初中数学全等辅助线添加初步和倍长中线

1、笔记区全等辅助线添加初步和倍长中线模块一 辅助线添加初步1添加辅助线的目的： 凸显和集散 2添加辅助线的基本作图方法： （1）连接两点：连接 * ； （2）作延长线：延长 * 交* 的延长线于 *； （ 3）作平行线：过点 * ，作 * 的平行线，与 * 交于点 * ； （4）作垂线：过点 *，作* 的垂线，垂足为 *；模块二 倍长中线C1作法： 延长*到*，使*，连接 *； 如图，在三角形 ABC中， AM为中线，则延长 AM到点 T， 使 TM AM ，连接 BT（CT）2目的：产生一对 SAS的全等三角形， 得到对应边相等， 对应角相等 3两个重要总结：（1）倍长中线不重要，重要的是倍长

2、过中点的线 如图，在三角形 ABC 中， M 点为 BC 的中点， N 点为 AC 上 任意一点，则延长 NM 到点 T，使 TM=NM ，连接 BT（2）倍长中线后，连接哪个点不重要，重要的是构造二次 全等模块一 辅助线添加初步引例我们在小学已经学过，有两条边相等的三角形的是等腰三角形，等腰三角形中有条重要的 性质：等边对等角，等角对等边AB=AC，求证： B= C B= C，求证： AB=AC（ 1）已知：如图 1，在 ABC 中，（ 2）已知：如图 2，在 ABC 中，CC解析】 （1）作 AD垂直 BC于点 D ，则RtABD Rt ACD （HL） ， B=C （2）作 AD 垂直

3、BC于点 D，则 ABDACD（AAS），AB=AC教师备课提示 】通过这道题可以讲解辅助线的作用在凸五边形中笔例题 1BDABCABECDABCDBECDBAAEBED1-22）如图 1-2，AB AEAED ，BC ED ，点图 1-11）如图 1-1，已知 ACCFDAD AC ， BC BD ，求证： AD BCAFC AFDCF 图AFD90 ，这道题主要讲解基本辅助线连接两点D， BC DE ， M 为 CD 中点求证： AM CDE ， C解析】 （1）连接 CD ，RtADC和 RtBCD 中 AC BDDC CDRtADC RtBCD ， AD BC （ 2）连接 AC、 A

4、D，AB AE ， ABCABC AED ， 点 F 是 CD 的中点， ACF ADF ，AFC AFD 180AFC 90 ， AF教师备课提示F 是 CD 的中点求证： AF CD AAED ， BC EDAC AD ，CF DF ，GMDMDCCFAE，交直线 CD 于 F， AED ， FBC EDM ， BCF解析】 延长 AB， ABC BCM在 BCF 与EDG 中GGEDEDG 记FBC GEDBC EDBCF EDG BCF EDG (ASA) ， F GFC GD， AG AF， CM MD ， FM MG ，在 AMF 与 AMG中AM AMFM MGAF AG180

5、AMF AMG (SSS) ， AMF AMG 90 ， AM CD 2 教师备课提示 】这道题主要讲解基本辅助线作延长线例题3 如图，平面上有一边长为 2的正方形 ABCD ，O为对角线的交点，正方形 OEFG 的顶点与 O重合， OE、OG分别与正方形 ABCD 的边交于 M、N两点（1）如图 3-1，当 OE AB 时，四边形 OMBN 的面积为四边形 OMBN 的面积会发生变化吗？试（2）如图 3-2，当正方形 OEFG 绕点 O 旋转时， 证明你的结论C图(32-)2AG 图 3-1 图(1)解析】 （1） 1；（2）不会解法一：过 O点作 OP AB于 P，OQABCD 是正方形，

