工程测量第五章(测量误差的基本知识)

1、第第5章章 测量误差的基本知识测量误差的基本知识真误差真误差=观测值观测值真值真值（理论值理论值）粗差是错误，不是误差。粗差是错误，不是误差。5.1 测量误差产生的来源及其分类测量误差产生的来源及其分类5.1.1 测量误差的来源测量误差的来源导致观测值产生误差的原因，主要有三方面：导致观测值产生误差的原因，主要有三方面：测量仪器测量仪器 因测量仪器制造或校正不够完善，给观测因测量仪器制造或校正不够完善，给观测值带来误差。值带来误差。观测者观测者 受制于观测者的视力、操作技能等，给观受制于观测者的视力、操作技能等，给观测值带来误差。测值带来误差。施测环境施测环境 受外界环境的影响，观测值带有误差

2、。受外界环境的影响，观测值带有误差。 测量仪器、观测者、施测环境三方面综合起来称为测量仪器、观测者、施测环境三方面综合起来称为观测条件观测条件，在相同观测条件下进行的各次观测称为等精，在相同观测条件下进行的各次观测称为等精度观测，观测条件不同的各次观测称为不等精度观测。度观测，观测条件不同的各次观测称为不等精度观测。 5.1.2.1 系统误差系统误差在相同的观测条件下，误差保持在相同的观测条件下，误差保持同一数值同一数值、同一符号同一符号，或，或者者遵循一定的变化规律遵循一定的变化规律的误差，称为系统误差。的误差，称为系统误差。比如：比如：水准尺端部磨损；水准尺端部磨损；水准尺倾斜；水准尺倾斜

3、；水准尺弯曲；水准尺弯曲；水准尺的沉降水准尺的沉降;目标倾斜目标倾斜特性：累计！特性：累计！5.1.2 测量误差的分类测量误差的分类根据误差对观测值影响的不同，可将误差分为根据误差对观测值影响的不同，可将误差分为系统误差系统误差和和偶然误差偶然误差两大类。两大类。5.1.2.2 偶然误差偶然误差相同观测条件下，对某对象作系列观测，单次观测的误差相同观测条件下，对某对象作系列观测，单次观测的误差大小大小和和符号符号无规律，这种误差称为偶然误差。若只含有偶无规律，这种误差称为偶然误差。若只含有偶然误差，若增加然误差，若增加观测次数多观测次数多，误差呈现出，误差呈现出统计学统计学的规律。的规律。n某

4、一测区在相同条件下观测了某一测区在相同条件下观测了217217个三角形的全部内角，将真误差取误差区个三角形的全部内角，将真误差取误差区间为间为33，并按绝对值大小进行排列，分别统计在各区间的正负误差出现的，并按绝对值大小进行排列，分别统计在各区间的正负误差出现的频率频率k k217217，结果列于下表，结果列于下表 ：以表中的数据，绘制误差直方图。使横轴代表误差值，以表中的数据，绘制误差直方图。使横轴代表误差值，纵轴代表频率，图中直方图的纵轴代表频率，图中直方图的面积总和为面积总和为1，此直方图可，此直方图可以形象描述偶然误差的规律性。当观测条件足够多时，直以形象描述偶然误差的规律性。当观测条

5、件足够多时，直方图中各矩形顶部就可以形成一条对称、光滑的曲线。方图中各矩形顶部就可以形成一条对称、光滑的曲线。偶然误差的规律性：偶然误差的规律性：1、有界性有界性：偶然误差的绝对：偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；值不会超过一定的限值；2、大小性大小性：绝对值小的比绝：绝对值小的比绝对值大的出现的可能性大；对值大的出现的可能性大；3、对称性对称性：误差出现正负的：误差出现正负的可能性相同；可能性相同；4）抵偿性抵偿性：偶然误差的算术：偶然误差的算术平均值随观测次数增加而趋平均值随观测次数增加而趋于零；于零；5.2 衡量精度的标准衡量精度的标准5.2.1 中误差中误差nnmn22221观测值的

6、中误差。即用观测值的改正数求又由：所有式子相加，整理得等式平方得：整理得：令对应式子相加得：改正数为，真误差为相应的平均值为的一系列观测值设真值为11)(2122)(102222:,2223121222312122221222321222222222222221221212211221122112211nVVnmVVnnnnVVnnnnnnnnnXlXnlXLnVVnVnVnVVnVVVVVVVVVXLXLVXLVXLVlLVlLVlLVXlXlXlVLlXnnnnnnnnnnnniii例：例：n某水平角用经纬仪进行某水平角用经纬仪进行6 6次等精度丈量，其结果如下表，次等精度丈量，其结果如下

7、表，试计算该角度观测值中误差。试计算该角度观测值中误差。n解：部分计算如表中所示，观测值中误差为（白赛尔公解：部分计算如表中所示，观测值中误差为（白赛尔公式）：式）：序号序号观测值观测值l lv vvvvv1 1252523202320-2-24 42 2252523172317+1+11 13 32525231823180 00 04 4252523202320-2-24 45 5252523162316+2+24 46 6252523172317+1+11 1= 25= 2523182318v=0v=0vv=14vv=147 . 116141mnvv5.2.2 允许误差允许误差mf）（允3

