概率论与数理统计复习课

1、概率论与数理统计复习课武汉理工大学统计学系 毛树华例例1 1、填空题：、填空题： 1 1、已知、已知, , 3 . 0)(, 4 . 0)(BPAP(1)(1)当当A A、B B互不相容时，互不相容时，(2)(2)当当A A、B B相互独立时，相互独立时，(3)(3)当当 时，时，;_)(_,)(ABPBAPAB ;_)(_,)(ABPBAP;_)(_,)(ABPBAP2 2、已知、已知 )(BAP, 8 . 0)(, 6 . 0)(, 5 . 0)(ABPBPAP则则二、常见例题精解二、常见例题精解 1 0. 7 00. 58 0. 12;0. 4,0. 3;2 0. 7、 ， ；，、3 3

2、、一种零件的加工由两道工序组成，第一道、一种零件的加工由两道工序组成，第一道工序的废品率为工序的废品率为p p，第二道工序的废品率为，第二道工序的废品率为q q则该零件加工的成品率为则该零件加工的成品率为 _。4 4、甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，、甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为其命中率分别为0.50.5和和0.40.4，现已知目标被击，现已知目标被击中，则它是乙射中的概率是中，则它是乙射中的概率是 。 5 5、设三次独立试验中，事件、设三次独立试验中，事件A A出现的概率相出现的概率相等，若已知等，若已知A A至少出现一次的概率为至少出现一次的概率为 ，则在，则在一

3、次试验中事件一次试验中事件A A出现的概率为出现的概率为 。 2719()()13 11;4 0. 5753pq-、例例2 2、单项选择题、单项选择题 ： 1 1、以、以A A表示事件表示事件“甲种产品畅销，乙甲种产品畅销，乙种产品滞销种产品滞销”，则其对立事件为（），则其对立事件为（） A A“甲种产品滞销，乙种产品畅销甲种产品滞销，乙种产品畅销”； B B“甲、乙两种产品均畅销甲、乙两种产品均畅销”； C C“甲种产品滞销甲种产品滞销”； D D“甲种产品滞销或乙种产品畅销甲种产品滞销或乙种产品畅销”。AAB B 2 2、如果事件、如果事件 、 有有 ，则下述结论正，则下述结论正确的是（确

4、的是（ ）A A 与与 必同时发生必同时发生 B B 发生，必发生；发生，必发生；C C 不发生，必不发生不发生，必不发生D D不发生，必不发生不发生，必不发生 ABABBAAB 3 3、掷两枚均匀硬币，出现、掷两枚均匀硬币，出现“一正一反一正一反”的的概率是（概率是（ ） A A ； B B ； C C ； D D 。 31214143 4 4、设、设 、 为任意两个事件，且为任意两个事件，且 ， ，则下列选项必然成立的是（，则下列选项必然成立的是（ ） ABBA0)(BP)()(BAPAPA、)()(BAPAPB、)()(BAPAPC、)()(BAPAPD、 5 5、已知、已知 ， ，如，

5、如果它们满足条件（果它们满足条件（ ）时，则能使等式）时，则能使等式 成立。成立。 A A 是一个完备事件组；是一个完备事件组； B B 两两互斥；两两互斥；0)(BPniAPi, 2 , 10)()(BP)()(1iniiABPAPnAAA,21nAAA,21 C C 相互独立；相互独立；nAAA,21D D 的并集是全集。的并集是全集。 nAAA,21， 且 ，169)(CBAP 例例3 3、设两两独立的三个事件、设两两独立的三个事件A A、B B、C C，满足，满足,ABC5 . 0)()()(CPBPAP)(AP求求答案：答案：ABBCD解：由于解：由于 三事件两两独立，所以三事件两两

6、独立，所以CBA、 2APBCPACPABP CBAPCPBAPCBAP ABCPAPAPABCPBCPACPABPAPBCACPCPABPBPAP2333又由于又由于ABC所以所以 169332APAP 41AP 例例4 4、用三个机床加工同一种零件，零件由、用三个机床加工同一种零件，零件由各机床加工的概率分别为各机床加工的概率分别为0.50.5、0.30.3、0.20.2，各机，各机床加工的零件为合格品的概率分别为床加工的零件为合格品的概率分别为0.940.94、0.900.90、0.950.95，求全部产品的合格率。，求全部产品的合格率。 解：设解：设 分别表示零件由第一、分别表示零件由

7、第一、第二、第三个车床加工，第二、第三个车床加工， 表示产品为合格表示产品为合格品。则由题意得：品。则由题意得：CBA、D 95. 0|90. 0|94. 0|2 . 03 . 05 . 0CDPBDPADPCPBPAP从而从而: 93. 095. 02 . 09 . 03 . 094. 05 . 0|CDPCPBDPBPADPAPDP 例例5 5、假定某工厂甲、乙、丙个车间生、假定某工厂甲、乙、丙个车间生产同一螺钉。产量依次占全厂的产同一螺钉。产量依次占全厂的45%45%，35%35%，20%20%，如果每个车间的次品率依次为如果每个车间的次品率依次为4%4%，% %，5%5%。现。现在从待

