常微分方程 第一章绪论

1、要求的内容要求的内容:第一章至第五章第一章至第五章, 其中带其中带 * 号号内容除外内容除外.第六章第六章 部分内容部分内容.第七章第七章 不要求不要求. 17世纪下半叶世纪下半叶, Newton 和和 Leibniz 创立了创立了微积分微积分, 微分方程也随之产生了微分方程也随之产生了. 微分方程微分方程: 联系着自变量联系着自变量, 未知函数及未知未知函数及未知函数的导数的方程函数的导数的方程. 17世纪末开始世纪末开始, 关于摆的运动关于摆的运动, 弹性理论弹性理论,天天体力学等实际问题的研究引出了一系列常体力学等实际问题的研究引出了一系列常微分方程微分方程.常微分方程的求解问题常微分方

2、程的求解问题: : 对一阶常微分方程对一阶常微分方程,Leibniz,Leibniz在在16911691年使用分离变年使用分离变量法量法,Bernoulli,Bernoulli兄弟推进了分离变量法与变量代换兄弟推进了分离变量法与变量代换法法(1734-1735), Euler (1734-1735), Euler 在在1734-17351734-1735年及年及Clairaut Clairaut 在在1739-17401739-1740年间分别提出积分因子法年间分别提出积分因子法, 因此因此, 在在17401740年左右年左右, ,一阶常微分方程的一阶常微分方程的初等解法基本建立起来了初等解法

3、基本建立起来了.(.(第二章第二章) ) 对高阶常微分方程对高阶常微分方程, ,常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程 (Euler,1743), (Euler,1743), 变系数非齐次微分方程变系数非齐次微分方程 ( (常数变易常数变易法法, Lagrange, 1774-1775).(, Lagrange, 1774-1775).(第四章第四章, ,第五章第五章) ) 微分方程理论的基础微分方程理论的基础: : 解的存在性与唯一性解的存在性与唯一性 (Cauchy, 19(Cauchy, 19世纪初世纪初). (). (第三章第三章) ) 1841, Liouville 1841,

4、 Liouville 证明证明Riccati Riccati 方程方程: :不存在初等解不存在初等解. 于是人们把重点放在研究解的性质上于是人们把重点放在研究解的性质上, 后来后来产生了产生了常微分方程定性理论与稳定性理论常微分方程定性理论与稳定性理论( (动动力系统）力系统）(Poincar, Liapunov, 19(Poincar, Liapunov, 19世纪世纪末末).().(第六章第六章) ) 20 20 世纪开始世纪开始, ,拓扑动力系统拓扑动力系统, ,微分微分动力系统动力系统, 泛函微分方程泛函微分方程, ,随机随机微分方程微分方程, 分支与混沌分支与混沌, ,控控制论等制论

5、等. .)()()(2xRyxQyxPdxdy 参考文献参考文献1. 丁同仁，李承治丁同仁，李承治, 常微分方程教程常微分方程教程(第二版第二版), 高等教育出版社高等教育出版社, 2004.2. 东北师范大学微分方程教研室东北师范大学微分方程教研室, 常微分方程常微分方程 , 高等教育出版社高等教育出版社, 2001.3. 王柔怀，伍卓群王柔怀，伍卓群, 常微分方程讲义常微分方程讲义, 人民教育人民教育 出版社出版社, 1963.4. 叶彦谦叶彦谦, 常微分方程讲义常微分方程讲义, 人民教育出版社人民教育出版社, 1979.5. 朱思铭，常微分方程学习辅导与习题解答，朱思铭，常微分方程学习辅

6、导与习题解答， 高等教育出版社，高等教育出版社，2009.6. V.I.Arnold (6. V.I.Arnold (阿诺德阿诺德),),常微分方程常微分方程, ,沈家骐、周沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译宝熙、卢亭鹤译, , 科学出版社，科学出版社，1985.1985.7. J.K.Hale, Ordinary Differential Equations, 7. J.K.Hale, Ordinary Differential Equations, New York,1969.New York,1969. 已学过的数学分析已学过的数学分析, ,高等代数高等代数, ,解析几何为解析几何为本课程学习打下

