2005年高考数学-全国卷(1)

1、2005年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（全国卷I ）本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。第I卷 到10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷1至2页。第n卷3注意事项：1 .答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。2 .每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。3 .本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。参考公式：如果事件A、B互斥，那么球是表面积公式P(A B) P(A) P(B)S 4 R2如果

2、事件A、相互独立，那么其中R表示球的半径P(A B) P(A) P(B)球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率其中V - R33R表示球的半径Pn(k) C：Pk(1 P)n k选择题（1）设I为全集,6、S2、S3是I的三个非空子集，且S1S2S3I,则下面论断正确的是（(2)(3)(A)(C)CIS1CiSi(S2S3)CIS2CI S3)一个与球心距离为(A)函数(A)(B)(D)1的平面截球所得的圆面面积为8,2(B)(C)S1S1(CS(CSCS)CiS2),则球的表面积为（4 ,. 2(D)f(x) xax2 3x9,已知f (x

3、)在 x3时取得极值，则a =如图，在多面体(B)(C)(D)ABCDEF中，已知 ABCD是边长为1的正方形，且ADE、BCF均为正三角形，EF/AB, EF=2,则该多面体的体积为（）(A)(B)史(C)3(D)2)(5)已知双曲线2 x-2 a31 (a 0)的一条准线为x ,则该双曲线的离心率为(2(A)(B)一(C),、，,1 cos2x 8sin x(6)当0 x 时，函数f(x)的最小值为()2sin 2x(A) 2(B) 273(C) 4y 、，2x x2 (1 x 2)反函数是()(A) y 1 川 x2 ( 1 x 1)y 11 x2 (0 x 1)(C) y 1 V1 x

4、2 (1x1), 二 2(D) y 1 V1 x (0 x 1)(8)设 0 a 1 ,函数 f (x)loga(a2x 2ax 2),则使f(x) 0的x的取值范围是()(A) (,0)(B) (0,)(C) (, log a 3)( D )(lOg a 3,)(9)在坐标平面上，不等式组y y1所表示的平面区域的面积为(B)(C)3.2(D) 2(10)在 ABC中，已知tansinC ,给出以下四个论断: tan A cot B 1 sin2 A cos2 B 1其中正确的是(A)(B) 0 sin A sin B . 2f2 A22 c cos A cos B sin C(C)(D)(

5、11)点。是三角形ABC所在平面内的一点，满足 OA OB OB OC OC OA,则点O是ABC的()(A)三个内角的角平分线的交点点(C)三条中线的交点(B)三条边的垂直平分线的交(D)三条高的交点(12)设直线l过点(2,0),且与圆x2 y2 1相切，则l的斜率是(A) 1(B) 1(C)(D)<323第II卷注意事项：1 .用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。2 .答卷前将密封线内的项目填写清楚。得分评卷人3 .本卷共10小题，共90分。题号二总分171819202122分数本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。(13)若正整数 m 满足 10m1 25121

6、0m,则 m = 。 (lg 2 0.3010)(14) (x 1)8的展开式中，常数项为 。(用数字作答) x(15)从6名男生和4名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法有 种。(16)在正万形ABCD A B C D中，过对角线BD的一个平面交 AA于E,交CC于F,_ '一 四边形BFD E 一定是平行四边形 四边形BFD E有可能是正方形四边形BFD'E在底面ABCD内的投影一定是正方形 ' 、 一. ， ' 四边形BFD E有可能垂直于平面 BB D以上结论正确的为 。(写出所有正确结论的编号)三.解答题：本大题共 6小题，共74分

7、。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。设函数 f(x) sin(2x0), yf(x)图像的一条对称轴是直线x得分 评卷人(17)(本大题满分12分)已知二次函数f (x)的二次项系数为a,且不等式f(x)2x的解集为(I)求；(n)求函数y f(x)的单调增区间；(出)画出函数y f(x)在区间0,上的图像。福芬一 评卷人(18)(本大题满分12分)已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形， AB /DC, DAB 90 , PA 底面ABCD ,且PA=AD=DC= 2-AB=1 , M 是 PB 的中点。(I)证明：面 PAD,面 PCD; 尸、一(n)求AC与PB所成的角；/产(出)

8、求面AMC与面BMC所成二面角的大小。得分一评卷人(19)(本大题满分12分)“c(1,3)。(I)若方程f (x) 6a 0有两个相等的根，求 f (x)的解析式;(n )若f (x)的最大值为正数，求 a的取值范围。而一评卷人(20)(本大题满分12分)9粒种子分种在甲、乙、丙 3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为 0.5,若一个坑内 至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种； 若一个坑内的种子都没发芽， 则这个坑需要补 种。(I)求甲坑不需要补种的概率；(n)求3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率；(出)求有坑需要补种的概率。得分评卷人(精确到0.01 )(22)(本大题满分14分)已知

9、椭圆的中心为坐标原点 O,焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点 F的直线交椭圆于A、B两点，OA OB与a (3, 1)共线。(I)求椭圆的离心率；R),证明22为定值。(n)设M为椭圆上任意一点，且OM OA OB ( 得分一 评卷人(21)(本大题满分12分)1_ 1010设正项等比数列an的首项a1万，前n项和为Sn,且2 S30 (21电。0。 0。(I)求an的通项；(n)求nSn的前n项和。2005年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修I)参考答案一、选择题(本题考查基本知识和基本运算，每小题 5分，满分60分)1. C 2. C 3. B 4. D 5. A 6. D