8、出厂的产品中检查出个次品，问它是在从待出厂的产品中检查出个次品，问它是由甲车间生产的概率是多少？由甲车间生产的概率是多少？ 解：设解：设 分别表示螺钉由甲、乙、分别表示螺钉由甲、乙、丙三个厂生产，丙三个厂生产， 表示螺钉为次品。则由题意表示螺钉为次品。则由题意得：得：CBA、D 20. 035. 045. 0CPBPAP05. 0|02. 0|04. 0|CDPBDPADP从而从而: 351805. 020. 002. 035. 004. 045. 004. 045. 0|CDPCPBDPBPADPAPADPAPDAP 例例6 6、甲、乙两人各自向同一目标射击，、甲、乙两人各自向同一目标射击，

9、已知甲命中目标的概率为已知甲命中目标的概率为 0.70.7，乙命中目标的，乙命中目标的概率为概率为0.8 0.8 求：求： (1) (1)甲、乙两人同时命中目标的概率；甲、乙两人同时命中目标的概率； (2)(2)恰有一人命中目标的概率；恰有一人命中目标的概率； (3)(3)目标被命中的概率。目标被命中的概率。 解解:设设 分别表示甲乙命中目标分别表示甲乙命中目标。则。则BA、 8 . 07 . 0BPAP 56. 08 . 07 . 01BPAPABP、 38. 03 . 08 . 02 . 07 . 02BAPBAPBABAP、 94. 056. 08 . 07 . 03ABPBPAPBAP

10、、例例7 7、设、设 , , ，证明：证明： 。 1)(0AP,1)(0BP1)()(BAPBAP)()()(BPAPABP 11|BPBAPBPABPBAPBAP证证: 111BPBAPBPABP BPAPABP 111BPABPBPAPBPABP例例8 8、将二信息分别编码为、将二信息分别编码为0 0和和1 1传送出去，接传送出去，接收站接收时，收站接收时，0 0被误收作被误收作1 1的概率为的概率为0.020.02，而，而1 1被被误收作误收作0 0的概率为的概率为0.010.01，信息，信息0 0和和1 1传送的频繁程传送的频繁程度为度为2:2:1 1，若接收站收到的信息是，若接收站收

11、到的信息是0 0，问原发信，问原发信息是息是0 0的概率是多少？的概率是多少？ 解解:设设 表示发送编码为表示发送编码为0 ; 表示接受编码表示接受编码为为0;由题意知由题意知AB99. 0|01. 0|02. 0|98. 0|ABPABPABPABP从而从而: 994. 03101. 03298. 03298. 0|APABPAPABPAPABPBAP第二章第二章 习题课习题课一、内容概要一、内容概要 1、随机变量的定义、随机变量的定义 设设 是随机试验，它的样本空间是随机试验，它的样本空间 ，如果对于每一个如果对于每一个 ，有一个实数，有一个实数 与与之对应，这样就得到一个定义在之对应，这

12、样就得到一个定义在 上的单上的单实值函数实值函数 ，称之为，称之为随机变量随机变量。E )( X )( XX 2、离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量及其分布列如果随机变量如果随机变量 的只取有限个或可数个值的只取有限个或可数个值X并且取各个值的对应概率为并且取各个值的对应概率为 ,21kxxx,21kppp), 2 , 1()(kpxXPkk即即则称则称 为为离散型随机变量离散型随机变量，上式称为，上式称为 的的概概率分布率分布，又称，又称分布密度分布密度或或分布列分布列。XX离散型随机变量的分布列具有以下性质：离散型随机变量的分布列具有以下性质：11kkp（2）, 2 , 1, 0 k

13、pk（1）3、分布函数及其性质、分布函数及其性质 设设 是一个随机变量，是一个随机变量， 是任意实数，函是任意实数，函数数Xx)()(xXPxF )( x称为称为 的的分布函数分布函数。X4、连续型随机变量及其概率密度、连续型随机变量及其概率密度)()(lim) 4(000 xFxFxx即即 是右连续的。是右连续的。)(xF分布函数具有以下性质：分布函数具有以下性质：;, 1)(0) 1 (xxF ; 1)(lim;0)(lim3xFFxFxFFxFxx2121),()()2(xxxFxF对 xdttfxXPxF)(则称则称 为连续型随机变量，为连续型随机变量， 为为 的的概率密概率密度函数度

14、函数，简称，简称概率密度概率密度。 XX xf 设设 是随机变量是随机变量 的分布函数，如果的分布函数，如果存在一非负函数存在一非负函数 ，使对任意实数，使对任意实数 有有x xf)(xFX概率密度函数具有以下性质：概率密度函数具有以下性质：; 0)() 1 (xf1)()2(dxxf 21)()()()(1221xxdxxfxFxFxXxP（3）对任意实数）对任意实数 有有,21xx （4）若）若 在点在点 处连续，则处连续，则)(xfx)()(xfdxxdF 5、常用概率分布、常用概率分布（1）0-1分布分布pXPpXP 1)0(,)1(nkppCpknPknkkn, 1 , 0,)1()

15、,( 0, 2 , 1 , 0,!)( kekkXPk（2）二项分布）二项分布),(pnBX（3）泊松分布）泊松分布)( PX（4）几何分布）几何分布, 2 , 1,)1 ()(1 kppkXPk., 0,1)()( 其它其它bxaabxFxf（5）均匀分布）均匀分布),(baUX（6）正态分布）正态分布),(2 NX,21)(222)( xexf x 当当 时，称为标准正态分布时，称为标准正态分布,记为记为 。其密度函数和分布函数常用。其密度函数和分布函数常用 和和 表示：表示：10 2, )(x)(x)1, 0(N xexx,21)(22 xdtexxt,21)(22 （7）指数分布）指数

