2018年成人高考专升本高等数学考前复习重点分析

1、2018 年成人高考专升本高等数学考前复习重点分析第一章函数、极限和连续 1.1 函数一、 主要内容函数的概念1.函数的定义：y=f(x), x3.隐函数：F(x,y)= 04.反函数：y=f(x)fx=林 y)二f-1(y) y=f-1(x)定理：如果函数：y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y是严格单调增加(或减少)的；则它必定存在反函数： )Iy=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。函数的几何特性1.函数的单调性：y=f(x),xD,X1、x2 D当 X1VX2时,若 f(x*1) f(x2),轉则称 f(x)在 D 内单调减少()；

2、若 f(x1)Vf(x2), *则称 f(x)在 D 内严格单调增加()；若 f(x1) f(x2),则称 f(x)在 D 内严格单调减少()。2. 函数的奇偶性：D(f)关于原点对称偶函数：f(-x)=f(x)奇函数：f(-x)=-f(x)3. 函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x (-X,+x)周期：T-最小的正数4. 函数的有界性：|f(x)| 0、1)4. 对数函数：y=logax ,(a 0、a 1)5. 三角函数： y=sin x , y=con xy=ta n x , y=cot xy=sec x , y=csc x6. 反三角函数： y=arcsin x, y=

3、arccon xy=arcta n x, y=arccot x复合函数和初等函数1. 复合函数：y=f(u) , u=林 x)y=f0(x) , xX2. 初等函数：由基本初等函数经过有限次的四则运算(加、减、乘、除)和复合所构成的, 并且能用一个数学式子表示的函数 1.2 极限一、主要内容_罗11. a1lim g(x) = 0(或：)；Xra2。在点 a 的某个邻域内可导，且g (xp 0；3x虬甥=A,(或：)则:lima (:：)f(x)=g(x)limXra(：)f (x)g (x)(或：:)f(x)注意：1o法则的意义：把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。20若不满足法则的条

4、件，不能使用法则。0 即不是二型或一型时，不可求导030应用法则时，要分别对分子、分母求导，而不是对整个分式求导40若 f (x)和g (x)还满足法则的条件,可以继续使用法则，即:50若函数是0心产-：型可采用代数变0旳_00形，化成-或一型；若是1 ,0样型可0O0采用对数或指数变形，化成0或 型。0导数的应用1 .切线方程和法线方程:设：厂f(x), M(X0,y。)切线方程：y 一 y。二 f (X0)(x- X0)1法线方程：y-y(x-X0), ( f(X0)0)f (X0)2 .曲线的单调性:3.函数的极值:极值的定义:设f(x)在(a,b)内有定义，X。是(a,b)内的一点;若

5、对于Xo的某个邻域内的任意点X X。，都有:则称f（xo）是f（x）的一个极大值（或极小值）称X。为f（X）的极大值点（或极小值点）极值存在的必要条件：10.f (x)存在极值 f (x0) _20. f (Xo)存在。Xo称为 f （x）的驻点极值存在的充分条件：定理一：当X渐增通过x0时，f（x）由（+ ）变（-）；则f（X0）为极大值；当X渐增通过乞时，f（x）由（-）变（+ ）；则俶）为极小值1f （乞）=0;f （X0）是极值；定理二.20.f （X0）存在。X。是极值点。若fgvO，则f（x）为极大值； 若f （Xo）O，则f（x0）为极小值。注意：驻点不一定是极值点，极值点也不一

6、定是驻点。4 .曲线的凹向及拐点：若f（x）0，xa，b；则f（x）在（a,b）内是上凹的（或凹的），f（x） ”0 x a,b ；则f（x）在（a,b）内是下凹的（或凸的），（门）5。曲线的渐近线：水平渐近线:铅直渐近线:f (xo)=0定理:(U)；第三章一元函数积分学 3.1 不定积分一、 主要内容重要的概念及性质：1.原函数：设：f( (x) )，F(x),xD若：F (x)= f(x)则称F( (x)是f(x)的一个原函数，并称F(x) * C是f(x)的所有原函数，其中 C 是任意常数。2 .不定积分：函数f(x)的所有原函数的全体，称为函数f (x)的不定积分；记作：其中：f(x

