高考数学复习 第十二章 复数、算法初步、推理与证明 第四节 直接证明和间接证明课件 理

1、第四节直接证明和间接证明总纲目录教材研读1.直接证明考点突破2.间接证明3.数学归纳法的步骤考点二分析法考点二分析法考点一综合法考点三反证法考点三反证法考点四数学归纳法考点四数学归纳法教材研读教材研读1.直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立成立从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止实质由因导果执果索因框图表示PQ1Q1Q2Q2Q3QnQQ P1 P1 P2P2 P3得到一个明显成立的条件文字语言因为所以或由得要

2、证只需证即证2.间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法,反证法是一种常用的间接证明方法.(1)反证法的定义:假设原命题不成立不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾矛盾,因此说明假设错误,从而证明原命题成立原命题成立的证明方法.(2)用反证法证明的一般步骤:(i)反设假设命题的结论不成立;(ii)归谬根据假设进行推理,直到推出矛盾为止;(iii)结论断言假设不成立,从而肯定原命题的结论成立.3.数学归纳法的步骤(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立;(2)(归纳递推)假设n=k(kn0,kN*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也

3、成立.只要完成以上两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.1.用分析法证明时出现:欲使AB,只需Ccn+1 解析解析由题意知,an=,bn=n,cn=-n=.显然,cn随着n的增大而减小,cncn+1.21n 21n 211nn cncn+1B5.用数学归纳法证明等式1+2+3+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,当n=1时,左边表达式是1+2+3;从kk+1需增添的项是4k+5(或或(2k+2)+(2k+3).答案答案1+2+3;4k+5(或(2k+2)+(2k+3)解析解析用数学归纳法证明等式1+2+3+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,当n=1时,2n+1=3

4、,所求左边表达式是1+2+3;从kk+1需增添的项是4k+5(或(2k+2)+(2k+3).B考点一综合法考点突破考点突破 典例典例1已知点A(x1,y1),D(x2,y2)(其中x1x2)是曲线y2=4x(y0)上的两点,A,D两点在x轴上的射影分别为点B,C,且|BC|=2.(1)当点B的坐标为(1,0)时,求直线AD的斜率;(2)记OAD的面积为S1,梯形ABCD的面积为S2,求证:0,所以k0,m0,所以=,因为=16-16km0,所以0km1,所以=0,所以k0,m0,所以=,因为=16-16km0,所以0km1,所以=2,所以0,证明:+a+b+c.2ab2bc2ca证明证明因为a

5、,b,c0,根据基本不等式,有+b2a,+c2b,+a2c,三式相加,+a+b+c2(a+b+c),即+a+b+c.2ab2bc2ca2ab2bc2ca2ab2bc2ca1-2在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin Asin B+sin Bsin C+cos 2B=1.(1)求证:a,b,c成等差数列;(2)若C=,求证:5a=3b.23证明证明(1)由已知得sin Asin B+sin Bsin C=2sin2B,因为sin B0,所以sin A+sin C=2sin B,由正弦定理,有a+c=2b,即a,b,c成等差数列.(2)由C=,c=2b-a及余弦定理得(2b-a

6、)2=a2+b2+ab,即有5ab-3b2=0,所以=,即5a=3b.23ab35考点二分析法典例典例2已知函数f(x)=3x-2x,求证:对于任意的x1,x2R,均有 f.12()()2f xf x122xx证明证明要证明 f,即证明-2,因此只要证明-(x1+x2)-(x1+x2),即证明,因此只要证明,由于x1,x2R,所以0,0,由基本不等式知成立,故原结论成立.12()()2f xf x122xx1212(32 )(32)2xxxx1223xx122xx12332xx1223xx12332xx1223xx12332xx1233xx13x23x12332xx1233xx方法技巧方法技巧

7、(1)分析法采用逆向思维,当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接,或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时,往往采用分析法,特别是含有根号、绝对值的等式或不等式,从正面不易推导时,常考虑用分析法.(2)应用分析法的关键在于需保证分析过程的每一步都是可逆的,它的常用书面表达形式为“要证只需要证”或“”.注意用分析法证明时,一定要严格按照格式书写.2-1已知ABC的三个内角A,B,C成等差数列,角A,B,C的对边分别为a,b,c.求证:+=.1ab1bc3abc证明证明要证+=,即证+=3,也就是+=1,只需证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),需证c2+a2=ac+b2,又AB