16、分布)( EX,000)( xxexfx 0 6、二维随机变量及联合分布、二维随机变量及联合分布 设设 是两个随机变量，如果对任意是两个随机变量，如果对任意一组实数一组实数 ，使得，使得YX,yx,yYxX 是一个随机事件，则称为是一个随机事件，则称为二维随机变量二维随机变量。为二维随机变量为二维随机变量 的联合分布函数。的联合分布函数。 ),(YX),(),(),( yxyYxXPyxF相应地，称相应地，称);,(lim),()(),()(yxFxFxXPYxXPxFyX ).,(lim),()(),()(yxFyFyYPyYXPyFxY 为为 分别关于分别关于 和和 的的边缘分布函数边缘分

17、布函数。),(YXYX称称7、二维离散随机变量的概率分布、二维离散随机变量的概率分布为为 的的联合分布列联合分布列或或分布列分布列。),(YX, 2 , 1,),(jipyYxXPijji 设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量 可能取值可能取值为为 ，相应的概率为，相应的概率为),(YX), 3 , 2 , 1,(),(jiyxii，则称，则称ijp,2 , 1,)( ippxXPjijii,2, 1,)( jppyYPiijjj称称分别为关于分别为关于 和和 的的边缘分布列边缘分布列。XY8、二维连续随机变量的概率密度、二维连续随机变量的概率密度dxdyyxfyxFxy ),(),( 设

18、二维随机变量设二维随机变量 的分布函数的分布函数 ，如果存在一非负可积二元函数如果存在一非负可积二元函数 ，使对任，使对任意实数意实数 有有),(YX),(yxF),(yxf, yx则称则称 是是二维连续型随机变量二维连续型随机变量，相应的二，相应的二元函数元函数 称为称为 的的联合密度联合密度。它具有。它具有以下性质：以下性质：),(YX),(yxf),(YX; 1),()2( dxdyyxf;0),() 1 ( yxfyxyxFyxf ),(),(2（3 3）在）在 的连续点的连续点，有有),(yxf（4 4）对平面上的任意区域）对平面上的任意区域D),(DyxP dxdyyxfD ),(

19、（5） 和和 的边缘密度函数分别为的边缘密度函数分别为XY ),(,),()(xdyyxfxfX ),(,),()(ydxyxfyfY9、二维均匀分布和正态分布、二维均匀分布和正态分布 设设 是平面上的有界区域，其面积为是平面上的有界区域，其面积为 。若二维随机变量若二维随机变量 具有概率密度具有概率密度GS),(YX 其它其它, 0),(,1),(GyxSyxf则称则称 在在 上服从上服从二维均匀分布二维均匀分布。),(YXG2112221121121)()(exp),(xyxf)()(22222211yyx若二维随机变量若二维随机变量 具有概率密度：具有概率密度：),(YX其中其中均为常数

20、均为常数, ,且且,2121,2121则称则称 服从参数为服从参数为),(YX的的二维正态分布二维正态分布。, 0, 0211|10、随机变量的独立性、随机变量的独立性 设设 是两个随机变量，若对任意实数是两个随机变量，若对任意实数 有有YX，yx, )()(),(yYPxXPyYxXP 则称则称 与与 是是相互独立相互独立的。的。X Y 随机变量随机变量 和和 相互独立的充分必要条件相互独立的充分必要条件是：是：XY. )()(),(yFxFyxFYX)()(),(yfxfyxfYX 连续型随机变量连续型随机变量 与与 相互独立的充分必相互独立的充分必要条件是：要条件是： XY 离散离散型随

21、机变量型随机变量 与与 相互独立的充分相互独立的充分必要条件是：必要条件是：XY)()(),(jijiyYPxXPyYxXP 11、随机变量函数的分布、随机变量函数的分布则则 也是一离散型随机变量，且其分也是一离散型随机变量，且其分布列为：布列为：)(XgY 若若 是一维是一维离散型随机变量，其离散型随机变量，其分布列分布列为为X, 2 , 1,)( kpxXPkk, 2 , 1,)( kpxgYPkk 若已知若已知 ， 是严格单调函数，是严格单调函数，其反函数其反函数 有连续的导数。则有连续的导数。则 也是连续型随机变量，也是连续型随机变量， 其概率密度其概率密度为：为：)(xfX)(XgY

22、 )(xgy )(yhx )()()(yhyhfyfY （注：（注：使反函数无意义的使反函数无意义的 ，定义概率密度为定义概率密度为0）y 如果如果 的联合概率密度为的联合概率密度为 ，),(YX),(yxf则随机变量则随机变量 的概率密度为的概率密度为YX dyyyzfdxxzxfzf),(),()(特别地，当特别地，当 与与 相互独立时，相互独立时，XY dyyfyzfdxxzfxfzfYXYX)()()()()(上式称为上式称为 和和 的的卷积公式卷积公式。)(xfX)(xfX二、常见例题精解二、常见例题精解 例例1 1、填空题、填空题 1 1、设随机变量、设随机变量X X与与Y Y相互