7、坚实的基础本课程学习打下坚实的基础. . 特别要特别要掌握好掌握好: : 不定积分的计算方法不定积分的计算方法 ( (包包括基本积分公式括基本积分公式, , 换元积分法换元积分法, , 分部积分法等分部积分法等.).) 行列式行列式, , 矩阵的特征值矩阵的特征值, ,特征向量特征向量, ,不变子不变子空间空间,Jordan ,Jordan 标准形标准形. .（第五、六章）（第五、六章）常微分方程模型常微分方程模型:例例1. 电子电路模型电子电路模型: R-L-C电路电路: 如图所示的如图所示的R-L-C电路电路. 它包含电感它包含电感 L, 电阻电阻R, 电容电容C及电源及电源 e(t).

8、设设 L,R,C 均为常数均为常数, e(t) 是时间是时间 t 的已的已知函数知函数. 试求当开关试求当开关 K 合上后合上后,电路中电流强度电路中电流强度 I 与时与时间间 t 之间的关系之间的关系. 解解: 由由Kirchhoff 第二定律第二定律: 在闭合回路中在闭合回路中, 所有支路所有支路上的电压的代数和为零上的电压的代数和为零. 设当开关设当开关 K 合上后合上后, 电路中在时刻电路中在时刻 t 的电流强度的电流强度为为I(t), 则电流则电流 经过电感经过电感 L , 电阻电阻 R和电容的电压分别和电容的电压分别为为 其中其中Q为电量为电量,于是由于是由Kirchhoff第二定

9、律第二定律, 得到得到 ,CQRIdtdIL. 0)(CQRIdtdILte因为因为 上方程两边对上方程两边对 t 求导求导, 得到得到,dtdQI (1.1) .)(122dttdeLLCIdtdILRdtId这就是电流强度这就是电流强度 I 与时间与时间 t 所满足的数学关系式所满足的数学关系式. 若无电容若无电容 C, 满足的方程为满足的方程为(1.2) . 0)(RIdtdILte称为方程称为方程 (1.2) 的初值条件的初值条件(或初始条件或初始条件).当开关当开关 S 刚合上即刚合上即 t=0 时有时有 I=0, 于是于是, 0)0(I切向分力切向分力 sin:1mgF 切切向向分

10、分力力vF 2:阻阻力力例例2. (2. (数学摆数学摆) ) 一个质量为一个质量为 的小球的小球, , 系系在线的一端在线的一端, , 线的另一端系在墙上线的另一端系在墙上, , 线的长线的长度为度为 . . 将小球拉开一个小角度将小球拉开一个小角度, , 松手使小松手使小球摆动球摆动, , 求小球的运动规律求小球的运动规律. .ml 重力重力解解设小球的线速度为设小球的线速度为( ).v tv根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律,得到得到 sinmgvdtdvm tddltv )(注意到注意到从而有从而有0sin22 lgdtdmdtd022 lgdtdmdtd,)(00 tt.00tdtd(

11、初值条件初值条件)1当当 时时,.sin上方程近似为上方程近似为较小且无阻力时较小且无阻力时, 方程为方程为022lgdtd由此可求出摆的周期为由此可求出摆的周期为gl2例例3. 3. 人口模型人口模型: : 英国神父英国神父MalthusMalthus在在17981798年出版的著作中提出了年出版的著作中提出了人口按几何级数增长的理论人口按几何级数增长的理论. . Malthus Malthus假定：在任何时刻假定：在任何时刻t t，人口的增长率始终，人口的增长率始终与该时刻的人口数与该时刻的人口数N N( (t t) )成正比，记比例常数为成正比，记比例常数为 于是得所谓于是得所谓Malt