6、 O 是对角线交点， OP OQ ， OP AB 于 P ， OQ OPM OQN 90BC 于 Q，BC 于 Q，POQ OEFG 是正方形， MOPMON 90 ，NOQ ， MOP NOQ ， S S 1S 1SOMBN SOPBQSABCD 1 490 ，记笔ADEMOCBNFG教师备课提示例题 4BCDFAFAFCBFA90BEGCFHFN区的中点G、HBE CFEG FHD 是 EF 垂足分别为ME CFBE NFBGD是 EF 的中点F 点作 FN/AB交 BC 的延长线于 NBDE NDF ， ED FD 解法三：分别过 E、F 作 BC 的垂线ACB 在 BDE 和 NDFB

7、DE NDFFCH ，BGE CHF解析】 解法一：过 E 点作 EM/AC 交 BC 于 M AB ACEM ACABC FNDEMD FCDABC ACB BC ， 中，如图， ABC中， AB AC，E在AB上，F在 AC延长线上 EF 的中点AB AC ， EG BC， FH 在 BEG 和 CFHEBG FCHBGE CHF ，ABC ACB ，FNCABC ，FCN FNC ， FN 中，ABC ACB ， BME ACBEDM FDCED FD 解法二：过AB ACFN /AB，且 BE CF 求证： D 是 AABC EMB ， BE ME ， EMC FCM BE CF， M

8、E CF ， 在 EDM 和FDC 中，EDM FDC解法二：连接 OA、OB， ABCD 是正方形， O 是对角线交点， OA OB ， AOB 90 ， MON 90 ， AOM BON 又 OAM OBN 45 ，AOM BON ， S S 1S1SOMBN S AOBSABCD 14 这道题主要讲解基本辅助线作垂线，当然连接两点也可以CD C HCDB M D CAC AB 2AM AB AC 在 EDG 和 FDH 中，EDG FDH EGD FHD ，EG FHEDG FDH ， ED FD， D是 EF的中点 教师备课提示 】这道题主要讲解基本辅助线作平行线模块二 倍长中线例题

9、5 已知： ABC中， AC AB，AM 是中线求证：解析】 如图所示，延长 AM 到 E，使 EM 利用 SAS 证得 ABM ECM ， AB CE ， ACE 中， AE AC CE， 2AM AB AC， 2AM AC AB AC AB 2AM AB AC 教师备课提示】 这道题作为倍长中线的引入，梳理作法和过程例题6 如图，在ABC中，AD 平分 BAC ，E、F分别在 BD、AD 上，DE CD，EF AC求 证： EF/AB 解析】 延长 AD 到 M，使 DM AD ，连接 EM ， 在 ADC 和 MDE 中DM DAADC MDE ，CD ED ADC MDE ， 3M，A

10、C EM ，又 AC EF ， EM EF ， 1M ， 1 3 ，AD 平分 BAC ， 23，12 ， EF/AB 例题 7已知 AD 为ABC的中线，在 AB上有 求证： BE CF EF 点 E，AC 上有一点 F，连接 DE 、DF ，且 DEDF ，解析】 延长 FD 到 N，使 DN DF ，连接 BN、EN 易证 BND CFD ， BN CF ，又 EDF EDN 90 ，利用 SAS 证明 EDN EDF ， EN EF ，在 EBN 中， BE BN EN ， BE CF EF 教师备课提示 】例6和 7这两道题主要讲解倍长中线不重要， 重要的是倍长过中点的线例题8在 A

11、BC中，AB AC ，CE是 AB边上的中线，延长 AB到 D，使 BD AB 求证：CD 2CEF解析】 延长 CE 到 F，使 EF CE ，连接 BF CE 是 AB 的中线， AE EB 在 EBF 和EAC 中AE BEAEC BEF ，CE FE EBF EAC ， BFACBD，EBF EAC ， FBC FBE EBCAACBDBC在 FBC 和 DBC 中FB DBFBC DBC ，BC BC FBC DBC ， CDCF2CE 例题 9在 ABC 中，分别以 AB、 AC 为边长，向三角形的外侧作正方形ABDE 和正方形 ACFG ，M为 BC中点，求证：1） EG 2AM

