控制系统的稳态误差(补充)

1、稳态误差计算（补充）扰动作用下稳态误差的计算动态误差系数法稳态误差计算系统在控制信号作用下的稳态误差系统在控制信号作用下的稳态误差稳态误差稳态误差：瞬态过程结束后误差：瞬态过程结束后误差e(t)e(t)的稳态分量的稳态分量) s (H) s (G11) s (R) s (E) s (e) s (R) s (H) s (G11) s (E)()()(11lim)(lim)(lim00sRsHsGsssEteesstssr系统在扰动作用下的稳态误差系统在扰动作用下的稳态误差) s (H) s (G) s (G1) s (H) s (G) s (N) s (E212) s (N) s (H) s (

2、G) s (G1) s (H) s (G) s (E212)()()()(1)()()(21200sNsHsGsGsHsGsimlssEimlessssn稳态误差稳态误差：瞬态过程结束后误差：瞬态过程结束后误差e(t)的稳态分量的稳态分量从上式得出两点结论：从上式得出两点结论：1. 稳态误差与系统输入信号稳态误差与系统输入信号r(t)或扰动信号或扰动信号n(t)的形式有关；的形式有关；2. 稳态误差与系统的结构及参数有关稳态误差与系统的结构及参数有关。ssnssrsseee)()()()(1)()(lim)(lim)(lim212000sNsHsGsGsHsGsssEteessnsssn)()

3、()(11lim)(lim)(lim00sRsHsGsssEteessrtssr干扰信号作用下的稳态误差干扰信号作用下的稳态误差扰动信号扰动信号n(t)作用下作用下的系统结构图如图的系统结构图如图所示所示 扰动信号扰动信号n(t)作用下的误差函数为作用下的误差函数为 )()()()(1)()()(212sNsHsGsGsHsGsEn稳态误差稳态误差 若若 ，则上式可近似为，则上式可近似为)()()()(1)()(lim)(lim21200sNsHsGsGsHsGsssEesnsssn1)()()(lim210sHsGsGs)()()()(1)()(lim2120sNsHsGsGsHsGsess

4、sn)()(1lim10sNsGss干扰信号作用下产生的稳态误差干扰信号作用下产生的稳态误差essn除了与干扰信号除了与干扰信号的形式有关外，还与干扰作用点之前的形式有关外，还与干扰作用点之前(干扰点与误差干扰点与误差点之间点之间)的传递函数的结构及参数有关，但与干扰作的传递函数的结构及参数有关，但与干扰作用点之后的传递函数无关。用点之后的传递函数无关。例例1 1 设控制系统如图设控制系统如图1 1所示，其中所示，其中给定输入给定输入 ，扰动输入，扰动输入（ 和和 均为常数），试求系统的稳态误差。均为常数），试求系统的稳态误差。sTKsG1111)()1 ()(222sTsKsG) t ( 1

5、) s (R) t ( rr) t ( 1) t (R) t (nnrRnRR(s)-)(1sG)(2sG+N(s)C(s)图图1解解 当系统同时受到给定输入和扰动输入的作用时，其当系统同时受到给定输入和扰动输入的作用时，其稳定误差为给定稳态误差和扰动稳态误差的叠加。稳定误差为给定稳态误差和扰动稳态误差的叠加。) s (G) s (G11) s (21er0)1)(1 ()1)(1 ()()(1)(21212120210limlimsRKKsssssssGsGsRserssssr所以给定稳态误差为所以给定稳态误差为令令n(t)=0时，求得给定输入作用下的误差传递函数为时，求得给定输入作用下的误

6、差传递函数为 令令r(t)=0时，求得扰动输入作用下的误差传递时，求得扰动输入作用下的误差传递 函数为函数为 212( )( )1( )( )enG ssG s G s 由上式计算可以看出，由上式计算可以看出，r(t)r(t)和和n(t)n(t)同是阶跃信号，同是阶跃信号，由于在系统中的作用点不同，故它们产生的稳态误由于在系统中的作用点不同，故它们产生的稳态误差也不相同。此外，由扰动稳态误差的表达式可见，差也不相同。此外，由扰动稳态误差的表达式可见，提高系统前向通道中扰动信号作用点之前的环节提高系统前向通道中扰动信号作用点之前的环节G G1 1(s)(s)的放大系数（即的放大系数（即 ），可以

7、减小系统的扰动稳态误），可以减小系统的扰动稳态误差。差。121211202120)1)(1 ()1 ()()(1)()(limlimKRsRKKssssKssGsGsNssGennssssn1K1KReeenssnssrss所以扰动稳态误差为所以扰动稳态误差为 该系统总的稳态误差为该系统总的稳态误差为为了分析系统中串联的积分环节对稳态误为了分析系统中串联的积分环节对稳态误差的影响，我们假设图差的影响，我们假设图1 1中中)1 ()(111ssKsGsKsG2221)(0)()(1)(210limsGsGssResssr)()()(1)(2120limsNsGsGssGesssn0)1)(1 (