7、)称为被积函数；f (x)dx称为被积表达式；X称为积分变量。3. 不定积分的性质：1f(x)dJ = f(x)或：d f (x)dxf (x)dxf (x)dx= f(x) C或：df(x)二f (x) Cfi(x) f2( (x)fn(x)dx分项积分法kf (x)dx二k f (x)dx(k 为非零常数)4. 基本积分公式:换元积分法：1.第一换元法：(又称“凑微元”法)常用的凑微元函数有：1dx = d(ax) = - d(ax b)(a, b 为常数，弋0)aa2xmdx = dxm+1=1d(axm41+b)( m 为常数)m +1a(m +1)3exdx = d(ex) =-d(

8、aex+b)a1 4dx= d(ln x) x5sindx= -d(cosx) cosxdx二d(sinx)/ - J / Iy /a；16 /-= dx = d(arcsin x) = d(arccosx)J1 - x22. 第二换元法：第二换元法主要是针对含有根式的被积函数，其作用是将根式有理化。一般有以下几种代换：1x = tn n, n 为偶数时,t0(当被积函数中有n nx 时)2x = asint,(或x = acosx), 0乞t乞守(当被积函数中有 心2 2- - x x2 2时)3x二atant,(或x=acott),0-t2,(0t三)(当被积函数中有a2x2时)4x=a

9、sect,(或x=acsct),0- t7,(0t- 7)(当被积函数中有、X a2 2时)分部积分法:1. 分部积分公式:2. 分部积分法主要针对的类型:P(x)sinxdx, P(x)cosxdx P(x)ex xdx. P(x)arcsinxdx, f P(x)arccosxdx(5) eaxsinbxdxeaxcosbxdx其中：P(x)二axn aixnan(多项式)3. 选 u 规律:在三角函数乘多项式中，令P(x)二u,其余记作 dv;简称“三多选多”在指数函数乘多项式中，令其余记作 dv;简称“指多选多”在多项式乘对数函数中，令Inx = u,其余记作 dv;简称“多对选对”在

10、多项式乘反三角函数中，选反三角函数为 u，其余记作 dv;简称“多反选反”在指数函数乘三角函数中，可任选一函数为 u，其余记作 dv;简称“指三任选” 简单有理函数积分:1.有理函数：f( (x) )二Q艸Q(x)其中P(x)和Q(x)是多项式。2.简单有理函数:若：f(x)满足下列条件之一f(x) =P(x)1 xf(x) =P(x)1 x2 2f(x)二P(x)(x a)(x b)f(x)二P(x)(x a)2b3.2f(x)一.主要内容(一).重要概念与性质1.定积分的定Xi-1Xn-1b X定积分含四步：分割、近似、求和、取极限。定积分的几何意义：是介于 x 轴，曲线 y=f(x),直

11、线 x=a,x=b 之间各部分面积的代数和。X轴上方的yX轴下方的+a 0-bX2.定积分存在定理:若积分存在，则积分值与以下因素无关:3. 牛顿来布尼兹公式：牛顿一一莱布尼兹公式是积分学中的核心定理，其作用是将一个求曲边面积值的问题转化为寻找原函数及计算差量的问题。4. 原函数存在定理：5. 定积分的性质：（二）定积分的计算：;1. 换元积分2. 分部积分3. 广义积分4. 定积分的导数公式（三）定积分的应用1.平面图形的面积：与 x 轴所围成的图形的面积yb*f(x)1.求出曲线的交点，画出草图；2.确定积分变量，由交点确定积分上下限;3.应用公式写出积分式，并进行计算。2.旋转体的体积及

12、 x 轴所围图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积:及 y 轴所围成图形绕 y 轴旋转所得旋转体的体积: 第四章 多元函数微积分初步 4.1 偏导数与全微分一. 主要内容：.多元函数的概念c) 二元函数的定义：d) 二元函数的几何意义：二元函数是一个空间曲面。(而一元函数是平面上的曲线).二元函数的极限和连续：1. 极限定义：设 z=f(x,y)满足条件：2. 连续定义：设 z=f(x,y)满足条件：偏导数：.全微分：1.定义：z=f(x,y)是Z f( (X, y)在点(x,y)处的全微分。3. 全微分与偏导数的关系.复全函数的偏导数:1.设：Z =f (u,v),u 二 u(x, y),v 二

13、 v(x, y)2.设厂f(U,V) ),U= U( (X) ),V= V( (X) ).隐含数的偏导数：1.设F(x,y,z)二0,z二f (x, y),且Fz02.设F(x,y) = O,厂f(x),且Fy=0二阶偏导数：.二元函数的无条件极值1.二元函数极值定义：极大值和极小值统称为极值，；X X J了极大值点和极小值点统称为极值点。2.极值的必要条件：两个一阶偏导数存在，贝y：1 使 fx(Xo,y) =fy(x,y) =0 的点(Xo,y),而非充分条件。2 2例：z=y-x+1T、F I驻点不一定是极值点。e)极值的充分条件：求二元极值的方法：极值点。二倍角公式：(含万能公式)si