12、husMalthus人口模型人口模型 这是一个简单的常微分方程，假定其初始条件为这是一个简单的常微分方程，假定其初始条件为 rNdtdN=,=)(00NtN),0( rr可求得其解为可求得其解为 上式表明上式表明: :人口按几何级数增长人口按几何级数增长. .18381838年年, ,VerhulstVerhulst 对对 Malthus Malthus 模型的改进模型的改进 ( (密密度制约度制约):): )(00)(ttreNtN,)1 ()1 (1NNNrdtdNNNrdtdNNmm称为称为Logistic 模型模型.例例4 传染病模型传染病模型 Kermack和和McKendrick的

13、的SIR模型模型 (1926): 针对某些传染病将该地区的人群分成以下三针对某些传染病将该地区的人群分成以下三类类: 易感者易感者(susceptibles)类类 : 其数量记为其数量记为S(t) , 表示表示 t 时刻未染病但有可能被该类疾病传染的时刻未染病但有可能被该类疾病传染的人数人数. 染病者染病者(infectives)类类 : 其数量记为其数量记为I(t) ,表示表示 t 时刻已被感染成病人而且具有传染力的人数时刻已被感染成病人而且具有传染力的人数. 移出者移出者(removed)类类 : 其数量记为其数量记为R(t) ,表示表示 t 时刻已从染病者类移出且终身免疫的人数时刻已从染

14、病者类移出且终身免疫的人数. 1. 假定此地区的总人口始终保持为一个常数假定此地区的总人口始终保持为一个常数,即即 S(t)+I(t)+R(t)=N . 2. 假设假设 t 时刻单位时间内时刻单位时间内,一个病人能传染的易一个病人能传染的易感者数目与此环境内易感者总数感者数目与此环境内易感者总数 S(t) 成正比成正比,比例比例系数为系数为 k, 从而在从而在 t 时刻单位时间内被所有病人传时刻单位时间内被所有病人传染的人数为染的人数为 kS(t)I(t). 3. t 时刻单位时间内从染病者类移出的人数与时刻单位时间内从染病者类移出的人数与病人数量成正比病人数量成正比,比例系数为比例系数为 r

15、, 从而单位时间内移从而单位时间内移出者的数量为出者的数量为 rI(t). 得到以下模型得到以下模型:, ,rIkSIdtdIkSIdtdSrIdtdRrIkSIdtdIkSIdtdS或称为称为SIR模型模型. 1932年年, Kermack和和Mckendrick针对康复针对康复者不具有免疫力者不具有免疫力, 提出了提出了SIS模型模型或rIkSIdtdIrIkSIdtdS),()(krINkIrIIINkdtdI称称 : 平均传染期平均传染期, : 接触数接触数r1rk例例5. 两种群间相互作用的模型两种群间相互作用的模型 20世纪世纪20年代，意大利生物学家年代，意大利生物学家U.DAn

16、cona 捕鱼量减少捕鱼量减少捕食鱼比例捕食鱼比例剧增剧增意大利数学家意大利数学家V.Volterra. V.Volterra把鱼类分为把鱼类分为2大类：捕食鱼和食用大类：捕食鱼和食用鱼鱼. 前者是捕食种群，后者是被捕食种群前者是捕食种群，后者是被捕食种群(食饵食饵种群种群). 为了建立数学模型，他用为了建立数学模型，他用 y(t) 表示表示 t 时时刻捕食鱼的数量，刻捕食鱼的数量，x(t) 表示表示 t 时刻食用鱼的数时刻食用鱼的数量量. 假定：若不存在捕食者假定：若不存在捕食者 时，食饵种群规模时，食饵种群规模 的的增长率符合增长率符合Malthus方程，即方程，即 当捕食者当捕食者 y(

