切线长与三角形的内切圆

1、24.2.2切线长与切线长与三角形的内切圆三角形的内切圆复习：复习：切线的判定：切线的判定：切线的性质：切线的性质：判定定理切线切线有一个公共点. 3r2.d1.垂直于过切点的半径切线切线一个公共点切线. 3rd2. 1.A.O.A.O.A.O（1）过圆内已知点不能作圆的切线（2）过圆上已知点可作圆的唯一一条切线。（3）过圆外一已知点可作圆的两条切线。过平面内一点作已知圆的切线，会有过平面内一点作已知圆的切线，会有怎样的情形呢？怎样的情形呢？PABO思考：切线长和切线的区别？切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长这点和切点之间的线段的长

2、，叫做这，叫做这点到圆的点到圆的切线长切线长。探索！切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的它们的切线长相等切线长相等，圆心圆心和这一和这一点点的的连线连线平分平分两条切线的两条切线的夹角夹角。.Po.A几何符号表示为：几何符号表示为： PA、PB分别切分别切 O于于A、BPA=PB,PA=PB, OPOP平分平分APBAPB动动口：动动口：从以上结论中，你能说说圆从以上结论中，你能说说圆外一点引圆的两条切线有什么样的结论外一点引圆的两条切线有什么样的结论吗？吗？BBBABBBBBOB是 O的一条半径吗？PB是 O的切线吗？线段PA与PB， APO 与

3、BPO有什么关系？请证明你所发现的结论。请证明你所发现的结论。APOBPA = PBOPA=OPB证明：证明：PAPA，PBPB与与OO相切，点相切，点A A，B B是切点是切点 OAPAOAPA，OBPBOBPB 即即OAP=OBP=90 OA=OB，OP=OP RtRtAOPRtAOPRtBOP(HLBOP(HL) ) PA = PB OPA=OPBAPO。BM 连结两切点连结两切点A A、B B，ABAB交交OPOP于点于点M.M.线段线段ABAB与线与线段段OPOP有什么关系有什么关系? ?并给出证明并给出证明. .OP垂直平分垂直平分AB证明：证明：PAPA，PBPB是是OO的切线的

4、切线, ,点点A A，B B是切点是切点 PA = PB OA=OB OP垂直平分垂直平分ABAPO。BECD例题已知：如图，例题已知：如图，PA，PB是是 O的两条切的两条切线，线，A、B为切点。直线为切点。直线OP交交 O于点于点D、E，交，交AB于点于点C。（2）写出图中所有的全）写出图中所有的全等三角形；等三角形；（1）写出图中所有的垂直关系；）写出图中所有的垂直关系；OAPAOAPA，OBPBOBPB，OPABOPABOAPOAPOBP;OBP;OCAOCAOCBOCBACPACPBCPBCP（3）图中有哪些线段相等）图中有哪些线段相等(除半径外除半径外)、弧相、弧相等？等？PB=P

5、A;BC=AC弧BD=弧AD,弧EB=弧EA,弧EBD=弧EAD,弧EBA=弧，弧弧 李明在一家木料厂上班，工作之余想对厂李明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，且使圆的面积最大。料，且使圆的面积最大。下图是他的几种设计，请同学们帮他确定一下图是他的几种设计，请同学们帮他确定一下。下。ABC思考下列问题思考下列问题：1如图，若如图，若 O与与ABC的两边相切，那么圆心的两边相切，那么圆心O的的位置有什么特点？位置有什么特点？圆心圆心0在在ABC的平分线上。的平分线上。2如图如图2，如果，如果 O与与ABC的夹内角的夹内

6、角ABC的两的两边相切，且与夹内角边相切，且与夹内角ACB的两边也相切，那么此的两边也相切，那么此 O的圆心在什么位置？的圆心在什么位置？圆心圆心0在在BAC,ABC与与ACB的三个角的三个角的角平分线的交点上。的角平分线的交点上。 OMABCNO图图2AB C探究：三角形内切圆的作法探究：三角形内切圆的作法3如何确定一个与三角形的三边都相切如何确定一个与三角形的三边都相切的圆心的位置与半径的长？的圆心的位置与半径的长？ 4你能作出几个与一个你能作出几个与一个三角形的三边都相切的三角形的三边都相切的圆么？圆么？ 作出三个内角的平分线，三条内角作出三个内角的平分线，三条内角平分线相交于一点，这点

7、就是符合平分线相交于一点，这点就是符合条件的圆心，过圆心作一边的垂线，条件的圆心，过圆心作一边的垂线，垂线段的长是符合条件的半径。垂线段的长是符合条件的半径。 只能作一个，因为三角形的三条内角只能作一个，因为三角形的三条内角平分线相交只有一个交点。平分线相交只有一个交点。 探究：三角形内切圆的作法探究：三角形内切圆的作法BAEDFOr作法： ABC1、作、作B、C的平分线的平分线BM和和CN，交点为交点为I。 I2过点过点I作作IDBC，垂足，垂足为为D。 3以以I为圆心，为圆心，ID为为半径作半径作 I. I就是所求的圆。就是所求的圆。 DMN探究：三角形内切圆的作法探究：三角形内切圆的作法