23、独立，且它们相互独立，且它们的分布列均为：的分布列均为： ，则，则 = = 。323131pX)(YXP 2 2、设、设X XN N（ ），其中），其中 =2=2， 未未知，若已知知，若已知P P（2X42X4）=0.3=0.3，则，则P P（X X011）= = 。 2e 5 5、已知随机变量、已知随机变量 X X 的分布函数为：的分布函数为： xFxBAarctan 则则 A=A= ，B =B = , , = = ，X X的密度函数的密度函数 。 ) 1(xP 例例2 2、设随机变量、设随机变量 X X 的概率密度函数为：的概率密度函数为： 1011)(2xxxAxf试求：（试求：（1 1

24、）系数）系数 ；A（2）求 （3） 的分布函数 )21(XP)(xFX答案：答案：1 1、 ；2 2、0.20.2；3 3、 ；4 4、1-3e1-3e-2-2；5 5、 ； ； ； 9754212111211x 解：（解：（1 1），）， 所以所以 1221112AdxxA当当 时，时， , , 11x21arcsin111)(12xdxxxFx1A 31112)21(22102dxxXP（3）当当 时，时， ， 0)(xF1x当当 时，时， 。 1x1)(xF所以所以 1, 111,21arcsin11, 0)(xxxxxF 解：解： 9 . 0)3535400()(xXPxaXxaP9

25、. 01)35(2x)65. 1 (95. 0)35(x65. 135x75.57x 例例4 4、设随机变量、设随机变量X X服从区间（服从区间（2 2，5 5）上的）上的 例例3 3、某种电池的寿命服从正态分布、某种电池的寿命服从正态分布N N（ ），其中），其中 ， 求求 ，使寿命，使寿命在在 与与x2,a35,400axa 之间的概率不小于之间的概率不小于0.90.9。 xa0)(x 均匀分布，现在对均匀分布，现在对X X进行三次独立观测，试求进行三次独立观测，试求至少有两次观察值大于至少有两次观察值大于3 3的概率。的概率。 解解: :设设 表示观察值大于表示观察值大于3 3的次数的次

26、数 , ,Y32)3(XP则则 2720)32(31)32()3()2()2(333223CCYPYPYP 例例5 5、已知、已知X X 和和Y Y为同一分布的随机变量，为同一分布的随机变量，并知道并知道 且有且有 ，试求，试求412141101kPX1)0(XYP)(YXP（X X，Y Y）的联合分布列；并求）的联合分布列；并求 解：由于解：由于 0)0(, 1)0(, 1XYPXYPpij则4121414100121041001101jipfdcbapXY1fdcba根据联合分布与边缘分布列的关系，有：根据联合分布与边缘分布列的关系，有： 041414141cedba所以所以( (X X，

27、Y Y) )的联合分布列如下表的联合分布列如下表 ：4121414104101214104104104101101jippXY（1 1）求关于）求关于 和和 的边缘概率密度的边缘概率密度 ；)(),(yfxfYXXYYX（2 2）判断）判断 与与 是否相互独立；是否相互独立；满足满足 的点为的点为 它它们对应的概率全为们对应的概率全为0 0，所以，所以 YX )0 . 0(),1 , 1 (),1, 1 (),1 , 1(),1, 1(0)( YXP 例例6 6、已知、已知 的联合概率密度为：的联合概率密度为： ),(YX其它00 , 104),(2xyxxyxf)21(XP)41,21(YX

28、P（3 3）求）求 ； 。， 解：（解：（1 1）对于）对于 , 10 x3044)(2xxdyxfxX所以所以 其它, 010,4)(3xxxfX（2 2）显然）显然 ，所以，所以 与与)()(),(yfxfyxfYXXY不独立。不独立。（3 3） 16154)21(1213dxxXP对于对于 ， 所以所以 10 y)1 (24)(1yxdxyfyY其它, 010),1 (2)(yyyfY1694)41,21(241121xxdydxYXP例2的的分分布布密密度度为为设设),(YX ., 0, 0, 0,e),()(其他其他yxyxpyx(1) 求求F(x,y);1 yx1D1O xy(2)

29、 求求(X,Y)落在区域落在区域D内的概率内的概率,区域区域D如图如图所示所示. xyvuvupyxFdd),(),(解解(1) ., 0, 0, 0,dd),(00其他其他yxvuvupxy ., 0, 0, 0,dde00)(其他其他yxvuxyvu ., 0, 0, 0),e1)(e1(其他其他yxyx(2).ded1010)( xyxyx 1010dedexyxyx 1010d)e(exxyx 101d)e1(exxx2642. 0e211 1 yx1D10 xy.dd),(),( DyxyxpDYXP 101d)ee (xx备用题备用题第三章第三章 习题课习题课一、内容概要一、内容概

30、要 1、数学期望、数学期望（1 1）设离散型随机变量）设离散型随机变量 的分布列为的分布列为X, 2 , 1,)( kpxXPkk如果如果 收敛，则称级数收敛，则称级数 的的和为随机变量和为随机变量X的的数学期望数学期望，记为，记为kkkpx 1kkkpx 1 XE即即 kkkpxXE 1 （2 2）设）设 X 为连续型随机变量，概率密度为连续型随机变量，概率密度为为 ，如果积分，如果积分 绝对收敛，则称绝对收敛，则称积分积分 的值为连续型随机变量的值为连续型随机变量 X 的的数学期望数学期望，记为，记为 ，即，即 xf dxxxf dxxxf XE dxxxfxE (3)设设 是随机变量是随

