相似三角形同步练习新人教版

1、27.2 相似三角形专题一相似形中的开放题1. 如图，在正方形网2. 格中，点A、B、C D都是格点，点E是线段AC上任意一点.如果AD=1,那么当AE=时，以点A D E为 顶点的三角形与 ABC!似.1. 已知：如图， ABC+,点D E分别在边AB AC上.连接 DE弁延长交BC的延长线于点F,连接DC、BE, ZBDEZBC180° .(1)写出图中三对相似三角形(注意：不得添加字母和线)(2)请你在所找出的相似三角形中选取一对，说明它们相似的理由.专题二相似形中的实际应用题3 .如图，已知零件的外径为 a,要求它的厚度x,需先求出内孔一个交叉卡钳（两条的直径AR现用尺长A3

2、口 BD相OAO（=OBO摩n,专题三 相似形中的探究规律题4 .某班在布置新年联欢晚会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图在ABB, / C= 90° , AC=30 cm, AB= 50 cm,依次裁下宽为1 cm的矩形纸条a1、出、 a2若使裁得的矩形纸条的长都不小于5 cm,则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数是 （）A. 24B . 25 C . 26 D . 275 .如图，在 RtAABC, / C=90° , AC=4, BC=3.(1)如图，四边形DEF创 ABC的内接正方形，求正方形 的边长；(2)如图，正方形 DKHG EKH

3、F1成的矩形内接于 ABC 求正方形的边长；(3)如图，三个正方形组成的矩形内接于ABC求正方形的边长；(4)如图，n个正方形组成的矩形内接于 .ABC求正方 形的边长.专题四 相似形中的阅读理解题6一某校研究性学习小组在研究相似图形时，发现相似三角形的 定义、判定及其性质，可以拓展到扇形的相似中去，例如，可 以定义：圆心角相等且半径和弧长对应成比例的两个扇形叫相 似扇形；相似扇形有性质：弧长比等于半径比，面积比等于半 径比的平方，请你协助他们探索下列问题：(1)写出判定扇形相似的一种方法： 若则两个扇形相似；(2)有两个圆心角相同的扇形，其中一个半径为a,弧长为m另一个半径为2a,则它的弧长

4、为；如图1,是一完全打开的纸扇，外侧两竹条AB和AC的夹角 为120° , AB为30cm,现要做一个和它形状相同， 面积是它的 一半的纸扇（如图2）,求新做纸扇（扇形）的圆心角和半径.图1图2专题五 相似形中的操作题7宽与长的比是十的矩形叫黄金矩形，心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感.现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：第一步：作一个正方形 ABCD第二步：分别取 AD BC的中点M N,连接MN第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E;第四步：过E作EF, AD交AD的延长线于F.请你根据以上作法，证明矩

5、形 DCE防黄金矩形.8 .如图，将菱形纸片 AB (E) CD(F)沿对角线BD (EF)剪开,得至UAB)口ECF固迳' ABD弁把 ABD4ECF叠放在起.(1)操作：如图，将 ECF的顶点F固定在 ABD勺BD边 上的中点处，4EC疏点 F在BD边上方左右旋转，设旋转 时FC交BA于点H (H点不与B点重合)，FE交DA于点G (G 点不与D点重合).求证：BH?GD=BF(2)操作：如图，4ECF的顶点F在AABD勺BM上滑动(F 点不与B、D点重合)，且CF始终经过点A,过点A作AG/ CE交FE于点G连接DG探究：FDbDG DEB请给予证明.专题六 相似形中的综合题9

6、.正方形ABCD勺边长为4, M N分别是BC CD上的两个动点, 且始终保持 AML MN当B阴时，四边形ABCN勺面积最大.10 .如图，在锐角 AB计，AC是最短边，以AC的中点。为圆心，1AC长为半径作o O,交BC于E,过。作OD/ BC交OO 2于D,连接AE AD DC（1）求证：D是AE的中点；（2）求证：/ DAO=/ B +/ BAD（3）若_S叵工，且AC=4,求CF的长.S OCD 2【知识要点】1 .平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得对 应线段成比例.2 .平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等.3 .平行于三角形一

7、边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.4 .如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形 相似.5 .如果两个三角形的两组对应边的比相等，弁且相应的夹角相 等，那么这两个三角形相似.6 .如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等， 那么这两个三角形相似.7 .相似三角形周长的比等于相似比.相似多边形周长的比等于相 似比.8 .相似三角形对应高的比等于相似比.9 .相似三角形面积的比等于相似比的平方.相似多边形面积的 比等于相似比的平方.【温馨提示】1 .平行线分线段成比例时，一定找准对应线段 .2 .当已知两个三角形有一组对应角相等，利用夹这个角的两边对应成

