精选单元检测2

1、精选单元检测(二)推理与证明(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.数列2，5，11，20，x，47，中的x等于()A.28B.32C.33D.27【解析】观察知数列an满足：a12，an1an3n，故x203×432.【答案】B2.用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是()A.方程x3axb0没有实根B.方程x3axb0至多有一个实根C.方程x3axb0至多有两个实根D.方程x3axb0恰好有两个实根【解析】方程x3axb0至少有一个实

2、根的反面是方程x3axb0没有实根，故应选A.【答案】A3.下列推理过程是类比推理的是()A.人们通过大量试验得出掷硬币出现正面的概率为B.科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼C.通过检测溶液的pH值得出溶液的酸碱性D.数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数【解析】A为归纳推理，C，D均为演绎推理，B为类比推理.【答案】B4.下面几种推理是合情推理的是()由圆的性质类比出球的有关性质；由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°；由f(x)sin x，满足f(x)f(x)，xR，推出f(x)sin x是奇函数；三角形内角

3、和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n2)·180°.A.B.C.D.【解析】合情推理分为类比推理和归纳推理，是类比推理，是归纳推理，是演绎推理.【答案】C5.设a21.522.5，b7，则a，b的大小关系是()A.a>bB.abC.a<bD.a>2(b1)【解析】因为a21.522.5>28>7，故a>b.【答案】A6.将平面向量的数量运算与实数的乘法运算相类比，易得到下列结论：a·bb·a；(a·b)·ca·

4、;(b·c)；a·(bc)a·ba·c；|a·b|a|b|；由a·ba·c(a0)，可得bc.以上通过类比得到的结论中，正确的个数是()A.2个B.3个C.4个D.5个【解析】正确；错误.【答案】A7.证明命题：“f(x)ex在(0，)上是增函数”.现给出的证法如下：因为f(x)ex，所以f(x)ex.因为x>0，所以ex>1，0<<1.所以ex>0，即f(x)>0.所以f(x)在(0，)上是增函数，使用的证明方法是() 【导学号：37820190】A.综合法B.分析法C.反证法D.以上都

5、不是【解析】从已知条件出发利用已知的定理证得结论，是综合法.【答案】A8.已知c>1，a，b，则正确的结论是()A.a>bB.a<bC.abD.a，b大小不定【解析】要比较a与b的大小，由于c>1，所以a>0，b>0，故只需比较与的大小即可，而，显然>，从而必有a<b，故选B.【答案】B9.设n为正整数，f(n)1，经计算得f(2)，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，观察上述结果，可推测出一般结论()A.f(2n)>B.f(n2)C.f(2n)D.以上都不对【解析】f(2)，f(4)f(22)&

6、gt;，f(8)f(23)>，f(16)f(24)>，f(32)f(25)>.由此可推知f(2n).故选C.【答案】C10.定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应下面图1中的(1)(2)(3)(4)，则图中a，b对应的运算是()图1A.B*D，A*DB.B*D，A*CC.B*C，A*DD.C*D，A*D【解析】根据(1)(2)(3)(4)可知A对应横线，B对应矩形，C对应竖线，D对应椭圆.由此可知选B.【答案】B11.观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10()A.28B.76C.123D.199【解析】从给出的式子特点

7、观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10b10123.【答案】C12.在等差数列an中，若an>0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列bn中，若bn>0，公比q>1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是()A.b4b8>b5b7B.b4b8<b5b7C.b4b7>b5b8D.b4b7<b5b8【解析】在等差数列an中，由于4637时，有a4·a6>a3·a7，所以在等比数列bn中，由于4857，所

8、以应有b4b8>b5b7或b4b8<b5b7.因为b4b1q3，b5b1q4，b7b1q6，b8b1q7，所以(b4b8)(b5b7)(b1q3b1q7)(b1q4b1q6)b1q6·(q1)b1q3(q1)(b1q6b1q3)(q1)b1q3(q31)(q1).因为q>1，bn>0，所以b4b8>b5b7.【答案】A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上.)13.已知x，yR，且xy>2，则x，y中至少有一个大于1，在用反证法证明时假设应为_.【解析】“至少有一个”的否定为“一个也没有”，故假设应为“x，y均不大

