线性代数样式第二级第三级第四级第五级 1第3章空间解析几何与向量运算

1、1第第3章章 空间解析几何与向量运算空间解析几何与向量运算 3.1 向量及其线性运算向量及其线性运算3.2 向量的乘积向量的乘积3.3 平面平面3.4 空间直线空间直线3.5 曲面与空间曲线曲面与空间曲线23.1 向量及其线性运算向量及其线性运算3.1.1 向量的概念向量的概念3.1.2 向量的加减法向量的加减法3.1.3 向量与数的乘法向量与数的乘法3.1.4 空间直角坐标系空间直角坐标系3.1.5 向量的分解与向量的坐标向量的分解与向量的坐标3.1.6 向量的投影、向量的模与方向角向量的投影、向量的模与方向角3向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量表示：向量表示：(

2、以以1M为起点，为起点，2M为终点的有向线段为终点的有向线段). 1M2M , ., , ,.a b c 或或 21MM模长为模长为1 1的向量的向量. .21MM00a零向量：零向量：模长为模长为0 0的向量的向量. .0|a21MM| |向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. .单位向量：单位向量： 3.1.1 向量的概念向量的概念或或或或或或3.1 向量及其线性运算向量及其线性运算4自由向量：自由向量：不考虑起点位置的向量不考虑起点位置的向量. .相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. .负向量：负向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量

3、. .a aba a1 加法：加法：cba abc三角形法则三角形法则3.1.2 向量的加减法向量的加减法5cba abc特殊地：若特殊地：若abc|bac 和和 同向，则同向，则bac|bac 等价的平行四边形法则等价的平行四边形法则ab若若 与与 反向，则反向，则ab6向量的加法符合下列运算规律：向量的加法符合下列运算规律：(1) 交换律：交换律：.abba (2) 结合律：结合律：cbacba )().(cba (3). 0)( aa2 减法减法)( baba abb b cbabac )(ba ba ab7, 0)1( a 与与a同同向向 , 0)2( 0 a , 0)3( a 与与a

4、反反向向 |aa aa2a21 | |,|:|babababa 三角不等式三角不等式3.1.3 向量与数的乘法向量与数的乘法8数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：(1) 结合律：结合律：)()(aa a)( (2) 分配律：分配律：aaa )(baba )(向量的加减法和数乘运算统称为向量的线性运算向量的加减法和数乘运算统称为向量的线性运算. 定义：定义：方向相同或相反的向量称为共线向量方向相同或相反的向量称为共线向量.若若 与与 共线，则记共线，则记 ；平行于同一平面的向量称为共面；平行于同一平面的向量称为共面 向量向量. /9定理定理 3.1 设向量设向量 ，则

5、向量，则向量 平行于平行于 的充要条件是的充要条件是存在唯一的实数存在唯一的实数 ,使使 .0 k k 同方向的单位向量，同方向的单位向量，表示与非零向量表示与非零向量设设aa0则有则有0|aaa .|0aaa 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量一个与原向量同方向的单位向量.10例例1. 已知平行四边形已知平行四边形ABCD的对角线的对角线AC,a BDb 试用试用 表示平行四边形四边上对应的向量表示平行四边形四边上对应的向量.ba,解解: :ABCDMabBCAD AM MD).(21ba DC AB AM MB).(

6、21ba 11例例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形四边形必是平行四边形.证证AMMC BMMD AD AM MDMC BMBC AD与与 平行且相等平行且相等,BC结论得证结论得证.ABCDMab123.1.4 空间直角坐标系空间直角坐标系.,:直直角角坐坐标标系系空空间间条条坐坐标标轴轴就就构构成成了了一一个个单单位位的的数数轴轴，这这样样的的三三同同长长度度做做三三条条相相互互垂垂直直的的有有相相过过空空间间定定点点定定义义O平面平面平面平面平面平面坐标平面坐标平面竖轴竖轴轴轴纵轴纵轴轴轴横轴横轴轴轴三条坐标轴三条坐标轴坐标原点坐

7、标原点xozyozxoyZYXO,)(),(),(.,个个卦卦限限称称为为八八成成的的八八个个部部分分三三个个坐坐标标平平面面将将空空间间分分以后所讨论的问题均在右手直角坐标系下进行以后所讨论的问题均在右手直角坐标系下进行.13xyozxoy面面yoz面面zox面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限14),(zyxM xyzoPQR),(zyxM有有序序数数组组一一一一对对应应),(zyxM记记作作：15特殊点的表示特殊点的表示:)0 , 0 , 0(O),(zyxM xyzo)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(

8、zoxC坐标轴上的点坐标轴上的点,P,Q,R坐标面上的点坐标面上的点,A,B,C16xyozxoy面面yoz面面zox面面I( , , );II( , , );III( , , )IV( , , )V( , , );VI( , , )VII( , , );VIII( , , ) 173.1.5 向量的分解与向量的坐标向量的分解与向量的坐标 1. 任取一个直角坐标系，以任取一个直角坐标系，以 分别表示沿分别表示沿 轴、轴、 轴、轴、 轴正方向的单位向量，称它们为单位坐标向量轴正方向的单位向量，称它们为单位坐标向量.kji,xz),(zyxM xyzoPQR),(,)1(zyxMOM 设设向向量量

