概率电子教案5(07)

1、125.1 5.1 大数定律大数定律1|lim aYPnn-|aYnP),()(baggnnPY,X设设, aXnPbYnP则称随机变量序列则称随机变量序列Y1, Y2 ,Yn ,.依概率收敛于依概率收敛于a ，记为记为: :若对任意正数若对任意正数 ，有，有 设设Y1, Y2 ,Yn ,.为一随机变量序列，为一随机变量序列，a是常数，是常数，, g(x,y)在点在点(a,b)连续连续,则则3 （切比雪夫定理的特殊情况切比雪夫定理的特殊情况）设随机变量序）设随机变量序列列 X1,X2,Xn,.相互独立，且具有相同的数学期望相互独立，且具有相同的数学期望和方差：和方差： PniinX1X1E(X

2、k)= ，D(Xk)= 2 (k=1,2,.) ,则则此定理表明此定理表明, 当当n很大时很大时, n个随机变量个随机变量X1,X2,Xn的算术平均的算术平均 接近于数学期望接近于数学期望E(Xk)= . niiXnX11111 niinPXlimn即即 对任意的对任意的 0,有有4 niiniin)D(XnXnD)XD(122111 niinii)E(XnXnE)XE(11112211|-1| nXnPnii 1|-lim XP|n由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式21)()XD(XEXP 即即5 （贝努力大数定律贝努力大数定律）设）设nA是是n 次独立重复试次独立重复试验中验中A发生的次数发

3、生的次数. p是事件是事件A在每次试验中发生的在每次试验中发生的概率概率, 则对任意则对任意 0,有有11lim1 pXnPnkkn-1lim pnnAn-P0lim pnnAn-PnAXXXn 21其中其中Xk相互独立相互独立,且都服从以参数为且都服从以参数为p的的(0-1)分布分布因而因而 E(Xk)=p，D(Xk)=p(1-p), (k=1,2,.),由定理由定理1, 因为因为),(pnbnA有有1lim pnnPAn-即即 此定理表明此定理表明, 事件事件A发生的发生的频率频率 依概率收敛依概率收敛于事件的概率于事件的概率 p . 这个定理以严格的数学形式表这个定理以严格的数学形式表达

4、了达了频率的稳定性频率的稳定性.6贝努力大数定律就是频率稳定性的理论依据贝努力大数定律就是频率稳定性的理论依据因而在实际应用中，当试验次数很大时，往往因而在实际应用中，当试验次数很大时，往往用事件发生的频率来代替事件的概率用事件发生的频率来代替事件的概率1X1Plim1 niinn（辛钦定理辛钦定理）设随机变量序列）设随机变量序列X1,X2,Xn,.相互独立且同分布，数学期望：相互独立且同分布，数学期望：E(Xk)= ，则对任，则对任意正数意正数 ，有，有(证明略证明略)7 在客观实际中有许多随机变量在客观实际中有许多随机变量, ,它们是由大它们是由大量的相互独立的随机因素的综合影响所形成的量

5、的相互独立的随机因素的综合影响所形成的, ,而其中每一个因素在总的影响中起到的作用都而其中每一个因素在总的影响中起到的作用都是微小的是微小的. .这种随机变量往往近似的服从正态分这种随机变量往往近似的服从正态分布布. .这种现象就是中心极限定理的客观背景这种现象就是中心极限定理的客观背景. . 本节只介绍三个常用的中心极限定理本节只介绍三个常用的中心极限定理. .5.2 5.2 中心极限定理中心极限定理8独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理 设随机变量设随机变量X1,X2,Xn, 相互独立，服从同相互独立，服从同一分布一分布, 且具有相的数学期望和方差：且具有相的数学期望和方差：E

6、(Xk)= ，D(Xk)= 2 0 (k=1,2,.) ,则随机变量之和则随机变量之和 的标的标 准化变量准化变量: nnniin 1XY).(2122xdtetx 的分布函数的分布函数Fn(x)满足满足:对任意实数对任意实数x，有，有 nii1X(证明略证明略) xnniniXnxnn 1Plim)(Flim9)1 , 0(XY1Nnnniin近似近似 p定理表明定理表明,当当n充分大时充分大时,Yn近似服从标准正态分布近似服从标准正态分布.10q此定理表明，当此定理表明，当n充分大时，充分大时，Zn的分布近似于标准正态分布的分布近似于标准正态分布.).(2122xdtext 的分布函数的分

7、布函数Fn(x) 对任意对任意x，有，有 (李雅普诺夫定理李雅普诺夫定理)设随机变量设随机变量X1,X2,Xn,相互独立相互独立,且具有数学期望和方差：且具有数学期望和方差： E(Xk)= k，D(Xk)= 2k 0 (k=1,2,.) , nnkknkknkknkknkknBDE 11111)()( XXXXZ nkknB122 nkkknXEB122, 01 记记,若存在若存在 0,使得使得则随机变量则随机变量)( n xBXxnniiniinnn11lim)(lim PF(证明略证明略)11 由由4.2例知例知, n可以看成可以看成n个相互独立的服从同一个相互独立的服从同一(0-1)分分布的随机变量布的随机变量X1,.,Xn之和，即之和，即 ).(21)1(lim22xdtexpnpnptxnn PnnXXX21nipppii, 2