9、于1”(或x1且y1).【答案】x，y均不大于1(或x1且y1)14.如图2，第n个图形是由正n2边形“扩展”而来(n1，2，3，)，则第n2(n>2)个图形中共有_个顶点. 【导学号：37820191】图2【解析】设第n个图形中有an个顶点，则a133×3，a244×4，an(n2)(n2)·(n2)，an2n2n.【答案】n2n15.设a>0，b>0，则下面两式的大小关系为lg(1)_lg(1a)lg(1b).【解析】因为(1)2(1a)(1b)12ab1abab2(ab)()20，所以(1)2(1a)(1b)，所以lg(1)lg(1a)lg

10、(1b).【答案】16.对于命题“如果O是线段AB上一点，则|·|·0”将它类比到平面的情形是：若O是ABC内一点，有SOBC·SOCA·SOBA·0，将它类比到空间的情形应为：若O是四面体ABCD内一点，则有_.【解析】根据类比的特点和规律，所得结论形式上一致，又线段类比平面，平面类比到空间，又线段长类比为三角形面积，再类比成四面体的体积，故可以类比为VO­BCD·VO­ACD·VO­ABD·VO­ABC·0.【答案】VO­BCD·VO

11、3;ACD·VO­ABD·VO­ABC·0三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分10分)已知a，b，c成等差数列，求证：abac，b2ac，acbc也成等差数列.【证明】因为a，b，c成等差数列，所以2bac，所以(abac)(acbc)b(ac)2ac2(b2ac).所以abac，b2ac，acbc也成等差数列.18.(本小题满分12分)在平面几何中，对于RtABC，C90°，设ABc，ACb，BCa，则(1)a2b2c2；(2)cos2Acos2B1把上面的结论类

12、比到空间写出类似的结论，无需证明.【解】在空间选取三个面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象.(1)设三个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，底面积为S，则SSSS2.(2)设三个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为，则cos2cos2cos21.19.(本小题满分12分)已知ABC的三条边分别为a，b，c，且a>b，求证：<.【证明】依题意a>0，b>0，所以1>0，1ab>0.所以要证<，只需证(1ab)<(1)(ab)，只需证<ab，因为a>b，所以<2<ab，所以<.20.(本小题满分12分)在数列

13、an中，a11，an1，nN+，求a2，a3，a4，并猜想数列的通项公式，并给出证明.【解】数列an中，a11，a2，a3，a4，所以猜想an的通项公式an(nN+).此猜想正确.证明如下：因为a11，an1，所以，即，所以数列是以1为首项，公差为的等差数列，所以1(n1)，即通项公式an(nN+).21.(本小题满分12分)已知函数f(x)x3x2，xR.(1)若正数m，n满足m·n>1，证明：f(m)，f(n)至少有一个不小于零；(2)若a，b为不相等的正实数且满足f(a)f(b)，求证：ab<.【证明】(1)假设f(m)<0，f(n)<0，即m3m2&l

14、t;0，n3n2<0，m>0，n>0，m1<0，n1<0，0<m<1，0<n<1，mn<1，这与m·n>1矛盾，假设不成立，即f(m)，f(n)至少有一个不小于零.(2)证明：由f(a)f(b)，得a3a2b3b2，a3b3a2b2，(ab)(a2abb2)(ab)(ab)，ab，a2abb2ab，(ab)2(ab)ab<，(ab)2(ab)<0，解得ab<.22.(本小题满分12分)设f(x)，g(x)(其中a>0，且a1).(1)523，请你推测g(5)能否用f(2)，f(3)，g(2)，g(3)来表示；(2)如果(1)中获