五年级不规则图形面积计算

1、-五年级不规则图形面积计算我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为根本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.如下表：实际问题中，有些图形不是以根本图形的形状出现，而是由一些根本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规则图形。则，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢.我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为根本图形的和、差关系，问题就能解决了。一、例题与方法指导例1如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米.求阴影局部的面积。思路导航：阴影局部的面积等

2、于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白三角形ABG、BDE、EFG的面积之和。例2如右图，正方形ABCD的边长为6厘米，ABE、ADF与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积. 思路导航：ABE、ADF与四边形AECF的面积彼此相等，四边形 AECF的面积与ABE、ADF的面积都等于正方形ABCD的。在ABE中，因为AB=6.所以BE=4，同理DF=4，因此CE=CF=2，ECF的面积为2×2÷2=2。所以SAEF=S四边形AECF-SECF=12-2=10平方厘米。BC例3两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10厘米和6厘米。如右图那样重合.求重合局部阴

3、影局部的面积。思路导航：在等腰直角三角形ABC中AB=10EF=BF=AB-AF=10-6=4，阴影局部面积=SABG-SBEF=25-8=17平方厘米。例4如右图，A为CDE的DE边上中点，BC=CD，假设ABC阴影局部面积为5平方厘米.求ABD及ACE的面积.思路导航：取BD中点F，连结AF.因为ADF、ABF和ABC等底、等高，所以它们的面积相等，都等于5平方厘米.ACD的面积等于15平方厘米，ABD的面积等于10平方厘米。又由于ACE与ACD等底、等高，所以ACE的面积是15平方厘米。二、稳固训练1.如右图，在正方形ABCD中，三角形ABE的面积是8平方厘米，它是三角形DEC的面积的，

4、求正方形ABCD的面积。解：过E作BC的垂线交AD于F。在矩形ABEF中AE是对角线，所以SABE=SAEF=8.在矩形CDFE中DE是对角线，所以SECD=SEDF。D2.如右图，：SABC=1，AE=ED,BD=BC.求阴影局部的面积。解：连结DF。AE=ED，SAEF=SDEF；SABE=SBED 3.如右图，正方形ABCD的边长是4厘米，CG=3厘米，矩形DEFG的长DG为5厘米，求它的宽DE等于多少厘米.解：连结AG，自A作AH垂直于DG于H，在ADG中，AD=4，DC=4AD上的高.SAGD=4×4÷2=8，又DG=5，SAGD=AH×DG÷

5、2，AH=8×2÷5=3.2厘米，DE=3.2厘米。4.如右图，梯形ABCD的面积是45平方米，高6米，AED的面积是5平方米，BC=10米，求阴影局部面积.解：梯形面积=上底+下底×高÷2即45=AD+BC×6÷2，45=AD+10×6÷2，AD=45×2÷6-10=5米。ADE的高是2米。 EBC的高等于梯形的高减去ADE的高，即6-2=4米，5.如右图，四边形ABCD和DEFG都是平行四边形，证明它们的面积相等.证明：连结CE，ABCD的面积等于CDE面积的2倍，而 DEFG的面积也是CD

6、E面积的2倍。ABCD的面积与 DEFG的面积相等。（1） 不规则图形面积计算2不规则图形的另外一种情况，就是由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规则图形组合而成的，这是一类更为复杂的不规则图形，为了计算它的面积，常常要变动图形的位置或对图形进展适当的分割、拼补、旋转等手段使之转化为规则图形的和、差关系，同时还常要和“容斥原理即：集合A与集合B之间有：SABSASb-SAB合并使用才能解决。1、 例题与方法指导例1.如右图，在一个正方形，以正方形的三条边为直径向作三个半圆.求阴影局部的面积。解法1：把上图靠下边的半圆换成面积与它相等右边的半圆，得到右图.这时，右图中阴影局部与不含阴影局部

7、的大小形状完全一样，因此它们的面积相等.所以上图中阴影局部的面积等于正方形面积的一半。解法2：将上半个“弧边三角形从中间切开，分别补贴在下半圆的上侧边上，如右图所示.阴影局部的面积是正方形面积的一半。解法3：将下面的半圆从中间切开，分别贴补在上面弧边三角形的两侧，如右图所示.阴影局部的面积是正方形的一半.例2.如右图，正方形ABCD的边长为4厘米，分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形画圆，求阴影局部面积。解：由容斥原理 S阴影S扇形ACBS扇形ACD-S正方形ABCD例3如右图，矩形ABCD中，AB6厘米，BC4厘米，扇形ABE半径AE6厘米，扇形CBF的半CB=4厘米，求阴影局部的面积。

