湖南省a佳教育湖湘名校2020-2021学年高一(下)3月检测数学试题

1、湖南省a佳教育湖湘名校2020-2021学年高一(下)3月检测数学试题学校:姓名：班级：考号：一、单选题1 .函数/(# = J的定义域是() yJX+lA, x|x一l B. xx-l C. xx-l D. &|xT且 xO2 .已知直线/1：3x+6y l = 0, l2 :x-my + 2 = 0,若“?，则”的值为()A. 一2B. 2C. -3D. 33 .己知函数r) = |3 +LC,若/ Q)=i，则/()=().x + 2,xcbB. bc aC. cabD. bac6 .在正方体46。一A4aA中，异面直线隹。与CA所成的角为()A, 30B. 45C. 60D. 90I

2、2x,7 .已知函数/（%）=广 ，则函数=/（x）的大致图象是（）Wx, 0cxW18 .如图，在三棱锥产一A6C中，PA1AB, PAYAC, D、E、尸分别是所在棱的中点.则下列说法错误的是（）BA.面DEF/面 PBCB.面产45_1面43。(3. PA1BCD. DE/PC9 .已知圆6：。一3+)，2 =斤(R0)与圆.：/ + +8)，+ 12 = 0无公共点，则半 径R的取值范围是()A. (0,3)B. (0, 3)/5, 10 C. 5, 4/5 D. 26，4/5H.对任意实数。，b, c ,记mm, b, c)表示三个数中的最小者，如mml, 2,3 = 1,函数/(x

3、) = min14-x, x2, 3+2,则/的最大值是()A. 8B. -4C. -312.已知函数/) =|log2(x+l)|,xe(-l,3)4、-,xe3,+co) x-l则fx)-4/(x) + 3 = 0的解个数是A. 4B. 3C. 6D. 1二、填空题1二13 .计算：一(上尸 + 83=一214 .己知用(7,3), N(1,5)则线段MV的垂直平分线方程是一.15 . A、B、C.。四点均在球。表面上，且D4L平面05C, BDLCD, AD = 3,BD = 4, CD = 5则球。的表面积为_.16 .己知函数/） = 1。801-犬0（。0且。工1）在（0,士）内恒

4、成立，则。的取值范围 2是_.三、解答题17 .设集合A = x-3?2, B = xy = y/xi.（1）求AU8;（2）设。=刘7 + 3工27-1且人0。=。，求7的取值范围.18 .己知/（刈=2工+ 108”穴40且。01）,其图象过p（2,5）.（1）求。的值：（2）若/（2? + 3） 5）0,求加的取值范围.19 .己知如图甲，在矩形AA8B中，AB-AAlf C , G分别在A8，4月上，且乙AC = 4G =A4 .现将四边形AAC沿CG折起，使平面AAC 1平面BB&C2得到几何体乙，设。，E分别为AA，5G的中点.（2）求证：BDDC20.在平面直角坐标系中，已知“】

5、（-3,0）,M2a0),动点M(x,y)满足翳1 = 2记的轨迹为C.（1）求C的方程:（2）设直线/与C相交于4、8两点，且45的中点N（6,-2）,求为坐标原 点）.21 .在正四棱锥（把底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心的四棱锥, 称作正四棱锥）P-A5CD中，PA = AB E在线段尸5上.AB(1)判断平面与平面尸M是否垂直，并证明；(2)设夫人=2,若棱锥七AGC的体积丫 =九2,求直线。石与平面A6CD所成 9角的正切值.22 .己知/(1)=卜一。| + 2, g(X) = .f (x)(1)记,当。=-4,加=1 时，求/?(x)在(-4, 2的值域；g(x)

6、(2)当。=3时，讨论方程/(x) = g(x)的解的个数.参考答案1. C【分析】利用函数的解析式列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可.【详解】解:函数/(x)=中,令本 + 1 0,解得x+l0,即 xT ；所以/*）的定义域是故选：C.2. A【分析】利用直线与直线平行的性质直接求解.【详解】直线1：3x+6y-l = 0, l2 .X-my+ 2 = 0 , /2,-3m = 6 ,且一7x(-1)。6x2,解得7 = -2.故选：A.【点睛】方法点睛：本题考查直线与直线平行求参数，直线/12 . A?x+B2y + C2 = 0,当 /,时,有 A*? = 81A?且 BkC2