8、2偶然误差的有界性特性说明其绝对值不会超过一定的限值。偶然误差的有界性特性说明其绝对值不会超过一定的限值。偶然误差的分布规律实质为服从偶然误差的分布规律实质为服从数学期望数学期望为零的正态分布，为零的正态分布，根据正态分布的概率计算可知真误差大于中误差出现的可根据正态分布的概率计算可知真误差大于中误差出现的可能性约为能性约为32%，大于两倍中误差的可能性约为，大于两倍中误差的可能性约为5%，大于，大于三倍中误差的可能性为三倍中误差的可能性为3。实际测量工作中常取。实际测量工作中常取23倍倍中误差作为误差的限值，即：中误差作为误差的限值，即：在测量规范中，依据控制网等级、采用的测量仪器，对观在测

9、量规范中，依据控制网等级、采用的测量仪器，对观测值规定了相应的限差，其依据就是测值规定了相应的限差，其依据就是允许误差允许误差。当测量值。当测量值超限，要进行检查，甚至于重测。超限，要进行检查，甚至于重测。5.2.3 相对误差相对误差)/(1mDDmk相对误差相对误差不能用于不能用于衡量角度测量的精度。衡量角度测量的精度。5.3 误差传播定律误差传播定律 有些未知量是由一些直接观测值通过函数运算而得。有些未知量是由一些直接观测值通过函数运算而得。由于观测值存在误差，由其计算的结果自然也就存在误由于观测值存在误差，由其计算的结果自然也就存在误差。描述这种函数的中误差与观测值的中误差的关系的差。描

10、述这种函数的中误差与观测值的中误差的关系的定律称为定律称为误差传播定律误差传播定律。5.3.1 线性函数的中误差线性函数的中误差5.3.1.1 倍函数的中误差倍函数的中误差xyxyxxxyyyxxyyxxyyxnynxyxyxnynxyxyxyxykmmmkmnmnmnknknkkkkkkkxkykxy222222222222222212212211；由中误差的定义可得：个式子相加得得则可得）（则设倍函数5.3.1.2 观测值的和、差函数的中误差观测值的和、差函数的中误差222222222y2211, 2, 1212121210lim2nnixxxFxxxyjiniixyyjiiniiinnm

11、mmmmmmmnxxnxxmnmnxxnxxnxxnyynnxxxynxxxyxxxy；：由误差的定义及特性知，得：、除以个式子分别平方、求和次观测，则进行了得则设函数5.3.1.3 线性函数的中误差线性函数的中误差22222221212211xnnxxFnnmkmkmkmxkxkxkF其函数中误差公式为：线性函数：5.3.2 非线性函数的中误差非线性函数的中误差2222222122222221221221121)()()()()()(),(212121nnnxnxxyxnxxyxnxxFnnnmxFmxFmxFmymxFmxFmxFmxFxFxFdxxFdxxFdxxFdyxxxFy的中误差

12、为：得函数则：为一线性表达式则真误差关系式为：取全微分：设非线性函数例：由例：由A点放样点放样B点，距离为点，距离为D=200.0000.005m，方，方位角位角=45152010，计算放样，计算放样B点点位中误差。点点位中误差。sincosDyyyyDxxxxAABABAABAB2222222222cossinsincos mDmmmDmmDyDx22222222222222cossinsincos mDmmDmmDmmmmDDDyxBmmmDmmDB0 .1120626510000.200005. 0222222 解：解：B点坐标为：点坐标为：由误差传播定律公式得：由误差传播定律公式得：B

13、点的点位中误差点的点位中误差将已知数据代入上式，可得：将已知数据代入上式，可得：5.3.3 水准测量精度分析水准测量精度分析5.3.3.1 一个数的中误差一个数的中误差影响一个读数的因素水准仪整平、瞄准、读数误差。影响一个读数的因素水准仪整平、瞄准、读数误差。水准仪置平的误差水准仪置平的误差 由于受人视觉限制，气泡偏离中由于受人视觉限制，气泡偏离中点的误差为分划值的点的误差为分划值的0.15倍，其影响读数：倍，其影响读数：Sm15.01瞄准误差瞄准误差 人眼把两点的视角小于人眼把两点的视角小于1的情况看做为的情况看做为一点。用放大倍数为一点。用放大倍数为v的望远镜照准目标，照准精度为：的望远镜

14、照准目标，照准精度为：vv30260照准精度在水准尺上的影响为：照准精度在水准尺上的影响为：vSm302读数误差读数误差 读数误差与水准尺分划有关，对分划读数误差与水准尺分划有关，对分划1cm的水准尺，读数误差约为的水准尺，读数误差约为1.5mm，读数影响为：，读数影响为：mmm5 . 13综上所述，水准尺上读取一个数的中误差为：综上所述，水准尺上读取一个数的中误差为：232221mmmm读四等水准测量中，四等水准测量中，=20，v=25倍，倍，S最大为最大为100m，相应，相应水准尺上读取一个数的中误差为水准尺上读取一个数的中误差为m读读=2.1mm。5.3.3.2 一测站高差的中误差一测站

