223_向量数乘运算及其几何意义

1、12.2.3 向量数乘运算及其几何意义向量数乘运算及其几何意义2BAbao.a+bbaABba+ba3o.BAa-baba-b-bo.BAab4aaaABCOaaaa3BCABOAOC记作aaaaMNQMPQPN3)()()(记作a已知非零向量已知非零向量a a，作，作a+a+aa+a+a和和(-a)+(-a)+(-a)(-a)+(-a)+(-a)-a-a-aPQMNaaaa333的方向相同与aaaa333的方向相反与5思考思考1 1：如图，设点如图，设点M M为为ABCABC的重心，的重心，D D为为BCBC的中点，那么向量的中点，那么向量 与与 ， 与与 分别有什么关系？分别有什么关系？B

2、 Duuu rB Cuuu rA Duuu rD Muuuu rABCDM6对于任意一个三角形，对于任意一个三角形，三角形的三条高的交点叫做三角形的三条高的交点叫做垂心垂心，三角形的三条中线的交点所为三角形的三条中线的交点所为重心重心，三角形的三条角平分线的交点叫三角形的三条角平分线的交点叫内心内心，三角形的三条中垂线的交点叫三角形的三条中垂线的交点叫外心外心 7思考思考1 1：如图，设点如图，设点M M为为ABCABC的重心，的重心，D D为为BCBC的中点，那么向量的中点，那么向量 与与 ， 与与 分别有什么关系？分别有什么关系？B Duuu rB Cuuu rA Duuu rD Muuu

3、u rABCDM12B DB C=uuu ruuu r3A DD M= -uuu ruuuu r8,aa 实实数数 与与向向量量 的的积积是是一一个个确确定定的的向向量量，记记为为1;aa 其其方方向向和和长长度度规规定定如如下下：（ ）20,0,00.aaaaa （ ） 当当与与 的的方方向向相相同同；当当的的方方向向与与 的的方方向向相相反反；当当，9a)2(3a)2(3aa6=abbaba22 a2b2baba22)(210数乘向量的数乘向量的几何意义几何意义就是把向量就是把向量 沿沿 的方向或反的方向或反方向放大或缩短方向放大或缩短. .若若 , ,当当 沿沿 的的方方向向放大放大了了

4、 倍倍. .当当 沿沿 的的方向方向缩短缩短了了 倍倍. .当当 , ,沿沿 的的反方向反方向放大放大了了 倍倍. .当当 沿沿 的的反方向反方向缩短缩短了了 倍倍. .由其几何意义可以看出由其几何意义可以看出用数乘向量能解决几何中的用数乘向量能解决几何中的相似相似问题问题.0a 时，1时，10时1a时，01aaaaa a11)() ;()1(2)(3);().aaaaaabab ，是是 实实 数数 ，） （aaabab 特别地:（）向量的加、减、数乘运算统称为向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算向量的线性运算12例例1：计算下列各式：计算下列各式a4)3)(1 (ababa)(2)(3

5、)2(a12b5)23 ()32)(3 (cbacbacba25 )()()(4(2121bcttbcttctbt212213思考思考2 2：若存在实数若存在实数，使，使 ，则则A A、B B、C C三点的位置关系如何？三点的位置关系如何？A BBCl=uuu ruuu r思考思考3 3：如图，若如图，若P P为为ABAB的中点，则的中点，则 与与 、 的关系如何？的关系如何？O Puuu rO Auuu rO Buuu rA AB BP PO O、 、共线A BBCABCl=uuu ruuu r1()2O PO AO B=+uuu ruuu ruuu r14例例2. .如图：已知如图：已知

6、， ，试判断试判断 与与 是否是否共线共线 ABAD 3BCDE3 ACAEBCAB 33 BCAB 3AC 3 与与 共线共线 AEACDEADAE 解：解：A AD DE EC CB B 向量向量 与与非零向量非零向量 共线共线 有且有且仅有一个实数仅有一个实数 ，使得，使得 b a ba 1531A AD DB BC CM MN N61312116练习练习aaC.的方向相反与aaA.的方向相同与aa2B.(2).设 是非零向量, 是非零实数,下列结论正确的是( ).aaD.a(1).下列四个说法正确的个数有( ).B.2个A.1个C.3个D.4个; bmambambam ）（，恒有、和向

7、量对于实数;),(baRmbmam则有若;, 0),(nmaRnmanam则有、若;)(anamanmanm，恒有和向量、对于实数BC17例例4 4: :若若其中其中 , , 是是已知向量已知向量, ,求求 ，分析:此题可把已知条件看作向量的方程,通过解方程组获得aanm23bnm3bam112113解：记 ， bnm3933得 ,113111ban-得abybax5152,5152anm23bnm3bmn18例例5如图所示，已知 说明向量 与 的关系,3OAOA ,3ABBAOBOB解解： 因为BAOAOBABOA33)(3ABOAOB3所以， 与 共线同方向，长度是 的3倍OBOBOBoA

8、BBA问题: 如果把3都换成k( 不为0),结论会有什么变化?19练习练习1. 在 中,设D为边的中点,求证:ABC)(21) 1 (ACABADADCABCAB223)2(解：因为BDABADBCAB21)(21ABACAB)(21BCAB （）（）CABCABAB22原式左边CAACAB2右边ADACAB2所以，所证等式成立所以，所证等式成立20E过点B作BE,使ACBE 连接CE则四边形ABEC是平行四边形,D是BC中点，则D也是AE中点.由向量加法平行四边形法则有ADAEACAB2)(21ACABAD解2:21例6: 如图，在 中,延长BA到C,使AC=BA,在OB上取点D,使BD= OB.DC与OA交于E,设 请用 .OAB31，bOBaOADCOCba，表示向量，ECODBA 分析分析: : 解题的关键是建立 的联系，为此需要利用向量的加、减法数乘运算。 baODOC，与,解：解：因为A是BC的中点，所以 .22),(21baOBOAOCOCOBOA即babbaOBOCODOCDC35232232ab22,31bACaABBCBDBCABCD，设边上一点，且中是等于则AD（ C ）)(31.baA)(31.abB)2(31.b