7、丰 CLB2.3. B【分析】当 x0 时，f (x) = 3v +1 2 ,从而 f (a) =a + 2 = l 解得 a =1 .则/(一。) = / (1),由此能求出结果.解:因为当x0时，/(x) = 3x + l2,所以 / () =。+ 2 = 1,解得。二一1.则/(一。) = /(1)=4.故选：B4. C【分析】首先求出反射光线的直线方程，进一步求出直线的截距式，最后求出结果.【详解】一束光线从P(3,2)发出，经x轴反射后过2(-7,2), 所以点尸(3,2)关于不轴的对称的点的坐标为7(3,2).所以反射光线的斜率kTO =2吆=Q -7-352上+上=1则反射光线的

8、直线的方程为了一2 = -5*+7),整理得一2二 ，5所以反射光线在不轴上的截距为-2 .故选：C5. B【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得到.【详解】v = log30.51, 0c = 0.23ba cb,故选：B6. D【分析】以。为原点，D4为x轴，0c为)轴，。为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BQ与CD,所成的角.【详解】解：以。为原点，D4为x轴，0c为)轴，为z轴，建立空间直角坐标系,设正方体A6CD 4与GR中棱长为1,则用(1, 1, 1) , 0(0, 0, 0) , C(0, 1, 0) , D(0, o, 1),用力=(一1, -1, -

9、1), CD； = (0, -1，I),设异面直线BQ与CD,所成的角为巴则 cos 0 =BDCD _ 06倒皿_/皿_.6 = 90。.二异面直线B&与CD1所成的角为90.故选：D【点睛】关健点睛：本题的解题关键在于建立空间直角坐标系后，利用向量的成绩公式计算异面直线 的角，本题难度属于中档题7. C【分析】由函数/*)的定义域可排除选项A ,再计算x = -l时，/(x)的值，即可作出选择.【详解】解：函数/W的定义域为-1, 1,二函数) = /(x)的定义域为T，I，排除选项4； 当x = -l时，y = f(-x) = f (1) =1,排除选项8和。.故选：C8. D【分析】根

10、据中位线定理和面面平行的判定定理判断A,根据尸4_L平面A5C判断3, C,反证法 判断).【详解】解：. D、七分别是以，45的中点，:.DE/PB,又。上仁平面P3C, PB u平面PBC ,.石平面尸6C,同理可得OF/平面P8C，又DEcDF = D, .平面DEF/平面PBC,故4正确；-PAABr PA1AC, AByAC = A,24 c 平面 ABC,:.PA1BC,故C正确，又PAu平面夕A5，平面Q45_L平面ABC,故3正确；假设OE/PC,又 DE/PB、:.PB/iPC,与P5cPC=P矛盾，故。石与PC不平行，故。错误，故选：D【点睛】关健点睛：解题关键在于利用中位

11、线定理和面面平行的判定定理求解，属于基础题9. D【分析】利用圆心距小于半径之差的绝对值(内含)，或大于半径之和(外离)即可得.【详解】解：由已知得圆q圆心C(3,0),半径R；圆。2：/+ ()，+ 4)2=4,故圆心为g(o,4),半径,=2.iCjGlf*？ = 5,因为两圆无公共点，故两圆相离或内含，所以|gg|H+2,即：5H+2,解得7,或Ov3.故选：D.10. B【分析】由圆的方程可得圆心坐标及半径的值，再由直线/的方程可得直线恒过定点，代入弦长公式 可得当d最小时弦长最大，当d最大时弦长最小，求出d的最大最小值，进而求出弦长的 最小最大值.【详解】解：圆C:(x1)2 +。2