8、1、定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角、定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角 形的形的内切圆内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的，内切圆的圆心叫做三角形的内内心心，这个三角形叫做圆的，这个三角形叫做圆的外切三角形外切三角形。2、性质、性质: 内心到三角形三边的内心到三角形三边的距离相等距离相等； 内心与顶点连线内心与顶点连线平分内角平分内角。O图图2AB CABCO外心（三角形外接圆的圆心）名称确定方法图形性质三 角 形 三边 中 垂 线的交点 （1）OA=OB=OC；（2）外心不一定在三角形的内部内 心 （ 三角 形 内 切圆的圆心）三 角 形 三条 角 平 分线的交点 （1）到三边的距离相等

9、；（2）OA、OB、OC分别平分 B A C 、 A B C 、ACB；（3）内心在三角形内部ABCO例题例题 已知：在已知：在ABCABC中，中，BC=14BC=14，AC=9AC=9，AB=13AB=13，它的内切圆分别和，它的内切圆分别和BCBC、ACAC、ABAB切于点切于点D D、E E、F F，求，求AFAF、BDBD和和CECE的长的长。ABCFDExx13-x13-x9-x9-x(13-x)+(9-x)=14略解：设略解：设AFx，则，则BF=13-x由切线长定理知由切线长定理知:AE=AF=x,BD=BF=13-x,DC=EC=9-x,又又BD+CD=14解得解得x=4答：答

10、：AF=4BD=9CE=5AF=4，BD=9，CE=5课本课本98页练习页练习1如图，在如图，在ABC中中ABC=50，ACB75，点，点O是内心，求是内心，求BOC的的度数。度数。 分析：分析： O = ? 1 + 3= ? O为为ABC的内心的内心 BO是是ABC的角平分线的角平分线 CO是是ACB的角平分线的角平分线 ABC211ACB213OA243BC1解： 点O为ABC的内心 12 0025502121ABC005 .3775212143ACB BOC=1800 - (1+2) =1800 - (250+37.50) =117.50 BOC=117.50C1O243BA课本课本98

11、页练习页练习2.ABC的内切圆半径为的内切圆半径为r， ABC的周长为的周长为l，求，求ABC的面积的面积.（提示：（提示：设内心为设内心为O，连接，连接OA、OB、OC.）解：解： 设设: AB = a BC = a AC = b则则1,2AOBScr1,2BOCSar1.2AOCSbrABCAOBBOCAOCSSSS1()2r abc1.2lrCABODMNrrr比一比看谁做得快.ABCabcrr =a+b-c2例：直角三角形的两直角例：直角三角形的两直角边分别是边分别是5cm5cm，12cm .12cm .则其则其内切圆的半径为内切圆的半径为_。rO已知：如图，在已知：如图，在RtRtA

12、BCABC中，中，C=90C=90 ，边边BCBC、ACAC、ABAB的长分别为的长分别为a a、b b、c c，求，求求其内切圆求其内切圆O O的半径长的半径长。2ED例例4.如图，如图，ABC中中,C =90 ,它的它的内切圆内切圆O分别与边分别与边AB、BC、CA相切相切于点于点D、E、F，且，且BD=12，AD=8，求求 O的半径的半径r.OEBDCAF。PBAO（3）连结圆心和圆外一点）连结圆心和圆外一点（2）连结两切点）连结两切点（1）分别连结圆心和切点）分别连结圆心和切点反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。小结：小结：1.1.切线长：在经过切线长：在经过圆

13、外一点的圆的切圆外一点的圆的切线上，这点和切点线上，这点和切点之间的线段的长，之间的线段的长，叫做这点到圆的切叫做这点到圆的切线长。线长。2.2.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。连线平分两条切线的夹角。.A.Po.BFDAPO。B 若延长若延长PO交交 O于点于点C，连结，连结CA、CB，你又你又能得出什么新的结论能得出什么新的结论? ?并给出证明并给出证明. .CA=CB证明：证明：PAPA，PBPB是是OO的切线的切线, ,点点A A，B B是切点是切点 PA = PB OPA=OPB PC=PCPC=PC PCA PCB AC=BCAC=BCC例例3 、如图，四边形、如图，四边形ABCDABCD的边的边ABAB、BCBC、CDCD、DADA和圆和圆OO分别分别相切于点相切于点L L、M M、N N、P P，求证：求证： AD+BC=AB+CDAD+BC=AB+CDDLMNABCOP证明：由切线长定理得证明：由切线长定理得AL=APAL=AP，LB=MB,NC=MCLB=MB,NC=MC， DN=DPDN=DPAL+LB+NC+DN=AP+MBAL+L