8、)1 (21212120limsRKKssssKsns给定输入和扰动输入保持不变。这时，系统的稳态误差可按给定输入和扰动输入保持不变。这时，系统的稳态误差可按上述相同的方法求出，即上述相同的方法求出，即 ：系统总的稳态误差为系统总的稳态误差为 比较以上两次计算的结果可以看出，比较以上两次计算的结果可以看出，若要若要消除系统的给定稳态误差，则系统前向通消除系统的给定稳态误差，则系统前向通道中串联的积分环节都起作用。若要消除道中串联的积分环节都起作用。若要消除系统的扰动稳态误差，则在系统前向通道系统的扰动稳态误差，则在系统前向通道中只有扰动输入作用点之前中只有扰动输入作用点之前G G1 1(s)(

9、s)的积分环的积分环节才起作用节才起作用。因此，若要消除由给定输入因此，若要消除由给定输入和扰动输入同时作用于系统所产生的稳态和扰动输入同时作用于系统所产生的稳态误差，则串联的积分环节应集中在前向通误差，则串联的积分环节应集中在前向通道中扰动输入作用点之前道中扰动输入作用点之前( (即即G G1 1(s)(s)中中） 。 0ssnssrsseee解：给定信号下的稳态误差解：给定信号下的稳态误差扰动信号下的稳态误差扰动信号下的稳态误差系统总的稳态误差：系统总的稳态误差：1 . 0110) 1)(11 . 0() 1)(11 . 0(lim)()()(11lim20210sssssssssRsGs

10、Gsessssr5 . 0110) 1)(11 . 0() 11 . 0(5lim)()()(1)(lim02120sssssssNsGsGsGsessssn6 . 0ssnssrSSeee例例2稳态误差小结：1.公式小结( )( )( )E sR sB s 1( )1( )( )erE ssR sG s H s00( )( )( )1( )( )limlimlimssrtsssR see tsE sG s Hs niimjjsSsKsHsG11)1()1()()()()(lim0sHsGsKs（1）（2）（3）（4）（5）（1）基本公式给定输入单独作用时( )( )( )( )( )E sR

11、 sB sH s C s 212( )( )( )1( )( )( )enE sGs H ssN sGs Gs H s 20012( )( )( )( )1( )( )( )limlimssnsssGs H see tN sGs Gs H s扰动单独作用时给定输入和扰动共同作用时 212( )( )( )11( )( )( )erR sGs H s N sE ss R ss N sG s H sG s Gs H s ssssrssneee（6）（7）（8）（9）（10）R(s)-B(s)E(s)N(s)+C(s)(1sG)(2sG)(sHr(t)b(t)e(t)00( )( )( )1( )(

12、 )limlimlimssrtsssR see tsE sG s Hs 20012( )( )( )( )1( )( )( )limlimssnsssGs Hsee tN sGs Gs Hs1. 稳态误差与系统输入信号稳态误差与系统输入信号r(t)或扰动信号或扰动信号n(t)的形式有关；的形式有关；2. 稳态误差与系统的结构及参数有关稳态误差与系统的结构及参数有关。稳态误差系数和稳态误差稳态误差系数和稳态误差减小和消除稳态误差方法减小和消除稳态误差方法提高系统的开环增益提高系统的开环增益增加开环传递函数中积分环节增加开环传递函数中积分环节系统的稳定性系统的稳定性ttrsin)(TssTsse1

13、111)(22)(ssR221)()()(sTsssRssEe01lim)(lim)(lim2200sTsssssEtesstsE(s)的极点不全部分布在的极点不全部分布在S平面的左半部平面的左半部终值定理终值定理.sincos)(22tTtTte例例3动态误差系数方法动态误差系数方法 前面研究的稳态误差主要讨论的是典型输入信号下的稳前面研究的稳态误差主要讨论的是典型输入信号下的稳态误差，对于部分非典型信号（如正弦信号）下，求稳态误态误差，对于部分非典型信号（如正弦信号）下，求稳态误差的极限计算方法可能不能用。另外，我们可能还需要了解差的极限计算方法可能不能用。另外，我们可能还需要了解输出响应

14、在进入稳态（输出响应在进入稳态（tts)后变化的规律如何。这些问题用后变化的规律如何。这些问题用前面介绍的方法都不方便。因此，下面再介绍一种适应范围前面介绍的方法都不方便。因此，下面再介绍一种适应范围更广泛的方法：动态误差系数法（又称广义误差系数法）。更广泛的方法：动态误差系数法（又称广义误差系数法）。根据定义误差信号的拉氏变换式为：根据定义误差信号的拉氏变换式为： eE ss R s 将误差传递函数将误差传递函数e（s）在）在s=0的邻域内展开成泰勒级数，得的邻域内展开成泰勒级数，得 neneeeesnsss) 0(!1) 0(! 21) 0() 0()()(2得误差信号拉氏变换的一般表达式