12、尸=25可得圆心。(1,2),半径r=5,因为直线/； ( + y-4) + m(2x + y-7) = 0(we R),恒过直线x+)-4 = 0和2x+y-7 = 0的交点，fx+y-4 = 0L 7 八解得：x = 3, y = i, 2x+ y - 7 = 0即直线/恒过定点尸(3,1),因为(3 Ip+ (l 2f /2，所以球。的直径2R = l = 5/2，球。的表面积S = 4/rR2 = 507，故答案为：50小(1)三条侧棱互相垂直的三楂锥的外接球的直径的求法：将四面体补成长方体，通过求解 长方体的对角线就是球的直径；(2)确定外接球球心的一种通用方法：首先找几何体的一个

13、内接面的外接圆的圆心，通过圆心且垂直于该平面的直线一定穿过球心，同理，可找到一条 垂直于另一内接面的外接圆的圆心的直线，则两直线交点即为球心.16. ,1).16 7【分析】根据条件可知x在(0,1)内恒成立，然后在同一坐标系中作y = x2和y = loga x的 草图，根据图象求出。的取值范围即可.【详解】解：f(x) = log x-x20(a 0 且。w 1)在(0,；)内恒成立，得log“ x在。内恒成立，在同一坐标系中作y = V和y=log(I x的草图，如图所示：要使xloga X在。g)内恒成立，只要y = logfl X ,在(0,；)内的图象在y = V的上方，于是乙1

14、l1 X=一 时，y =-,24.只要工=J时，y = log ,22 41 1 1二a4,即，216乂 0 。 1, * 1，16即实数”的取值范围为!).16故答案为：7,1) .16【点睛】本题考查了函数恒成立问题，考查了数形结合思想和转化思想.本题不等式是超越不等式, 在中学范闱内是不可解的，解决问题的方法是数形结合思想，把不等式转化为函数图象的关 系，在同一坐标系中作出两个函数图象，由图象位置得出参数的取值范闱.17. (1) AjB = x x-3； (2) y, 4.【分析】(1)求出集合3,由此能求出AU6.m + 3 2 m-1(2)推导出C = A,当C = 0时，7+32

15、271,当CW0时， + 3-3 由此能2/w-l2求出川的取值范围.【详解】解：(1) 集合 A = x|-342, B = xy = x xlAjB = xx.-3.(2)设。=刈7 + 3工27 1,且Anc = c，:.C A,当C = 0时，? + 3)2?一1,解得运4.in + 3 2m -1当CW0时，机+ 3-3,解得me0,2? 一 1 6 = A, Ad6 = 8oA8.在子集中 要注意空集是任何集合的子集，因此需要分类讨论，否则易出错.(5 、18. (1) 4 = 2； (2) -,8 .13 /【分析】(1)根据题意，将P的坐标代入函数解析式，可得/ (2) =4

16、+log,2 = 5,解可得答案,(2)根据题意，易得刈在(0,+8)上为增函数，由此可得【详解】f(2m + 3) /(3m-5)0= f(2m + 3) f(3m-5) =2m+3 3m-50,解可得?的取值范闱，即可得答案.解：(1)根据题意，/Qc) = 2x+log“M0且awl),其图象过(2,5),则/ (2) =4 + log2 = 5,解可得a = 2,(2)由(1)的结论，。=2,则/(x) = 2x+log?x,则/在(0,+)上为增函数，则 /(2? + 3) /(3/77-5) 0= /(2？ + 3) /(3?- 5) =+ 3 3m- 5 0, 解可得：即？的取值

17、范围为弓，8).【点睛】关犍点睛：本题的解题关键在于利用/*)在(0，)上为增函数，进而利用/(26+3) /(31-5) 0 = /(26 + 3) /(3/n-5)进行求解19. (1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)取6C中点尸，证明四边形ADEF是平行四边形得出DE/AF，故而。石平面ABC；(2)设44=4，BC = b,计算BOQ的边长，根据勾股定理的逆定理即可得出BD1DC,.【详解】证明：(1)取的中点尸，连接石尸、AF , E,尸分别是 5G，BC 的中点、，.EFCCi， EF = gcg, .四边形acgA是矩形，。是的中点，AD/CC, AD = -CC,