8、例4.如右图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB20厘米，如果阴影的面积比阴影的面积大7平方厘米，求BC长。分析阴影比阴影的面积大7平方厘米，就是半圆面积比三角形ABC面积大7平方厘米；又知半圆直径AB20厘米，可以求出圆面积.半圆面积减去7平方厘米，就可求出三角形ABC的面积，进而求出三角形的底BC的长.2、 稳固训练1.如右图，两个正方形边长分别是10厘米和6厘米，求阴影局部的面积。分析阴影局部的面积，等于底为16、高为6的直角三角形面积与图中I的面积之差。而I的面积等于边长为6的正方形的面积减去以6为半径的圆的面积。2.如右图，将直径AB为3的半圆绕A逆时针旋转60°，

9、此时AB到达AC的位置，求阴影局部的面积取=3. 解：整个阴影局部被线段CD分为和两局部，以AB为直径的半圆被 弦AD分成两局部，设其中AD右侧的局部面积为S，由于弓形AD是两个半圆的公共局部，去掉AD弓形后，两个半圆的剩余局部面积相等.即=S，由于：3.如右图，ABCD是正方形，且FA=AD=DE=1，求阴影局部的面积.4.如下页右上图，ABC是等腰直角三角形，D是半圆周上的中点，BC是半圆的直径，且AB=BC=10，求阴影局部面积取3.14。解：三角形ABC是等腰直角三角形，以AC为对角线再作一个全等的等腰直角三角形ACE，则ABCE为正方形利用对称性质。总结：对于不规则图形面积的计算问题

10、一般将它转化为假设干根本规则图形的组合，分析整体与局部的和、差关系，问题便得到解决.常用的根本方法有：一、 相加法：这种方法是将不规则图形分解转化成几个根本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积.例如，右图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可以了. 二、 相减法：这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是假设干个根本规则图形的面积之差.例如，右图，假设求阴影局部的面积，只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可. 三、 直接求法：这种方法是根据条件，从整体出发直接求出不规则图形面积.如下页右上图，欲求阴影局部的面积，通过分

11、析发现它就是一个底是2，高为4的三角形，面积可直接求出来。四、 重新组合法：这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.例如，欲求右图中阴影局部面积，可以把它拆开使阴影局局部布在正方形的4个角处，这时采用相减法就可求出其面积了.五、 辅助线法：这种方法是根据具体情况在图形中添一条或假设干条辅助线，使不规则图形转化成假设干个根本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可.如右图，求两个正方形中阴影局部的面积.此题虽然可以用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便. 六、 割补法：这种方法是把原图形的一局部切割下来补在图形中的

12、另一局部使之成为根本规则图形，从而使问题得到解决.例如，如右图，欲求阴影局部的面积，只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影局部面积恰是正方形面积的一半. 七、 平移法：这种方法是将图形中*一局部切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的根本规则图形，便于求出面积.例如，如右图，欲求阴影局部面积，可先沿中间切开把左边正方形的阴影局部平行移到右边正方形，这样整个阴影局部恰是一个正方形。八、 旋转法：这种方法是将图形中*一局部切割下来之后，使之沿*一点或*一轴旋转一定角度贴补在另一图形的一侧，从而组合成一个新的根本规则的图形，便于求出面积.例如，欲求图1中阴影局部的面积，可将左半图形绕B

13、点逆时针方向旋转180°，使A与C重合，从而构成如右图2的样子，此时阴影局部的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积.九、 对称添补法：这种方法是作出原图形的对称图形，从而得到一个新的根本规则图形.原来图形面积就是这个新图形面积的一半.例如，欲求右图中阴影局部的面积，沿AB在原图下方作关于AB为对称轴的对称扇形ABD.弓形CBD的面积的一半就是所求阴影局部的面积。十、重叠法：这种方法是将所求的图形看成是两个或两个以上图形的重叠局部，然后运用“容斥原理SABSASB-SAB解决。例如，欲求右图中阴影局部的面积，可先求两个扇形面积的和，减去正方形面积，因为阴影局部的面积恰好是两