8、C的三个内角A,B,C成等差数列,故B=60,由余弦定理,得b2=c2+a2-2accos 60,即b2=c2+a2-ac,故c2+a2=ac+b2成立.于是原等式成立. 1ab1bc3abcabcababcbccababcB考点三反证法典例典例3设a0,b0,且a+b=+.证明:(1)a+b2;(2)a2+a2与b2+b0,b0,得ab=1.(1)由基本不等式及ab=1,有a+b2=2,即a+b2.(2)假设a2+a2与b2+b2同时成立,则由a2+a0得0a1;同理,0b1,从而0ab1,这与ab=1矛盾.故a2+a2与b2+b2不可能同时成立.1a1bababab易错警示易错警示用反证法

9、证明不等式要把握三点:(1)必须先否定结论,即肯定结论的反面;(2)必须从结论的反面出发进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须依据这一条件进行推证;(3)推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知条件矛盾,有的与假设矛盾,有的与基本事实矛盾等,且推导出的矛盾必须是明显的.3-1已知f(x)=ax2+bx+c,若a+c=0,f(x)在-1,1上的最大值为2,最小值为- .求证:a0且2.52ba证明证明假设a=0或2.(1)当a=0时,由a+c=0,得f(x)=bx,由题意得b0, f(x)=bx在-1,1上是单调函数,所以f(x)在-1,1上的最大值为|b|,最小值为-|b|,由已知条件,得|b

10、|+(-|b|)=2-=-,这与|b|+(-|b|)=0相矛盾,所以a0.(2)当2时,a0,由二次函数f(x)的图象的对称轴为x=-,知f(x)在-1,1上是单调函数,故其最值在区间的端点处取得.所以或ba5212ba2ba5( 1),2(1)2fabcfabc 5(1),2( 1)2.fabcfabc 又a+c=0,则b不存在,所以2.由(1)(2),得a0且2.baba典例典例4已知数列an满足a1=,an+1=an+.(1)求a2,a3的值;(2)证明:an.1221n2na656nn考点四数学归纳法解析解析(1)因为a1=,an+1=an+,所以a2=a1+=,a3=a2+=.(2)

11、证明:(i)当n=1时,左边=,右边=1,不等式成立.(ii)假设当n=k(kN*)时,不等式成立,即ak0,所以k2.所以ak+1=ak+k+k2=k+1,所以当n=k+1时,不等式也成立.由(i)和(ii)可知不等式对任意nN*都成立.1221n2na21a341422a5764121221n2na2ka21k2ka21k所以-=-=.由(2)知0an=-,所以当n2时,有 +,所以-,所以,所以当n3(nN*)时,an.1na11na1na222nnnn aa21nna1na11na21nna21nn1n11n111nnaa111nnaa2311aa111nn111nn112321a11

12、na1211n11na21a1211n431211n51166nn66511nn656nn(3)证明:因为a1=,an+1=an+,所以= .2na21n1211na222nnnn aa易错警示易错警示使用数学归纳法时需注意的问题数学归纳法证明中的两个步骤体现了递推思想,第一步是递推的基础,第二步是递推的依据,两个步骤缺一不可,否则就会导致错误.(1)第一步中,n=n0中的n0不一定为1,根据题目要求,有时可为2或3等.(2)第二步中,证明n=k+1时命题成立的过程中,一定要用到归纳假设,掌握“一凑假设,二凑结论”的技巧.由k到k+1的证明中寻找由k到k+1的变化规律是难点,突破难点的关键是掌

13、握由k到k+1的证明方法.在运用归纳假设时,应分析P(k)与P(k+1)的差异及联系,利用拆、添、并、放、缩等方法,或从P(k)出发拼凑P(k+1),或从P(k+1)中分离出P(k),再进行局部调整;也可考虑寻求二者的“结合点”,以便顺利过渡,切实掌握“观察归纳猜想证明”这一从特殊到一般的推理方法. 4-1已知等差数列an的公差d大于0,且a2,a5是方程x2-12x+27=0的两根,数列bn的前n项和为Tn,且Tn=1-bn.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)设数列an的前n项和为Sn,试比较与Sn+1的大小,并说明理由.121nb解析解析(1)由已知得又因为an的公差大于0,所以a5a2,所以a2=3,a5=9,所以d=2,a1=1,所以an=2n-1.因为Tn=1-bn,所以b1=,当n2时,Tn-1=1-bn-1,因为bn=Tn-Tn-1=1-bn-,化简,得bn=bn-1,所以bn是首项为,公比为的等比数列,252512,27,aaa a523aa933122312121112nb132313故bn=.所以an=2n-1,bn=.(2)因为Sn=n=n2,所以Sn+1=(n+1)2,以下比较与Sn+1的大小:当n=1时,=,S2=4,所以S2,当n=2时,=,S3=9,所以S3,当n=3时,=,S4=16,所以S5,23113n23n23n1(21)2n1nb1