31、机变量 的函数：的函数：YX)(XgY 若若 是离散型随机变量，其分布列为是离散型随机变量，其分布列为X , 2 , 1,)(kpxXPkk如果级数如果级数 收敛，则收敛，则 kkkpxg 1 kkkpxgXgEYE 1若若 是连续型随机变量，概率密度为是连续型随机变量，概率密度为X)(xf如果如果 收敛，则有收敛，则有 dxxfxg .dxxfxgXgEYE （4）二维随机变量函数的数学期望）二维随机变量函数的数学期望 如果如果 是二维随机变量，是二维随机变量， 是关于是关于X 和和Y 的二元函数，的二元函数， YX , YXgZ, 当当 是二维离散型随机变量，其联是二维离散型随机变量，其联

32、合分布列为合分布列为 YX , , 2 , 1, jipyYxXPijji则则 .,1,ijjijipyxgYXgEZE 当当 是二维连续型随机变量，其联是二维连续型随机变量，其联合概率密度为合概率密度为 ，则，则 YX , yxf, .,dxdyyxfyxgYXgEZE （5 5）数学期望的性质）数学期望的性质 如果如果 X、Y 是两个随机变量，是两个随机变量，C 为任意常为任意常数，且数，且 都存在，则数学期望有以都存在，则数学期望有以下四条常见的性质。下四条常见的性质。 YEXE, ;)(CCEi ;)(XECCXEii ;)(YEXEYXEiii 如果如果 X 与与 Y 相互独立，则相

33、互独立，则)(iv .YEXEXYE 2、方差、方差 （1 1）对随机变量）对随机变量 X ，如果，如果 存在存在 ，则称，则称 的值为随机变量的值为随机变量X 的的方差方差 ，即，即 2XEXE 2XEXE 2)(EXXEXD （2）方差的性质）方差的性质 ；）（；）（为为常常数数XDCCXDiiiXDCXDiiCCDi 2;0)( 。，即，即常数常数取取以概率以概率的充分必要条件是的充分必要条件是；相互独立，则相互独立，则与与若若1C1X0)(YX)( CXPXDvYDXDYXDiv3、协方差和相关系数、协方差和相关系数 设（设（X，Y）是二维随机变量）是二维随机变量, ,如果如果 存在存

34、在, ,则称之为则称之为 X 与与 Y 的的协方差协方差,记为记为 EYYEXXE ),cov(YX即即 .,covEYYEXXEYX .EYEXXYE 而而 YDXDYXxy ,cov 称之为称之为 X 与与Y 的的相关系数相关系数。协方差和相关系数具有以下几条性质：协方差和相关系数具有以下几条性质： .,cov,cov)(,cov,cov,cov)(; 0,cov)(2121为常数为常数，。为任常数为任常数baYXabbYaXiiiYXYXYYXiiCCXi ; 1, YXiv 1, YXv 的充分必要条件是存在的充分必要条件是存在常数常数a，b 使使 ; 1 baXYP vi当当 X、Y

35、 相互独立时，相互独立时， . 0, YX 4、常见分布的数学期望和方差、常见分布的数学期望和方差泊松分布几何分布二项分布0-1分布名 称)(XE)(XDp)1(pp np)1(pnp p/12/ )1(pp 名 称均匀分布正态分布指数分布)(XE)(XD2ba 12)(2ab 2 121 例例1 1、填空题、填空题 1 1、已知、已知则, 4 . 0),(,36)(,25)(YXYDXD)(YXD 。 2 2、 相互独立，相互独立， 则则YX, 3)(, 2)(YDXD)2(YXD ； 3 3、若、若X X 服从区间服从区间 上的均匀分布，则上的均匀分布，则 )4,4()(sin XE 。

36、二、常见例题精解二、常见例题精解 4 4、若、若 ，则，则 。 ),10(pBX)(XD5 5、某人进行投篮训练，命中率为、某人进行投篮训练，命中率为p p，一旦投中就，一旦投中就可结束训练可结束训练, ,则需要投篮次数的方差是则需要投篮次数的方差是 。 答案：答案：1 1、37;237;2、11;311;3、0;40;4、2.5;52.5;5、 。21pp 例例2 2、设随机变量、设随机变量 服从参数为服从参数为1 1的指数分的指数分布，求数学期望布，求数学期望 。 )(2XeXEX解：解： 31)(022dxeeeExxX故故 34311)()(22XXeEEXeXE 例例3 3、飞机在第

37、一次飞行后必须进行检修、飞机在第一次飞行后必须进行检修的概率是的概率是0.40.4，在以后的两次飞行中，每一次，在以后的两次飞行中，每一次飞行后其被检修的概率各增加飞行后其被检修的概率各增加0.10.1，求三次飞，求三次飞行后修理次数的数学期望。行后修理次数的数学期望。 解：解： 表示第表示第 次飞行后须进行检修次数，次飞行后须进行检修次数，iXi3 , 2 , 1i则则 ，其分布列为：，其分布列为： 不须检修须检修01iX4 . 06 . 0101pX5 . 05 . 0102pX6 . 04 . 0103pX所以所以 5 . 16 . 05 . 04 . 0)(321XXXE 例例4 4、

