个子空间，若和12,V V12VV 12112,VV注注:若有若有 ,1212111222,VV 则则 1122,. 分解式分解式 唯一的，意即唯一的，意即 12中每个向量的分解式中每个向量的分解式 是唯一的，和是唯一的，和 就称为就称为直和直和，记作，记作 或或 12.VV 12VV 12VV 12VVV V12,V V12,V VV12VV 47 分解式唯一的不是在任

47、意两个子空间的和中分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中都成立都成立. 例如，例如，R3的子空间的子空间11222333(,),(,),()VLVLVL 123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)这里，这里，在和中，向量的分解式不唯一，如在和中，向量的分解式不唯一，如12VV (2,2,2)(2,3,0)(0, 1,2)(2,1,0)(0,1,2)所以和不是直和所以和不是直和.12VV 48而在和中，向量而在和中，向量 (2,2,2) 的分解式是唯一的，的分解式是唯一的，13VV (2,2,2)(2,2,0)(0,0,2)事实上，对事实上，对12313(,),a a aVV 故是直和

48、故是直和.12VV 123(,0)(0,0,).a aa 都只有唯一分解式：都只有唯一分解式：49直和的判定直和的判定分解式唯一，即若分解式唯一，即若1211220,VV 1、 和是直和的充要条件是零向量和是直和的充要条件是零向量12VV 则必有则必有120.1211220,若VV证：证：. 12VV 是直和是直和, 12,VV 的分解式唯一的分解式唯一.120,0.而而0有分解式有分解式 0=00,0=00,50. 故是直和故是直和. 12VV ,1212111222,VV 设，它有两个分解式设，它有两个分解式12VV 有有11220,0.其中其中 111222,VV于是于是 1122()(

49、)0由零向量分解成唯一，且由零向量分解成唯一，且 0=00,0=00,即即 1122,的分解式唯一的分解式唯一. 512、和是直和、和是直和 12VV 120VV . .则有则有 12120VV 120,即即 12VV 是直和是直和. “” 任取任取 12,VV 证：证：“” 若若 1211220,.VV于是零向量可表成于是零向量可表成 120(),.VV 由于是直和，零向量分解式唯一，由于是直和，零向量分解式唯一， 12VV 0. 故故 120 .VV 52总之，设为线性空间总之，设为线性空间V的子空间，则下面的子空间，则下面12,V V四个条件等价四个条件等价:2）零向量分解式唯一）零向量

50、分解式唯一1）是直和）是直和 12VV 3） 120VV 定义定义中每个向量的分解式中每个向量的分解式121sisiVVVV 推广推广多个子空间的直和多个子空间的直和都是线性空间都是线性空间V的子空间，若和的子空间，若和12,sV VV是唯一的，则和就称为直和，记作是唯一的，则和就称为直和，记作1siiV 12sVVV,121,2,siiV is53四个条件等价四个条件等价:2）零向量分解式唯一，即）零向量分解式唯一，即3） 0 ,1,2,ijj iVVis 判定判定设都是线性空间设都是线性空间V的子空间，则下面的子空间，则下面12,sV VV1） 是直和是直和 1siiWV 0,1,2,必有

51、iis ,120,siiV54例例8 已知，设已知，设n nAP ,12,0nnVAX XPVX XPAX2）当）当 时，时，12.nPVV2AA 证：证：1） 100,0AV 任取任取有有1,AAVkP 11(),()().AAAVk AA kV是是 的子空间的子空间.nP1V证明：证明：1） 是是 的子空间的子空间.12VV、nP55200,0AV 0,0,AA又对又对2,VkP 有有从而有从而有 ()000AAA()00A kkAk22,VkV故故 是是 的子空间的子空间.nP2V下证下证 是是 的子空间的子空间.nP2V56又又12.nPVV2）先证）先证 任取任取,(),有nPAA2

52、()0AAAAAA2.AV12.nPVV12.于是有 VV 11.nPVV其中其中1,AV 再证再证 12.nPVV又是又是 的子空间，的子空间，12VV nP57 120VV 2,0.由有VA1,.由必有, 使nVPA任取任取1212., 即且VVVV 2()0.AAA AA从而从而12.nPVV所以所以585960Pxn证明：证明：PxnPxn6111knx 62 2.1.3基和维数、坐标基和维数、坐标 已知已知: 在在Fn中中, 线性无关的向量组最多由线性无关的向量组最多由n个向量个向量组成组成, 而任意而任意n+1个向量都是线性相关的个向量都是线性相关的, Fn 中任意中任意n个线性无

53、关向量都构成个线性无关向量都构成Fn 的一组基，任何一个的一组基，任何一个n维向维向量都可由这组基线性表示，其表示系数按序排列的量都可由这组基线性表示，其表示系数按序排列的n维有序数组称为向量在这组基下的坐标。现在我们在维有序数组称为向量在这组基下的坐标。现在我们在一般线性空间中讨论类似的问题。一般线性空间中讨论类似的问题。 问题问题1: 在线性空间中是否也可以定义线性无关的在线性空间中是否也可以定义线性无关的概念概念? 问题问题2: 线性空间的一个重要特征线性空间的一个重要特征在线性空间在线性空间V中中, 最多能有多少线性无关的向量最多能有多少线性无关的向量?63 定义定义1 设设V为线性空