17、t) 存在时，单位时间内每个捕食者存在时，单位时间内每个捕食者对食饵的吞食量与食饵种群规模对食饵的吞食量与食饵种群规模 x(t) 成正比，成正比，比例常数为比例常数为b . 从而从而 再假定捕食者吞食食饵以后，立即转化为能量再假定捕食者吞食食饵以后，立即转化为能量，供给捕食种群的繁殖生长，供给捕食种群的繁殖生长. 设转化系数为设转化系数为 e，捕食种群的死亡率与种群规模捕食种群的死亡率与种群规模 成正比，比例系成正比，比例系数为数为d . 于是有于是有)(=taxdtdx)()()(tytbxtaxdtdx)(d)()(tytytebxdtdy这样，这样，V.VolterraV.Volterr

18、a便得到由捕食者与食饵所构成的便得到由捕食者与食饵所构成的两种群相互作用的数学模型两种群相互作用的数学模型.),(),(ebccxdydtdybyaxdtdx可推广为可推广为: ),(),(fyexdydtdycybxaxdtdxa,b,c,d,e,f 为常数为常数. 可分为捕可分为捕-食食, 竞争竞争, 共共生生(互惠互惠)等类型等类型. 统称为统称为 Volterra 模型模型.例例6. Lorenz 方程方程 20世纪世纪60年代年代, 美气象学家美气象学家 Lorenz 在研究在研究大气对流现象时大气对流现象时, 得到如下方程得到如下方程 :28.c 8/3,b 10,a 其中 , )

19、(bzxydtdzycxxzdtdyxyadtdx由于解对初值的异常敏感出现由于解对初值的异常敏感出现“混沌混沌”现现象象. (第一例第一例) 1.2 基本概念基本概念 一、一、常微分方程与偏微分方程常微分方程与偏微分方程 二、二、微分方程的阶微分方程的阶 三、三、线性与非线性微分方程线性与非线性微分方程 四、四、微分方程的解微分方程的解 五五、 积分曲线和方向场积分曲线和方向场六、六、微分方程组与动力系统微分方程组与动力系统七、七、相空间相空间, 奇点和轨线奇点和轨线一、常微分方程与偏微分方程一、常微分方程与偏微分方程 定义定义: : 把联系自变量、未知函数及未知函数导数（或把联系自变量、未

20、知函数及未知函数导数（或微分）的微分）的 关系式称为微分方程关系式称为微分方程. ;)()( )3();( )2(; ) 1 (22byaxdxcydxdyxfcydxdybdxydcaydxdy; 0 (4) ydxxdy例例1：下列关系式都是微分方程下列关系式都是微分方程; )7(zyzxz. 0 )8(2222uzyxyuxu; sin35 )6(2244txdtxddtxd; 0 )5(322xdtdxtxdtxd注注1：一个关系式要成为微分方程，要求该关系式中必一个关系式要成为微分方程，要求该关系式中必须含有未知函数的导数或微分，但其中的自变量或未知须含有未知函数的导数或微分，但其中

21、的自变量或未知函数可以不显含函数可以不显含. 如果一个关系式中不显含未知函数的如果一个关系式中不显含未知函数的导数或微分，则这样的关系式就不能成为微分方程导数或微分，则这样的关系式就不能成为微分方程.注注2：如果在一个微分方程中，自变量的个数如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个只有一个，则这样的微分方程称为则这样的微分方程称为常微分方程常微分方程，如上面例，如上面例1中中 ;2 ) 1 (xdxdy; 0 (2) ydxxdy; 0 )3(322xdtdxtxdtxd;sin35 )4(2244txdtxddtxd就是常微分方程就是常微分方程； 如果自变量的个数为两个或两个以上的微分方程

22、称如果自变量的个数为两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程，如上面例为偏微分方程，如上面例1中中 ; 2 )5(zyzxz就是偏微分方程就是偏微分方程. 本课程主要研究常微分方程本课程主要研究常微分方程. 同时把常微分方同时把常微分方程简称为微分方程或方程程简称为微分方程或方程. 8 (6) 222222tuzuyuxu二、微分方程的阶二、微分方程的阶 定义：微分方程中出现的未知函数的最高阶导定义：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方程的阶数数或微分的阶数称为微分方程的阶数. . 在上面例在上面例1中，中， 2 ) 1 (xdxdy 是一阶微分方程；是一阶微分方程； 0