14、n 2二=2 sin二cos2tg；.1 +tg2日2cos2v - cos?）- sin $J- 2 cos2v-仁1 -2sin2v - -_tgT:-1 +tg etg2 .tgS 1 - cos22 .1 cos23tg22sin22cos2T1tg2日1+tg2日22第五章排列与组合（1 ）加法原理：完成一件事情与分类有关，即每一类各自独立完成，此事即可 完成。（2 ）乘法原理：完成一件事情与步骤有关，即一次完成每一步骤，此事才能完 . 1I.成。i排列：从 n 个不同元素里，任取（1土m士n）个元素，按照一定的顺序排列成一 ；/ _X I.U打打列，称为从 n 个不同元素里取出 m

15、 个元素的一个排列，计算公式：s 、虫/1 r（1 m n）组合：从 n 个不同元素里，任取（n）个元素组成一组，叫做从 n 个不同m nC或（）元素里取出 m 个元素的一个组合，组合总数记为n n，计算公式:第六章概率论符号概率论集合论样本空间全集1” 1、-1不可能事件空集基本事件集合的元素A事件子集A 的对立事件A 的余集事件 A 发生导致A 是 B 的事件 B 发生子集A=BA 与 B 两事件相等集合 A 与B 相等事件 A 与事件 B至少有一个发生A 与 B 的并集事件 A 与事件 B 同时发生A 与 B 的交集A-B事件 A 发生而事件B不发生1:.-A 与 B 的差集炳 1事件

16、A 与事件 B 互不相容1 1 1A 与 B 没有相同元素由于随机事件都可以用样本空间 Z 中的某个集合来表示，于是事件间的关系和 电 运算就可以用集合论的知识来讨论和表示，为了直观，可以用集合的韦恩图来表示Lr !. XI；事件的各种关系和运算法则，一般用某个矩形区域表示样本空间，该区域的一个子 /广、区域表示某个事件。于是各事件的关系运算如图中的图示所示。各事件的关系运算如图示：9. 完备事件组n 个事件；一气如果满足下列条件：(1)J1_丄门(2)二斗:则称其为完备事件组。显然任何一个事件 A 与其对立事件二构成完备事件组。10. 事件运算的运算规则：(1 )交换律川-仁- -(2 )结

17、合律-V “ ：(3)分配律川 1 雹(4 )对偶律：- U - I - -率的古典定义定义：在古典概型中，若样本空间所包含的基本事件总数为n,事件 A含的基本事件数为 m，则事件 A 发生的概率为o概率的基本性质与运算法则i 1 I | |性质 1.0 0,称类似地，如果 P(A)0 ,则事件 B 对事件 A 的条件概率为概率的乘法公式乘法公式可推广到有限多个事件的情况，例如对事件A,B,C,有事件的独立性般地说，P(A | B)半P(A)，即说明事件 B 的发生影响了事件 A 发生的概率若 P(A | B)工 P(A)，则说明事件 B 的发生在概率意义下对事件 A 的发生无关,这时称 事件

18、 A, B 相互独立。定义：对于事件 A，B，若 P(AB)=P(A)P(B)，则称事件 A 与事件 B 相互独 立。独立试验序列概型在相同的条件下，独立重复进行 n 次试验，每次试验中事件 A 可能发生或 可能不发生，且事件 A 发生的概率为 p，则在 n 次试验中事件 A 恰好发生 k 次的概 率为一维随机变量及其概率分布I / J/ 7 /(一) 随机变量1. 随机变量定义：设Q为样本空间，如果对每一个可能结果鳥，变量 X 都有一个确定的实数值与之对应，则称 X 为定义在Q上的随机变量，简记作-。2. 离散型随机变量定义：如果随机变量 X 只能取有限个或无限可列个数值，则称 X 为离散型

19、 随机变量。(二) 分布函数与概率分布1.分布函数定义：设 X 是一个随机变量，x 是任意实数，则函数-称为随机变量 X 的分布函数。分布函数 F(x)有以下性质：(2 ) F(x)是 x 的不减函数，即对任意=JL口 亠厶 口,)-+0)= lim巩工)(4)F(x)是右连续的，即(5) 对任意实数 a v b,有 Pav X b=F(b)-F(a)2. 离散型随机变量的概率分布则称上式为离散型随机变量 X 的概率分布(或概率函数或分布列)。离散型随机变量 X 的概率分布也可以用下列列表形式来表示：3. 分布函数与概率分布之间的关系若 X 为离散型随机变量，则。、二 I h / 随机变量的数