18、21/. AD/EF , AD = EF, 四边形ADEF是平行四边形，DE/AF，又Of仁平面ABC，AFu平面A5C,.3石平面ABC. 2) .四边形 ACQA 是矩形，.AC_LCG，又平面平面BB&C ,平面AAC 0平面BBgC = CC1,人。匚平面4。4，/.4。_1平面5。6生，.4。，5。，AC 1QC ,因为四边形CC/声是矩形，所以CC_L5C,且CAPIBC，所以CQ，平面A5C, 因为CCJ/AO,所以AO_L平面ABC, ADAB,设 AAk = a , BC = b,则 AC = AD = D = AC1 =,， ， ，.BC： = BB： + BC： = a2

19、+b DC； = DA： + AC； = + =442AB2 = AC2 + BC2 = -+b2,BD2 = AB2 + AD2 =- + b2 + = b2+,4442BD2 + DC； = BC；,BD 1 DC-【点睛】方法点睛：本题考查了线面平行的判定、线面垂直的判定与性质，对于证明线线关系，线面 关系，面面关系等方面的问题，必须在熟练掌握布.关的定理和性质的前提下，再利用已知来 进行证明，特别地，对于线线垂直，有时可以利用勾股定理证明更能很好的解决问题.20. (1) (x-5)2 + / = 16； (2) 2后.【分析】(1)由题意可得M的轨迹C的方程；(2)由题意可得直线/与

20、直线CN垂直可得直线/的方程，求出圆心到直线的距离，及。到直线/的距离，代入面积公式可得面积的值.【详解】J(x+3 +)解：(0因为岛#=2，由题意可得华=2,7(x-3)2 + r两边平方整理可得：xz + r-10x + 9 = 0,所以。的方程为：(工一5尸+尸=16；（2）由题意可得直线则人二（/）=-2,设直线/的方程为5 6即直线/的方程为x2y 10 = 0,圆心到直线/的距离 d = CN = J(6-5+ (-2-Of =逐， 所以。到直线/的距离/?=2, 弦长 |A5| = 2/(-才=25/16-5 = 2 JTT所以 S、A8=5x2/rTx2 万=2 后.【点睛】

21、 关键点睛：利用点到直线距离和两点间距离公式和面积公式求解，主要考查学生的运算能力21. （1）平面与平面垂直：证明见解析；（2） 2.【分析】（1）由0O1平面45c。，知产。，人C,由正方形45co知，BDVAC.于是有平面PBD ,再利用面面垂直的判定定理即可得证；（2）过袅E作EF/OP,交BD于F ,连接。上，易知七f_L平面A6C。，故/石06即为所求：由棱锥E-A8c的体积石尸可求得环的长，由勾股定理可求 32得PO的长，从而推出点所在位置，进而得。尸的长；最后在RtAEFO中，由EFtan Z.EOB = 即可得解.OF【详解】解：（1）平面AEC与平面尸8。垂直.证明过程如下

22、：由题知，尸01平面45。0,四边形A6C。为正方形，:.POYAC, BD1AC.尸。|3。二。，PO、50U平面尸8。，4。，平面尸班）,.ACu 平面 AEC,平面4EC,平面0DB(2)过点E作EF/OP,交BD于F ,连接OE, .20_1平面45。，. 石尸，平面 A5CQ, /. B即为直线OE与平面45co所成角.棱锥 E-ABC 的体积 V = - EF -AB BC =逑，即 lfF-222 =,.poNpaJao? 应,二点七为P5的三等分点，且靠近点P，,-.OF = -OB = - , 332晚EF T在 RtAEFO 中，tan ZEOB = - = 2 ,V.二直线OE与平面A5CD所成角的正切值为2.【点睛】 关键点睛：线与面的垂直关系、线面角的求法，熟练掌握线面、面面垂直的判定定理，以及 理解线面角的定义是解题的关键22. (1) -9,0)U(046； (2)答案见解析.【分析】(1)求得人(M = /& = x(k + 4| + 2),结合对称轴和区间的关系，可得(x)的最小值和 g(x)最大值，进而得到(x)的值域;(2)由题意可得方程/(x) = g(x)的解的个数等价为 ? = x(x3+2)的根的个数，设 /?(x) = x(|x-3| + 2),画出y