15、为：得误差信号拉氏变换的一般表达式为：在零初始条件下，在零初始条件下，对上述级数求拉氏反变换，得稳态误差随时对上述级数求拉氏反变换，得稳态误差随时间变化得函数关系如下：间变化得函数关系如下： ( )10 ;(0,1,2,.)!iieCii定义定义为为动态误差系数动态误差系数。 )()0(!1)()0(! 21)()0()()0()()()()(2sRsnsRsssRsRsRssEneneeee)()()0(!1)()0(!1)()0(! 21)()0()()0()()(0)()(0)()(trCtritrntrtrtrteiiiieiineneeess 特别称特别称C0为动态位置误差系数；为动

16、态位置误差系数； C1为动态速度误差系数；为动态速度误差系数； C2为动态加速度误差系数。为动态加速度误差系数。说明：说明： “动态动态”二字的含意是指这种方法可以完整描述系统稳二字的含意是指这种方法可以完整描述系统稳态误差态误差ess(t)随时间变化的规律。随时间变化的规律。)0(! 21)0()0(eee ( )10 ;(0,1,2,.)!iieCii定义定义为为动态误差系数动态误差系数。动态误差系数的计算方法：动态误差系数的计算方法：多项式除法：多项式除法：1）将分子多项式和分母多项式分别按升幂排列；）将分子多项式和分母多项式分别按升幂排列；2）用多项式除法逐项求出）用多项式除法逐项求出

17、C0，C1，C2，)()()()()(11)(sNsMsNsHsGse开环传递函数开环传递函数分母除分子，得：分母除分子，得：误差传递函数误差传递函数)()(11)()(221221sNsMsasasasbsbsbsKsHsGnnmmv332210sCsCsCCe误差：误差：)()()()()()()()(332210332210sRsCsRsCssRCsRCsRsCsCsCCsRsEe )()0(!1)()0(! 21)()0()()0()()(1)()()()()(2sRsnsRsssRsRsHsGsRsRssEneneeee比较一下：比较一下：3 , 2 , 1 , 0iCi也就是也就是

18、动态误差系数动态误差系数 21211( )1( )10erE ssssR sG sss例例4：已知单位反馈系统的开环传递函数为：已知单位反馈系统的开环传递函数为： 1101Gss s系统一：系统一：系统二：系统二： 21021Gsss求动态误差系数。求动态误差系数。解：根据公式得：解：根据公式得： 222212( )1( )102erE ssssR sG sss用长除法用长除法系统一：系统一：动态误差系数：动态误差系数：C0=0，C1=0.1，C2=0.09，C3=-0.019，0000002 ss210ss 0s1 .0209.0s3019.0s321 .01 .0sss321 .09 .0

19、ss 43209.009.00.9sss4319.019.0ss 543019.019.019.0sss用长除法用长除法222323234343450.110220000000.10.201.90.21.90.190.3800.390.380.390.0390.078.ssssssssssssssssss230.190.039.ss系统二：系统二：系统二动态误系统二动态误差系数：差系数：C0=0C1=0.1C2=0. 19C3=-0.039ttr5sin)(例例5：系统的开环传递函数系统的开环传递函数解：误差传递函数：解：误差传递函数：求稳态误差？求稳态误差？ )()()()(3210trCt

20、rCtrCtrCess误差误差： 1101Gss s输入为输入为22110)(11sssssGe32019.009.01 .0sss误差系数：误差系数：C C0 0=0=0，C C1 1=0.1=0.1，C C2 2=0.09=0.09，C C3 3=-0.019=-0.019，ttr5sin)(ttr5cos5)(ttrcos55)(3 ttr5sin5)(2 ttr5sin5)(4.改善系统稳态精度的方法改善系统稳态精度的方法 从上面稳态误差分析可知，采用以下途径来改从上面稳态误差分析可知，采用以下途径来改善系统的稳态精度：善系统的稳态精度：1. 提高系统的型号或增大系统的开环增益，可提高

21、系统的型号或增大系统的开环增益，可以保证系统对给定信号的跟踪能力。但同时带来以保证系统对给定信号的跟踪能力。但同时带来系统稳定性变差，甚至导致系统不稳定。系统稳定性变差，甚至导致系统不稳定。 2. 增大误差信号与扰动作用点之间前向通道的增大误差信号与扰动作用点之间前向通道的开环增益或积分环节的个数，可以降低扰动信号开环增益或积分环节的个数，可以降低扰动信号引起的稳态误差。但同样也有稳定性问题。引起的稳态误差。但同样也有稳定性问题。 3. 采用复合控制，即将反馈控制与扰动信号的采用复合控制，即将反馈控制与扰动信号的前馈或与给定信号的顺馈相结合。前馈或与给定信号的顺馈相结合。)()(1)()()()()()(2121sGsGsGsGcsGsRsCs)()()( 11)()(1)()(1 )()()(22sRsGsGsGsGcsRssCsRsE)(1)(2sGsGc0)(sE若输入量补偿的复合控制输入量补偿的复合控制G1(s)G2(s)C(s)-+R(s)Gc(s)N(s)-E(s)()(1)()()(1 )()(2121sGsGsGsGcsGsNsC)()()