54、间为线性空间, 对对 1, 2, , m V, 如果如果存在不全为零的数存在不全为零的数 k1, k2, ,km F, 使使k1 1 + k2 2 + + km m = 0则称则称 1, 2, , m是是线性相关线性相关的的, 否则称它是否则称它是线性无关线性无关.向量空间中关于向量组的线性相关与线性无关向量空间中关于向量组的线性相关与线性无关的有关结论的有关结论,在线性空间也成立在线性空间也成立.例如例如.,V 11121且表示法唯一且表示法唯一线性表示线性表示向量组向量组必能由必能由向量向量则则线性相关线性相关而向量组而向量组关关线性无线性无向量组向量组中中在线性空间在线性空间定理定理mm

55、m 定理定理164线线性性相相关关，证证：由由向向量量组组 m,210,221121 lkkklkkkmmm使使数数则则存存在在一一组组不不全全为为零零实实0, 02211 mmkkkl 则则上上式式变变为为如如果果. 0,2121 lkkkmm故故线线性性无无关关矛矛盾盾，这这与与不不全全为为零零，而而且且系系数数 .,V 11121且表示法唯一且表示法唯一线性表示线性表示向量组向量组必能由必能由向量向量则则线性相关线性相关而向量组而向量组关关线性无线性无向量组向量组中中在线性空间在线性空间定理定理mmm 定理定理165, 0, 0, 0,221121 mmmlklklk所所以以系系数数线线

56、性性无无关关，因因为为 且且mmkkklll1212所以所以 可由可由 线性表示。线性表示。,m 12， 的的。线线性性表表示示的的方方法法是是惟惟一一，由由故故于于是是有有miimilk ,., 2 , 1,21 )()()mmmklklkl 1112220（两式相减两式相减 mmkkk1122下面证明惟一性，设下面证明惟一性，设mmlll112266证明：证明：1）不妨设）不妨设 线性相关，于是线性相关，于是,()jjm 12 2）如果向量组）如果向量组 线性无关，则其任一部分线性无关，则其任一部分 向量组线性相也必线性无关。向量组线性相也必线性无关。,m 12存在一组不全为零的数存在一组

57、不全为零的数 使使 ,jkkk12jjkkk 11220从而有一组不全为零的数从而有一组不全为零的数 使使 ,jjmk kk kk 12100jjjmkkk 11221000由定义知由定义知 线性相关。线性相关。,m 12所以如果向量组所以如果向量组 中有一部分向量组线性中有一部分向量组线性 相关，则整个向量组必线性相关。相关，则整个向量组必线性相关。,m 122）用反证法，若任一部分组线性相关，则由）用反证法，若任一部分组线性相关，则由1）知整体组线性相关，矛盾，故整体组无关，部分知整体组线性相关，矛盾，故整体组无关，部分组必线性无关。组必线性无关。 1）如果向量组）如果向量组 中有一部分向

58、量组线性相中有一部分向量组线性相 关，则整个向量组必线性相关。关，则整个向量组必线性相关。,m 12定理定理267例例1 证明：所有数域证明：所有数域F上次数小于上次数小于n的多项式所生成的的多项式所生成的线性空间线性空间 ( )|, ,nnniP xf xaxa xaaF in 11101 21中的元素中的元素 是是 的一组基。的一组基。, ,nx xx 211 nP x证明：证明：从从 中基的定义出发只需证明中基的定义出发只需证明 线线性无关，且每个性无关，且每个 都可用都可用 线性表线性表示即可。示即可。nF, ,nx xx 211( ) nf xP x , ,nx xx 211 首先任

59、一首先任一 都是都是 的线性的线性组合。其次，对一组数组合。其次，对一组数 ，令，令( ) nf xP x , ,nx xx 211,nkk kkF 0121nnkk xk xkx 2101210 等式右边是一零次多项式，因此左边必是零次等式右边是一零次多项式，因此左边必是零次多项式，故多项式，故 ，故，故 线线性无关，故性无关，故 为为 的一组基。的一组基。nkkkk 01210, ,nx xx 211, ,nx xx 211 nP x由例由例1， 中基的定义，线性相关定义对线性空间中基的定义，线性相关定义对线性空间V来说仍然来说仍然成立。为此我们引入：成立。为此我们引入：nF68 定义定义

60、 2 在线性空间在线性空间V中中, 如果存在向量组如果存在向量组 1, 2, , n , 满足满足: (1) 1, 2, , n 线性无关线性无关; (2) V中任意元素中任意元素 总可以由总可以由 1, 2, , n线性表示线性表示,则称则称 1, 2, , n为线性空间为线性空间V的一个的一个基基, 记为记为 v称称n为线性空间为线性空间V的的维数维数.记为：记为：dim(V)=n,也称也称V为为n维线性空间。维线性空间。 nnkkk1122维数为维数为n的线性空间的线性空间V称为称为n维线性空间维线性空间, 记作记作Vn.当一个线性空间当一个线性空间V中存在任意多个线性无关的向量时中存在