23、(2) ydxxdy 是一阶微分方程；是一阶微分方程； 是二阶微分方程；是二阶微分方程； 0 )3(322xdtdxtxdtxd 是四阶微分方是四阶微分方程程. sin35 )4(2244txdtxddtxd一般的一般的 n 阶常微分方程可以写成阶常微分方程可以写成, 0=),(nndxyddxdyyxF),(nndxyddxdyyxF这里这里是是nndxyddxdyyx,的已知函数的已知函数, 而且一定含有项而且一定含有项.nndxyd进一步进一步, 如果能从如果能从0),(nndxyddxdyyxF中解出中解出),( ,11nnnnnndxyddxdyyxfdxyddxyd分方程从而得到下

24、列形式的微三三 线性与非线性微分方程线性与非线性微分方程如果如果n阶微分方程阶微分方程nnnndxyddxdyydxyddxdyyxF, 0=),(的左端是的一次有理整式的一次有理整式, 则称它为则称它为n 阶线性微分方阶线性微分方程程, 否则称它为否则称它为n 阶非线性微分方程阶非线性微分方程.n 阶线性微分方程的一般形式为阶线性微分方程的一般形式为),()()()(1111xfyxadxdyxadxydxadxydnnnnnn其中其中)(),(,),(1xfxaxan 是已知函数是已知函数.四四. 微分方程的解微分方程的解:如果如果)(xy满足微分方程满足微分方程, 称其为微分方程的解称其

25、为微分方程的解.如果如果0),(yx确定的隐函数满足微分方程确定的隐函数满足微分方程, 称其为微分称其为微分方程的隐式解方程的隐式解.将含有将含有n个个独立常数独立常数 的解的解),(21ncccxy12,nc cc称为称为n阶微分方程的阶微分方程的通解通解.注注: 1. 微分方程的通解并不表示包含了微分方微分方程的通解并不表示包含了微分方程的所有解程的所有解. 隐式通解也称通解隐式通解也称通解.定解条件定解条件: 初值条件或边值条件初值条件或边值条件(附录附录I)初值条件初值条件: .)(,)(,)()1(00)1()1(0000nnyxyyxyyxy 2. 独立性指独立性指Jacobi 行

26、列式不为行列式不为0，即，即(1)12( , ,)0.( ,)nnc cc 初值问题初值问题: .)(,)(,)(, 0),()1(00)1()1(0000nnnnyxyyxyyxydxyddxdyyxF的解称为的解称为特解特解. 特解常可由通解中确定任意常数特解常可由通解中确定任意常数得到得到.22212 0,(0, ) sincos,dya yadtycatcat如表示有通解).0, 3 ( .3)0(, 0)0( , 0 sin3 212ccayyyayaty其中的特解为初值问题而 五五 积分曲线和方向场积分曲线和方向场:一阶微分方程一阶微分方程: :Oxyyxfdxdy ),(在平面上的平面上的的解曲线称为它的的解曲线称为它的积分曲线积分曲线.通解通解),(cxy 为一族积分曲线为一族积分曲线.特解特解),(0cxy 为一条积分曲线为一条积分曲线.方向场或向量场方向场或向量场:kyxf),(称为等倾斜线称为等倾斜线.( , ) ( , )dyf x yx yDdx，过过 (x,y) 点作小线段，以点作小线段，以 f(x,y)为斜为斜率方向率方向, 构成方向场或向量场构成方向场或向量场.如如:22,dyxydx等倾斜线等倾斜线:22, xyk对对n阶常微分方程阶常微分方程:),()1()(nnzzztgz令令可得 ,)1(21nnzyzyzy),(