38、设随机变量、设随机变量 与与 独立，且均服从独立，且均服从正态分布正态分布 ，求，求 、 及及XY)21, 0(N)(YXE),(max(YXE),(min(YXE 解：因为解：因为 ，所以，所以 ) 1 , 0( NYX 221)(221dxexYXEx又又 )(21,maxYXYXYX)(21,minYXYXYX所以所以 2121),(max(YXEEYEXYXE2121),(min(YXEEYEXYXE例例5 5、若二维随机变量（、若二维随机变量（X X, , Y Y）的概率密度为）的概率密度为 其他,020, 20, )(81),(yxyxyxf求求（1） ， ； （2） )(XE)(

39、XD),(),cov(YXYX（3）问问 是否相互独立。是否相互独立。 YX 与解：（解：（1 1） 67)(81)(2020dyyxxdxXE35)(81)(202022dyyxxdxXE3611364935)()()(22XEXEXD（2 2）由（）由（1 1）同理可知：）同理可知： 3611)(,67)(YDYE34)(81)(2020dyyxxydxXYE361)()()(),cov(YEXEXYEYX111)()(),cov(),(YDXDYXYX（3 3）因为）因为 ，所以，所以 不相不相互独立。互独立。 )()()(YEXEXYEYX 与第四章第四章 习题课习题课一、内容概要一、

40、内容概要 1、切比雪夫不等式、切比雪夫不等式 设随机变量设随机变量 X 有数学期望有数学期望 和和 方差方差 则对于任意给定的正数则对于任意给定的正数 总成立不总成立不等式等式 XE XD, 0 2 XDXEXP 2、依概率收敛、依概率收敛 设设 为一个随机变量序列，为一个随机变量序列， a 是一个常数，若对于任意正数是一个常数，若对于任意正数 都有都有, 0 ,21nYYY则称随机变量序列则称随机变量序列 依概率收敛依概率收敛于于 a 。 ,21nYYY. 1limaYPnn3、大数定律、大数定律 定理定理1 （契比晓夫定理的特殊情况）设（契比晓夫定理的特殊情况）设随机变量随机变量 相互独立

41、，且具有相互独立，且具有相同的有限数学期望和方差：相同的有限数学期望和方差： 。则。则对于任意正数对于任意正数 恒有恒有 ,21nXXX , iXE , 2 , 12iXDi , 0 11lim1 niinXnP 定理定理2 （契比晓夫定理）设随机变量（契比晓夫定理）设随机变量 相互独立，且具有有限数相互独立，且具有有限数学期望和方差：学期望和方差： 。 ,21nXXX ,iiXE cXDii 2 , 2 , 1i则对于任意正数则对于任意正数 恒有恒有, 0 11lim1 niinnnYP 定理定理3 （贝努里定理）设在（贝努里定理）设在 n 次独立试次独立试验中事件验中事件 A 发生的次数为

42、发生的次数为 ，在每次试验，在每次试验中事件中事件 A 发生的概率为发生的概率为 p，则对于任意给定，则对于任意给定的正数恒有的正数恒有An1lim pnnPAn4、中心极限定理、中心极限定理 定理定理1 （同分布的中心极限定理）设随机（同分布的中心极限定理）设随机变量变量 独立同分布：独立同分布： 则随机变量则随机变量 ,21nXXX , iXE., 2 , 102 iXDi nnXYniin 1 xFn对任意对任意 x ，满足，满足的分布函数的分布函数 ).(21limlim212xdtexnnXPxFtxniinnn 若存在正数若存在正数 ，使得当，使得当 时，时， n. 01122 n

43、iiinXEB 定理定理2 （李雅普诺夫定理）设随机变量（李雅普诺夫定理）设随机变量 相互独立，且相互独立，且 ,21nXXX ,iiXE 记记,122 niinB 02 iiXD ., 2 , 1 inniniiinBXZ 11 则随机变量则随机变量 ).(.21limlim2112xdtexBXxFtxnniniiinnn 的分布函数的分布函数 对任意的对任意的 x ，满足，满足 xFn 定理定理3 （德莫佛（德莫佛拉普拉斯定理）设随机拉普拉斯定理）设随机变量变量 服从参数为服从参数为 的的二项分布，则对于任意区间二项分布，则对于任意区间 恒有恒有 , 2 , 1nYn 10, ppn b

44、a, ).(211lim22xdtebpnpnpYaPtbann 二、常见例题精解二、常见例题精解 例例1 利用车贝晓夫不等式估计随机变利用车贝晓夫不等式估计随机变量与其数学期望的差大于均方差的量与其数学期望的差大于均方差的 倍的概率。倍的概率。)0( 解：设随机变量解：设随机变量 的期望为的期望为 ，方差，方差为为 ，则由车贝晓夫不等式有：，则由车贝晓夫不等式有：X 2 2)()| )(| XDXEXP 对任意对任意 ，取，取 得得0 2221)()|(| XP例例2 设设 的概率密度为的概率密度为X0,!)( xemxxfxm试证试证1)1(20 mmmXP证：证：. 1!)!1()2(!