15、高差的中误差黑、红面测得高差为后视读数减前视读数，则黑红面高差黑、红面测得高差为后视读数减前视读数，则黑红面高差中误差为：中误差为：mm1 . 223mm2黑、红mmh5.3.3.3 水准路线的高差中误差及允许误差水准路线的高差中误差及允许误差四等水准测量规定了视线的长度，四等水准测量规定了视线的长度，1km设置设置16站完全可满站完全可满足，其足，其1km水准路线的高差中误差为水准路线的高差中误差为mmnmmhkm4.8161.2三、四等水准测量要求黑、红面观测，取黑、红面高差平三、四等水准测量要求黑、红面观测，取黑、红面高差平均值为一站高差，则一测站高差中误差为：均值为一站高差，则一测站高

16、差中误差为：3mm2读黑、红mm取取2倍中误差为允许值：倍中误差为允许值：mmmmmmkmkm8.1624.82允mmLmh20允规范取定为规范取定为20mm，则，则5.3.4 角度测量精度分析角度测量精度分析5.3.4.1水平角的中误差及允许误差水平角的中误差及允许误差DJ6观测一个方向的一个测回的中误差为观测一个方向的一个测回的中误差为6，则照准，则照准一个方向的半测回的中误差为：一个方向的半测回的中误差为：5.862方m一个水平角的半测回中误差：一个水平角的半测回中误差：125 . 822方半mm上下半测回较差中误差：上下半测回较差中误差：171222半mm取取2倍作为允许误差：倍作为允

17、许误差：）（规范取允3634172f一测回水平角为上、下半测回的平均值，则其中误差一测回水平角为上、下半测回的平均值，则其中误差5.82122半mm测回差的中误差：测回差的中误差：1225 . 82mm测回间取取2倍作为允许误差：倍作为允许误差：24122测回间允f5.3.4.2 菲罗列公式菲罗列公式设以同精度观测一系列三角形的三内角，即：设以同精度观测一系列三角形的三内角，即：iiicbammmm三角形的闭合差的计算关系式为：三角形的闭合差的计算关系式为：180iiiicbaf由误差传播定律得：由误差传播定律得：3322ffmmmm由中误差的定义得三角形闭合差的中误差为：由中误差的定义得三角

18、形闭合差的中误差为：nffnmf可推导出测角中误差：可推导出测角中误差：nffm35.4 同精度观测同精度观测设在相同条件下对设在相同条件下对X观测了观测了n次：次：XLnXLnlLnXnlnnXlnXlXlXlnnnnlim0lim2211得由误差的抵偿性：得令得个式子相加：算术平均值接近于真值，是测量对象的可靠结果，又称为算术平均值接近于真值，是测量对象的可靠结果，又称为最或是值最或是值。5.4.1 同精度观测值的最或是值同精度观测值的最或是值5.4.2 最或是值的中误差最或是值的中误差均值的中误差即用改正数计算算术平为：的中误差算术平均值则有误差传播定律可得式为：算术平均值的函数表达)

19、1()1()1()1(22221nnVVMnmMmnmnmnMMLnlnlnlnlLn由公式可见，增加观测次数，由公式可见，增加观测次数，可提高算术平均值的精度，但可提高算术平均值的精度，但实际观测中不可能完全依靠增实际观测中不可能完全依靠增加观测次数来提高算术平均值加观测次数来提高算术平均值的精度。的精度。例：例：5.5 不同精度观测不同精度观测 由于在测量过程中，可能采用不同的测量仪器、不同由于在测量过程中，可能采用不同的测量仪器、不同的观测方式，因此所得到的观测数据精度就不一致，如何的观测方式，因此所得到的观测数据精度就不一致，如何由不同观测精度的测量数据计算观测对象的由不同观测精度的测

20、量数据计算观测对象的最或是值最或是值，就，就必须考虑各观测值的可靠程度，即考虑必须考虑各观测值的可靠程度，即考虑观测值的权观测值的权。5.5.1 权权测量中的权，就是表示观测数据可靠程度的测量中的权，就是表示观测数据可靠程度的相对性相对性数值，数值，用用P表示，为任意一正数与观测值中误差的平方之比。表示，为任意一正数与观测值中误差的平方之比。不同不同C的取值，并不影响各观测值的权的比值：的取值，并不影响各观测值的权的比值：2222ijjijimmmCmCPP：2mCP 权的特性：权的特性：权始终是一个正值；权始终是一个正值；权越大，表示观测值越可靠，精度越高；权越大，表示观测值越可靠，精度越高；权具有相对的特性，对单独一个观测值无意义；权具有相对的特性，对单独一个观测值无意义；任意正数的取值不影响观测值的相对可靠程度。任意正数的取值不影响观测值的相对可靠程度。实际测量计算中，按照实际测量计算中，按照方便计算方便计算为原则取定为原则取定C值。值。水准测量中，设每水准测量中，设每km的观测路线的高差为的观测路线的高差为mo，则不同长，则不同长度水准路线的高