10、 7. C 8. B 9. C 10. B 11. B 12. D二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，？t分16分.13. 155 14. 70 15. 100 16.三、解答题17.本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力，满分12分.解：(I) x 一是函数y f(x)的图像的对称轴，sin(2 一 )1,88 k -, k Z.0,-.4243 3(n)由(I)知乙,因此丫 sin(2x -).4 4由题意得2k - 2x 2k ,k Z.24235所以函数y sin(2x 7)的单调增区间为k -,k -, k Z.3 一(出)由y sin(2x彳

11、)知x08385878y亚21010222故函数y f (x)在区间0,上图像是18.本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力.满分124万案一：(I)证明： PA，面 ABCD , CDXAD , 由三垂线定理得：CD ± PD.因而，CD与面PAD内两条相交直线 AD , PD都垂直， .CD,面 PAD.又 CD 面 PCD, ,面 PADXW PCD. (II)解：过点 B 作 BE/CA ,且 BE=CA ,则/ PBE是AC与PB所成的角.连结 AE,可知 AC=CB=BE=AE=收,又 AB=2

12、 ,所以四边形 ACBE为正方形.由PAX面ABCD得/ PEB=90在 RtA PEB 中 BE= <2 , PB=通,COS PBEBE 10PB 52AC与PB所成的角为.10arccos.5(出)解：作AN ±CM ,垂足为N,连结BN. 在 RtAPAB 中，AM=MB ,又 AC=CB , . AMC BMC,. .BN ±CM ,故/ ANB为所求二面角的平面角 . CBXAC ,由三垂线定理，得 CBXPC, 在 RtAPCB 中，CM=MB ,所以 CM=AM.AC o _ .在等腰二角形 AMC中，AN MC= JCM 2 ()2 AC ,23AN

13、32_万26_5 V2，AB=2 ,cos ANB2_2_ 2AN BN AB2 AN BN故所求的二面角为arccos(AD长为单位长度，如图建方法二：因为 PAXPD, PAX AB , AD LAB,以A为坐标原点立空间直角坐标系，则各点坐标为1, 0), D (1,A (0, 0, 0) B (0, 2, 0), C (1,0, 0), P (0, 0, 1), M (0, 1,(I)证明：因 AP (0,01), DC(0,1,0)，故而 DC 0,所以AP DC.又由题设知AD，DC ,且AP与与AD是平面PAD内的两条相交直线,又DC在面PCD上，故面 PAD上面PCD.(n)解

14、：因 AC (1,1,0),PB (0,2, 1),故 |AC| J2,| PB| v'5,AC PB 2,所以cos AC, PBAC PB10| AC | | PB|5由此得DC上面PAD.由此得AC与PB所成的角为10 arccos-5(出)解：在 MC上取一点N (x, v, z),则存在R,使 NC MC,八八11NC (1 x,1 y, z),MC (1,0, -), x 1 ,y 1,z 214要彳I! ANMC,只需AN MC0即xz0,解得.25412可知当4时,N点坐标为(1,1,2)，能使AN MC 0.55 51 2 -12一 一此时，AN (-,1,-), B

15、N (-, 1,)，有 BN MC 05 555由AN MC 0,BN MC 0得AN MC,BN MC.所以 ANB为所求二面角的平面 角.45BN3030| AN | ，|BN| -,AN 55AN BN cos(AN, BN)| AN | |BN |2 故所求的一面角为arccos(-).319 .本小题主要考查二次函数、方程的根与系数关系，考查运用数学知识解决问题的能力 满分12分.解：(I)f(x) 2x 0的解集为(1,3). f(x) 2x a(x 1)(x 3),且a 0.因而一一 一2f (x)a(x1)( x3) 2xax (2 4a)x 3a.由方程f(x)6a0得ax2

16、(24a)x 9a 0.因为方程有两个相等的根，所以(2 4a)2 4a 9a 0,即 5a2 4a 10.解得a由于a0,舍去a1.将a1 ,、，一代入得f(x)的解析式 5f(x)(n)由 f (x)ax2 2(1 2a)x 3a a(x -2a)2 a2a 4a 1a及a 0,可得f (x)的最大值为a2 4a 1aa 4a 1 八,0由 a ,解得a 2 J3或 2 43 ao.a 0,2 、3) ( 23,0).故当f(x)的最大值为正数时，实数 a的取值范围是(20 .本小题主要考查相互独立事件和互斥事件有一个发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.1

17、(I)解：因为甲坑内的3粒种子都不发芽的概率为(1 0.5)3 、，所以甲坑不需要补 ,17 -种的概率为 10.875.8 871 c(n)解：3个玩恰有一个玩不需要补种的概率为c； 7 (、)2 0.041.7 3（出）解法一：因为 3个坑都不需要补种的概率为 （0）3,所以有坑需要补种的概率为7 31 (-)30.330.解法二：3个坑中恰有1个坑需要补种的概率为c3171 (-)20.287,88恰有2个坑需要补种的概率为3个坑都需要补种的概率为所以有坑需要补种的概率为C2 (8)2 8C3 (8)3 (7)00.287 0.0410.041,0.002.0.002 0.330.21.

18、本小题主要考查等比数列的基本知识，考查分析问题能力和推理能力，满分12分.解：（I）由 210 S30(2101) S20S100 得 210(S30S20)S20即 210区1a22a30 )a11a12101010 /可付2 q (a1a12a20 )ana12a20 .因为an-10 102 q1,解得q（n）因为an是首项1一、公比21 "一,因而 an21-的等比数列,naq12nn1,2,11SSn J21 22n , nSnn2n则数列nSn的前n项和(1 2n)222n2n),Tn22(1n)(22223n2nn2n 1).前两式相减,Tn212(1n)1(2n(n 1)42(112nn2n 1Tnn(n 1)212n 12n2.222.本小题主要考查直线方程、 知识解决问题及推理的能力平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合