45、1!1!)(01)2(0 mmmmmdxexmdxemxxXExmxm1)1()3(!1)1(!)()()(220222 mmmmmdxemxxxEXEXDxm由车贝晓夫不等式，由车贝晓夫不等式，2)(1)| )(| XDXEXP 取取 ，得证。，得证。1 m 例例3 有一批建筑房屋用的柱子，其中有一批建筑房屋用的柱子，其中80%的长度不小于的长度不小于3米。现从这批柱子中随机米。现从这批柱子中随机地取出地取出100根。问其中至少有根。问其中至少有30根短于根短于3米的米的概率为多少？概率为多少？ 解：解： 设设100根柱子中短于根柱子中短于3米的根数米的根数为为 ，则，则 。所以有。所以有

46、X)2 . 0 ,100( BX.9938. 0)5 . 2()8 . 02 . 01002 . 01000()8 . 02 . 01002 . 010030()300( XP故故0062. 09938. 01)30( XP 例例4 射击不断进行，设每次射中的概率射击不断进行，设每次射中的概率为为0.1。 （1）试求）试求500次射击中，射中的次数在次射击中，射中的次数在区间区间49，55之间的概率。之间的概率。 （2）问至少要射击多少次，才能使射中）问至少要射击多少次，才能使射中的次数超过的次数超过50次的概率大于已给正数次的概率大于已给正数q。解：解：323. 0)451()455()9

47、. 01 . 05001 . 050049()9 . 01 . 05001 . 050055()5549()1( XP，得得由德莫佛拉普拉斯定理由德莫佛拉普拉斯定理（2）所需最少的射击次数是满足不等式）所需最少的射击次数是满足不等式qXP )50(的最小正整数的最小正整数 。X而而)3500(1)9 . 01 . 01 . 050(1)50()50(nnnnXPXP 故可从不等式故可从不等式qnn )3500(1中解出最小的正整数中解出最小的正整数n，即为所求。，即为所求。第五章第五章 习题课习题课一、内容概要一、内容概要1 1、总体与个体、总体与个体 我们把所研究的全部元素组成的集合我们把所

48、研究的全部元素组成的集合称为称为母体母体或或总体总体。而把组成母体的每个元。而把组成母体的每个元素称为素称为个体个体。2、样本、样本 若若n个随机变量个随机变量 相互独立，相互独立，且具有相同的概率分布且具有相同的概率分布 ，则称，则称nXXX,21)(xF 是来自总体的一个容量为是来自总体的一个容量为n的的简单随机样本简单随机样本，简称为，简称为样本样本。),(21nXXX3、统计量、统计量设设 为总体为总体X的一个样本，若的一个样本，若nXXX,21样本函数样本函数 中不包含任何未知中不包含任何未知参数，则称此函数是一个参数，则称此函数是一个统计量统计量。),(21nXXXg常见统计量有：

49、常见统计量有：niiXnX11称为称为样本均值样本均值niiXXnS12)(11的正平方根称为的正平方根称为样本标准差样本标准差2S称为称为样本方差样本方差nikikkXnM1, 2 , 1,1称为称为样本样本 k 阶原点矩阶原点矩nikikkXXnM1, 2 , 1,)(1称为称为样本样本 k 阶中心矩阶中心矩4、 分布及其性质分布及其性质2 设设 是来自正态总体是来自正态总体 的样的样本，则称统计量本，则称统计量nXXX,21)1, 0(N22212122nniiXXXX服从的分布为自由度为服从的分布为自由度为 n 的的 分布，记作：分布，记作：2)(22n 分布的概率密度函数为分布的概率

50、密度函数为)(2n0, 00,)2(21);(21222xxexnnxxnn 分布具有以下性质：分布具有以下性质：)(2n （1） 设设 ，且它们相，且它们相互独立，则互独立，则 )(, )(222221mn)(22221mn （2） 设设 则有则有 , )(22n nDnE2)(,)(22 5、 分布分布t所服从的分布是自由度为所服从的分布是自由度为n 的的t 分布，记作分布，记作:)(ntT)(, ) 1,0 (2nYNXnYXT 则称统计量则称统计量设设且且X与与Y相互独立，相互独立，6、 分布及其性质分布及其性质FnYmXF 所服从的分布为自由度是（所服从的分布为自由度是（m , n)

51、 的的F 分布，分布，),(nmFF则称则称)(, )(22nYmX设设且且X与与Y相互独立相互独立,则则。),(1mnFX 如果如果),(nmFX7 7、正态总体样本均值与样本方差的分布、正态总体样本均值与样本方差的分布（1） );,(2nNX（2） 与与 相互独立相互独立;X2S。)1()1(222nSn（3）与与方差，则方差，则),(2N),(21nXXX若若是来自正态总体是来自正态总体的的 一个样本，一个样本，X2S分别为样本均值与样本分别为样本均值与样本)1( ntnSXT （4）) 2(11)()(1221mntmnSYXT样本，且它们相互独立，则样本，且它们相互独立，则 ),(2

52、1nXXX),(21mYYY设设和和),(21N),(22N来自正态总体来自正态总体和和是分别是分别的两个的两个) 1, 1(21222221mnFSSF其中其中niiXnX112121)(11XXnSniimiiYmY112122)(11YYmSmii2) 1() 1(2221212mnSmSnS二、常见例题精解二、常见例题精解例例1 1填空题填空题 1 1设统计量设统计量 ，则，则 ； )(ntT2T2 2设设 ， 为样本，为样本， 是样是样 ),(2NX),(21nXXXX本均值。则本均值。则 服从的分布为服从的分布为 2)(XnU ； 3 3设设 ),(21nnFX1 . 0),(21