9、任任取取一一个个起起点点在在原原点点的的 MkzjyixOROQOPMMPMOPOM y 则则18解式解式关于单位坐标向量的分关于单位坐标向量的分即：即： kzjyixOM 标标）的的坐坐标标表表示示式式（简简称称坐坐 ),(zyx结论：起点在原点的向量的坐标就是它终点的坐标结论：起点在原点的向量的坐标就是它终点的坐标则则的的向向量量终终点点在在任任取取一一个个起起点点在在,),(),()2(2122221111MMzyxMzyxM kzjyixOMkzjyixOM22221111 , 轴上的分向量。轴上的分向量。轴、轴、轴、轴、在在分别称为向量分别称为向量zyxkzjyix ,的坐标，记为：

10、的坐标，记为：称为向量称为向量 zyx,19xyzO1M2MkzzjyyixxkzjyixkzjyixOMOMMM)()()()()(1212121112221221 解式解式关于单位坐标向量的分关于单位坐标向量的分21MM的的坐坐标标表表示示式式2112121221 ),(MMzzyyxxMM .21点的坐标点的坐标标减去起标减去起的坐标等于其终点的坐的坐标等于其终点的坐结论：向量结论：向量MM202. 向量线性运算的坐标表达式向量线性运算的坐标表达式),(111zyxa ),(222zyxb ),(212121zzyyxxba ),(111zyxa ;)()()(212121kzzjyyi

11、xx .)()()(111kzjyix ),(212121zzyyxxba ;)()()(212121kzzjyyixx 21.,),(),(. 3321321共线的条件共线的条件求向量求向量设设例例 bbbaaa 即即或或,/ lk 解解:),(),(),(),(321321321321lalalabbbkbkbkbaaa 或或332211/bababa 故故22解解),(111zzyyxxAM ),(222zzyyxxMB 设设),(zyxM为直线上的点，为直线上的点，例例 4 设设),(111zyxA和和),(222zyxB为两已知为两已知点， 而在点， 而在AB直线上的点直线上的点M分

12、有向线段分有向线段AB为两为两部分部分AM、MB，使它们的值的比等于某数，使它们的值的比等于某数)1( ，即，即 MBAM，求分点的坐标，求分点的坐标. ABMxyzo23由题意知：由题意知：MBAM ),(111zzyyxx ),(222zzyyxx 1xx )(2xx 1yy )(2yy 1zz )(2zz ,121 xxx,121 yyy,121 zzzM为为有有向向线线段段AB的的定定比比分分点点.M为中点时，为中点时，,221xxx ,221yyy .221zzz 243.1.6 向量的投影、向量的模与方向角向量的投影、向量的模与方向角ab ),(.0baba 记为：记为：所夹的角所

13、夹的角与与为两个向量为两个向量称称 .夹夹角角坐坐标标轴轴、轴轴与与轴轴之之间间的的类类似似的的，可可定定义义向向量量与与),(cos|Pr babbjaba 方向的投影为方向的投影为在向量在向量称向量称向量.上上的的投投影影轴轴轴轴、轴轴、在在即即为为、的的坐坐标标由由此此知知：向向量量zyxazyxa25非零向量非零向量 与三条坐标轴的正向的夹角与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角称为方向角. .,0 ,0 .0 xyzo 1M 2M , . 记为记为21MMa .cos,cos,cos的的方方向向余余弦弦称称为为a 26由投影的定义：由投影的定义： cos|cos|21aMMx cos|c

14、os|21aMMy cos|cos|21aMMz xyzo 1M 2M PQR22221212121 | zyxRMQMPMMMa ：由上图可得模长的公式由上图可得模长的公式27距离公式：距离公式：之间的之间的和和可以得到两点可以得到两点),(),(22221111zyxMzyxM2122122122121)()()( | zzyyxxMMMMd 从而方向余弦的公式为：从而方向余弦的公式为：222coszyxx 222coszyxy 222coszyxz 281coscoscos222 方向余弦的特征方向余弦的特征0a|aa ).cos,cos,(cos 特殊地：单位向量为特殊地：单位向量为2

15、9例例 5 5 设有向量设有向量21PP，已知，已知221 PP，它与，它与x轴轴和和y轴的夹角分别为轴的夹角分别为3 和和4 ，如果，如果1P的坐标为的坐标为)3 , 0 , 1(，求，求2P的坐标的坐标. 解解设向量设向量21PP的方向角为的方向角为 、 、 ,3 ,4 , 1coscoscos222 .21cos ,21cos ,22cos 30设设2P的坐标为的坐标为),(zyx,1cos x 21PP21 x21 , 2 x0cos y 21PP20 y22 , 2 y3cos z 21PP23 z, 2, 4 zz2P的坐标为的坐标为).2 , 2, 2(),4 , 2, 2(21 31.)0 , 3 , 1()