20、字特征乂炉! L 1. 数学期望Jifi(1 )数学期望的概念定义：设 X 为离散型随机变量，其概率函数为 匚r ./ I* i I J:若级数绝对收敛，则称 为 X 的数学期望，简称期望或均值，记作 EX，即(2 )数学期望的性质1若 C 为常数，则 E(C)=C2若 a 为常数，则 E(aX)=aE(X)3若 b 为常数，则 E(X+b)=E(X)+b4若 X,Y 为随机变量，则 E(X+Y)=E(X)+E(Y)2. 方差(1 )方差的概念定义：设 X 为随机变量，如果 存在，则称为 X 的方差, 记作 DX，即记次/X,即crZ-方差的算术平方根称为均方差或标准差,对于离散型随机变量 X

21、，如果 X 的概率函数为 型三迟(观-曲夕化则 X 的方差为 ； 1 (2 )方差的性质1若 C 为常数，则 D(C)=O2若 a 为常数，则 -ir J- -3若 b 为常数，则 D(X+b)=D(X)4幕基本公式由ab=N (1) biogaN (2)(1) 对数的性质：,./ I负数和零没有对数；1 的对数是零；底数的对数等于(2) 对数的运算法则：1logaMN二logaM logaN M，N RM2loga-logaM -logaN M，NR3loga(Nn) = n logaN(NR+ )4logaN =1logaNNRe +)n 、IsI3、对数换底公式：由换底公式推出一些常用的

22、结论：1。(1)log1亠b或logablogba =1logba(2)log(3)logmmb logabnbn=也b(4)log三角函数的单调区间:的递增区间是沐二),y = cosx的递增区间是2k二-二,k二l(k Z),递减区间是(k Z),y=tanx的递增区间是k兀-,k兀+ =(kZ),oo料limx=XQlim = 09、丄：二 (2) 一(3)-:lim (cr0 x2+ 曲 xK_1+ a2z-2+ 花) (4 )f ：、 _二加叼+鬥殆 +幻呵+陽-, 110、函数在一点处连续的性质11 r-Lv.i1d. sinx tailxarzsinx +lim-= 1 li m

23、- = 1 lim- = 1XTD兀,RTD忑,XT。 忑7、重要极限 I加(或严格单调减少)闭区间上连续函数的性质在闭区间a , b上连续的函数 f (x)，有以下几个基本性质，这些性质以后都要用到。定理 1.15(有界性定理)如果函数 f (x)在闭区间a , b上连续，则 f (x) 必在a , b上有界定理 1.16 (最大值和最小值定理)如果函数 f (x)在闭区间a , b上连续， 则在这个区间上一定存在最大值和最小值。定理 1.17 (介值定理)如果函数 f (x)在闭区间a，b上连续，且其最大值 和最小值分别为 M 和 m，则对于介于 m 和 M 之间的任何实数 C，在a， b

24、上至少 存在一个E,使得f(E)=C i.11、 闭区间上连续函数的性质在闭区间a , b上连续的函数 f (x),有以下几个基本性质，这些性质以后都要I /JZ7用到。_ _、:j | k*定理 1.15(有界性定理)如果函数 f (x)在闭区间a , b上连续，则 f (x)必在a , b上有界。定理 1.16 (最大值和最小值定理)如果函数 f (x)在闭区间a , b上连续， 则在这个区间上一定存在最大值和最小值。定理 1.17 (介值定理)如果函数 f (x)在闭区间a, b上连续，且其最大值 和最小值分别为 M 和 m，则对于介于 m 和 M 之间的任何实数 C,在a , b上至少 存在一个E,使得f(E)=C12、 推论(零点定理)如果函数 f(x)在闭区间a, b上连续，且 f (a)与 f (b) 异号，则在a, b内至少存在一个点E,使得f(E)=013、 初等函数的连续性定理 1.18 初等函数在其定义的区间内连续。(2) ( u v) =u v+u v利用初等函数连续性的结论可知：如果 f (x)是初等函数，且 X。是定义区间内 的点，贝 yf (X )在 X。处连续也就是说，求初等函数在定义区间内某点处的极限值，只要算出函数在该点的 函数值即可。14、可导