53、nnFXPXY1则则 ),(121nnFYP= = ； 4 4 ， 为样本。若要求为样本。若要求 )4 , 0( NX),(321XXX)2()(223221XXbaX则则 = = ； ),( ba),(21NX 5 5总体总体 与与 相互独立，且相互独立，且 XY),(22NY),(21nXXX与与 ),(21nYYY是两总是两总 体中抽取的独立样本。体中抽取的独立样本。 与与 是两样本方差是两样本方差21S22S则则 。 )(1(22221SSn答案答案 1. 1. ；2. 2. ；3. 3. ；4. 4. ；), 1 ( nF) 1 (2)81,41()22(2n5. 5. 1 . 0

54、例例2 2设总体设总体 , , 是简是简单随机样本单随机样本, , 为样本均值为样本均值,(1),(1)若若 , ,计计算算 ;(2);(2)若要求若要求 , , 至少至少 取多大？取多大？)4 ,(NX),(21nXXXX25n) 1 . 0(XP95. 0) 1 . 0(XPn解：（解：（1 1）因为）因为 所以所以 ) 1 , 0(52NX)25. 052() 1 . 0(XPXP1974. 015987. 021)5 . 2(2（2 2）为使）为使 95. 0) 1 . 0(XP)65. 1 (95. 0)05. 02() 1 . 0(nnXPXP95. 01)05. 0(2n)96.

55、 1 (975. 0)05. 0(n96. 105. 0n64.1536n所以所以 至少取至少取 15371537。n例例3 3设设 ， 是简单随机样本是简单随机样本, , ) 1 , 0( NX),(621XXX26542321)()(XXXXXXY试决定常数试决定常数 , ,c使使 服从服从 分布。分布。 cY2解：因为解：因为 )3 , 0()(321NXXX)3 , 0()(654NXXX所以所以 )2()3()3(226542321XXXXXX故故 。 31c例例4 4 ，抽取样本容量，抽取样本容量 的简单随的简单随机样本，机样本， 计算计算: : ),(2NX16n),(21nXX

56、X)2)(12(2122niiXnP解：因为解：因为 ，所以，所以， )()(2212nXnii当当 时，有时，有 16n)32)(8()2)(12(2122122niiniiXPXnP94. 005. 099. 0解：因为解：因为 所以所以 )9(16) 1(22Sn例例5 5设设 ， ， 为样本为样本, , )4 ,(2NX10n),(21nXXX为样本方差，即为样本方差，即 2SniiXXnS122)(11已知已知9 . 0)(2 aSPa求求 9 . 0)16916) 1()(22aSnPaSP684.14169a105.26a例例6 6 ， 且相互独立，且相互独立， ),(21NX)

57、,(22NY从从 、 两总体中分别抽取两总体中分别抽取 ，和，和 简单随机样本，样本方差分别为简单随机样本，样本方差分别为 与与 计算计算 XY101n152n21S22S)04(2221 SSP解：因为，解：因为， 所以所以 )14, 9(2221FSS01. 0990. 01)4()04(22212221SSPSSP第六章第六章 习题课习题课一、内容概要一、内容概要1、估计量与估计值、估计量与估计值 设总体设总体 的分布函数的分布函数 形式为已形式为已知，知， 是待估参数是待估参数, 是是 的一的一个样本个样本, 是相应的一个样本值是相应的一个样本值,点估计问题就是要构造一个适当的统计量点

58、估计问题就是要构造一个适当的统计量 用其观察值用其观察值 来估计未知参数。来估计未知参数。);( xF nXXX,21Xnxxx,21 ),(21nxxx X),(21nXXX 称为的称为的估计量估计量，称为的称为的估计值估计值。),(21nxxx 2、矩估计法、矩估计法 用样本的各阶原点矩作为总体的各阶原用样本的各阶原点矩作为总体的各阶原点矩的估计而求得的求知参数的估计量称为点矩的估计而求得的求知参数的估计量称为矩估计量。矩估计量。3、极大似然估计、极大似然估计 设总体设总体 具有概率密度函数具有概率密度函数 或或分布列函数分布列函数 ， 是是 维参维参数向量，样本数向量，样本 的联合密度函

59、数的联合密度函数X);( xf);( xp),(21m m),(21nXXX称为称为似然函数似然函数。 niinxfxxxLL121);();,()( 或者或者 niinxpxxxLL121);();,()( 假定在假定在 给定的条件下，存给定的条件下，存在在 维统计量维统计量 ),(21nxxxm),(,),(),(1111nmnnXXXXXX 使得似然函数使得似然函数);,(21nxxxL在在),(21nxxx取得极大值，则称取得极大值，则称 是是 的的极大似然估计量极大似然估计量。 如果似然函数关于如果似然函数关于 可微，则使似然函可微，则使似然函数达到最大的数达到最大的 一定满足下列正

60、则方程组：一定满足下列正则方程组： mixxLini, 2 , 1, 0| );,(ln1 4 4、估计量的衡量标准、估计量的衡量标准（1）无偏性）无偏性是是的一个估计量，如果的一个估计量，如果)(E成立，则称成立，则称是是的一个的一个无偏估计量无偏估计量。设设（2）有效性）有效性 设设 21,都是未知参数都是未知参数的无偏估计的无偏估计若若)()(21DD, ,则称则称估计估计量量1较较2有效有效。若若的无偏估计的无偏估计满足满足)(1)( nID 则称则称为为的的有效估计有效估计或或最小方差无偏估计最小方差无偏估计。（3）一致性）一致性设设),(21NnXXX为未知参数为未知参数的估计量，