8、比例来判定它们相似时，比例式常有两种情况，考虑 不全面是遗漏解的主要原因.3 .数学猜想需要严密的推理论证说明其正确性，规律的发现与 提出需要从特殊到一般的数学归纳思想，平时要养成观察、 分析问题的习惯.【方法技巧】1 .相似三角形对应角平分线的比等于相似比；相似三角形对应 中线的比等于相似比.2 .在平面几何中，求图形中等积式或等比式时，一般地首先通 过观察找出图形中相似的三角形，再从理论上证明观察结论 的正确性，最后运用相似形的性质来解决问题.参考答案1 . 2/或巨4【解析】根据题意得 At=1, AB=3, AGh=6石,./A=/A, .若 AAD&AABCBt, AD 幽，

9、即1 组，AB AC 36.2解得AE=2 2 .ADfEACB寸，殁始即场解得ae卫.AC AB 6,23 '4当AE=2j2或这时，以点A、D E为顶点的三角形与 ABC 4相似.2,解：（1） AADEAACB CEDDBF EFBACFD（不 唯一）.（2）由/BDE廿 BCE1800 ,可得/ADEh BCE /A=/ A,，MDm AACB他=". -/a=/A, AC ABAEB A ADC丁/BDE+ BC=180 °,/BCE廿 EC=180° ,/ECF= BDF又/F=/F,.CEDDBF：EF=正，而/F=/F,EFBCFDBF D

10、F3,解：. OAOC= OBOD= n 且/AO 品 /COD,.AO 耿 A COD: OA:OC= AB:CD= n ,aAB anb又. CD= b, .AB=CDn =nb, .» = 2 = .4. C【解析】设裁成的矩形纸条的总数为n,且每条纸条的长度都不小于5cm, bc Jab2 ac2 40（cm）.设矩形纸条的长边分别与AC AB交于点M N,因为 AMWAACEB 所以也 MN,又因为 AM=AC-1 n=30-n , MN AC BC'>5 cm,所以30之，得nW 26.25,所以n最多取整数26. 30405.解：（1）在题图中过点 C作C

11、NL AB于点N,交GF于点M.因为/ 0=90° , AC=4, BG=3,所以 AB=5.因为X5CN=1X 223X4,所以 CN=2. 5因为 GF/Z 所以/CGFN A, /CFGNB,所以CGD A CAB所以CM W .CN AB12 x设正万形的边长为X,则二：，解得x 60,所以正方形的 125375边长为60. 37 12 X（2）同（1）,有三解得x臾.125，49512x同（1 ）,有牙 £，解得x学512（4）同（1）,有/ 解得x125 725 12n56 .解：（1）答案不唯一，如“圆心角相等”“半径和弧长对应成 比例”（2）由相似扇形的性质

12、知半径和弧长对应成比例，设另一个扇形的弧长为x,则亘=m,x=2m.2a x（3）二,两个扇形相似，.,新做扇形的圆心角与原来扇形的圆心角相等，等于120° .设新做扇形的半径为，则-2=-, =1572,即新做扇形的302半径为15立cm.7 .证明：在正方形 ABCDK 取AB=2a, 丁 N为BC的中点,1NC -BC a.2在 RtDNg, NDNC2 CD2 0(2a)2 通a.NE=NDCE NE CN ( 5 1)a .CE ( 5 1)aCD 2a1,故矩形DCE两黄金矩形.8 .解：(1)证明：二将菱形纸片 AB (E) CD (F)沿对角线 BD(EF)剪开，ZB

13、=ZD.将ECF勺顶点F固定在AABM BM上的中点处，4ECF绕点F在BM上方左右旋转，BF=DF: /HFG/B , . /GFB/BHF, . ABFHADGF, BF BH DG DF '.BH?GDBF.(2)证明： AGI CEE, /FAG/ /C. .一/CFEh CEF 二/AGFhCFE AF=AG: / BADh C, . / BAF玄 DAG AABF AADG . . FB=DG 二 FD+DG=DB9 . 210 .解：(1)证明：.AC是OO的直径，. AE!BC. .OD/ BC .AEJ_OD.D是廓的中点.(2)方法一：证明：如图，延长 。位AB于G则OG/ BC. /AGD=B. OA=OD,./DAONADO = /ADO=BA