12、 ；（2） AM EG 解析】 延长 AM到N，使 MN MA，连接 NC，延长 MA交EG于点 PMA MN在 ABM 和 NCM 中 AMB NMC ，BM CM ABM NCM ， CN AB AE ， ABMNCM ， AB NC， ACN BAC 180 ，又 EAG BAC 180 ， EAG ACN ，AE CN在 EAG 和 NCA 中 EAGNCA ，AG CA EAG NCA， EG NA 2AM ， NACEGA，又 NAC GAP 90 ，AGP GAP 90 ， MA EG 教师备课提示 】例 8 和例 9 这两道题主要讲解倍长中线后连接哪点不重要，重要的是构 造二次

13、全等，例 9 可以看成婆罗摩笈多定理的应用，请老师自行拓展记复习巩固模块辅助线添加初步演练1AB/CDCABABDCCDBABDABDCCBCDBCABBA图 1-2BD DB2）如图 1-2， AD BC， AC BD ，求证1）如图 1-1，在四边形 ABCD 中， AB CD求证： AD BCABD CDB ， AD （ 2）连接 AB， 在 ADB 与 BCA 中AD解析】 （ 1）连接 BD ， AB/CD 在 ABD 和 CDB 中AB CDABD CDBCDDABACBDADB BCA，DC如图 2-1，已知 ABC中， AB BC 1，ABC 90 ，把一块含 30 角的直角三

14、角板 DEF DE，长直角边为 DF ），将直 AB 于 M ，直线 DF 交直线 BC演练2的直角顶点 D 放在 AC 的中点上（直角三角板的短直角边为 角三角板 DEF 绕 D 点按逆时针方向旋转直线 DE 交直线 于 N直角三角板 DEF 与ABC 的（ 1）在图 2-1 中，证明 DM DN ；在这一旋转过程中，重叠部分为四边形 DMBN ，请说明四边形 DMBN 的面积是否发生变化？若发生变化，请 说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；笔记区（ 2）继续旋转至如图 2-2 的位置， 成立，请说明理由；（ 3）继续旋转至如图 2-3 的位置，DM DN 是否仍然成立？若成立，请给

15、出证明；若不DM DN 是否仍然成立？请写出结论，不用证明F图图2-22解析】 （1）在 RtABC 中， AB BC， ADDB DC AD ， BDC 90 连接 BD ，MDBMDBABD C 45 BDN CDN BDN 90 NDC BMDCND DC DM（另：也可证明 ADM BDN ）DMBNDN 图3四边形 由知： S BMD的面积不发生变化；BMDCND ，S CND S四边形 DMBNS DBNS DMBSDBNSDNCS 1SDBC ABC2（ 2） DM DN 仍然成立， 证明：连结 DB 在 RtABC中， AB BC ， DB DC ， BDC 90 DCB DB

16、MDBCDCNADDC，NDCCDNCDM BDM BDMCDM 90CDN BDM DMDN 3） DM DN 注意：作垂线也可以）45 135 模块倍长中线CD，在 ADB 和 EDC 中，AD EDADB EDC ，演练3 在 ABC 中， AD 是 BC 边上的中线 （1）求证： AB AC 2AD ；（2）若 AB 5 ， AC 9 ，求 AD 的取值范围解析】 （ 1）延长 AD 到点 E，使得 AD AD 是 BC 边上的中线， BDDCBEGDC DB ADB EDC ， AB EC ，在 ACE 中， AC CE AE 2AD，即 AB AC 2AD （2）由（ 1）得， AC AB 2AD AB AC ，即 4 2 AD 14 ，得 2 AD 7 演练 4 如图，已知在 ABC中， AD 是 BC边上的中线， E是 AD 上一点，延长 BE交AC 于F，解析】 延长 AD 到 G，使 DG AD ，连接 BG BD CD ， BDG CDA ， AD GD ， ADC GDB AC GB G 又 AF EF ， G BED ，EAF，EAF AEF ，BE BG， BE AC 演练5如图所示，求证：（1）BAC DAE 90 ，