14、个扇形重叠的局部.2021年五年级奥数题：图形与面积B一、填空题共10小题，每题3分，总分值30分13分如图是由16个同样大小的正方形组成的，如果这个图形的面积是400平方厘米，则它的周长是_厘米23分第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕，下面的图形中，每一小方格的面积是1则7，2，1三个数字所占的面积之和是_33分 如图中每一小方格的面积都是1平方厘米，则用粗线围成的图形面积是_平方厘米43分2021模拟如图的两个正方形，边长分别为8厘米和4厘米，则阴影局部的面积是_平方厘米53分在ABC中，BD=2DC，AE=BE，ABC的面积是18平方厘米，则四边形AEDC的面积等于_平

15、方厘米63分如图是边长为4厘米的正方形，AE=5厘米、OB是_厘米73分 如图正方形ABCD的边长是4厘米，CG是3厘米，长方形DEFG的长DG是5厘米，则它的宽DE是_厘米83分如图，一个矩形被分成10个小矩形，其中有6个小矩形的面积如以下图，则这个大矩形的面积是_93分如图，正方形ABCD的边长为12，P是边AB上的任意一点，M、N、I、H分别是边BC、AD上的三等分点，E、F、G是边CD上的四等分点，图中阴影局部的面积是_103分 图中的长方形的长和宽分别是6厘米和4厘米，阴影局部的总面积是10平方厘米，四边形ABCD的面积是_平方厘米二、解答题共4小题，总分值0分11图中正六边形ABC

16、DEF的面积是54AP=2PF，CQ=2BQ，求阴影四边形CEPQ的面积12如图，涂阴影局部的小正六角星形面积是16平方厘米问：大正六角星形面积是多少平方厘米13一个周长是56厘米的大长方形，按图中1与2所示意那样，划分为四个小长方形在1中小长方形面积的比是：A：B=1：2，B：C=1：2而在2中相应的比例是A'：B'=1：3，B'：C'=1：3又知，长方形D'的宽减去D的宽所得到的差，与D'的长减去在D的长所得到的差之比为1：3求大长方形的面积142021模拟如图，CD=5，DE=7，EF=15，FG=6，直线AB将图形分成两局部，左边局部面积

17、是38，右边局部面积是65，则三角形ADG的面积是_2021年五年级奥数题：图形与面积B参考答案与试题解析一、填空题共10小题，每题3分，总分值30分13分如图是由16个同样大小的正方形组成的，如果这个图形的面积是400平方厘米，则它的周长是170厘米考点：巧算周长分析：要求该图形的周长，先求出每个小正方形的面积，根据正方形的面积公式，得出小正方形的边长，然后先算出该图形的外周的长，因为、外的长相等，再乘2即可得出结论解答：解：400÷16=25平方厘米，因为5×5=25平方厘米，所以每个小正方形的边长为5厘米，周长为：5×4+5×4+5×3+

18、5×2+5×3+5×2，=85×2，=170厘米；答：它的周长是170厘米点评：此类题解答的关键是先求出每个小正方形的面积，根据正方形的面积公式，得出小正方形的边长，进而算出该图形的外周的长，因为、外的长相等，再乘2即可得出结论23分第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕，下面的图形中，每一小方格的面积是1则7，2，1三个数字所占的面积之和是25考点：组合图形的面积分析：此题需要进展图形分解：“7分成一个长方形、一个等腰直角三角形、一个平行四边形；“2分成一个梯形、一个平行四边形、一个长方形；“1分成一个梯形和两个长方形然后进展图形转换，依

19、据题目条件即可求出结果解答：解：“7所占的面积和=+3+4=，“2所占的面积和=3+4+3=10，“1所占的面积和=+7=，则7，2，1三个数字所占的面积之和=+10=25故答案为：25点评：此题关键是进展图形分解和转换33分 如图中每一小方格的面积都是1平方厘米，则用粗线围成的图形面积是6.5平方厘米考点：组合图形的面积分析：由图可以观察出：大正方形的面积减粗线以外的图形面积即为粗线围成的图形面积解答：解：大正方形的面积为4×4=16平方厘米；粗线以外的图形面积为：整格有3个，左上，右上，右中，右下，左中，右中，共有3+5×=9.5平方厘米；所以粗线围成的图形面积为169

20、.5=6.5平方厘米；答：粗线围成的图形面积是6.5平方厘米故此题答案为：6.5点评：此题关键是对图形进展合理地割补43分2021模拟如图的两个正方形，边长分别为8厘米和4厘米，则阴影局部的面积是24平方厘米考点：组合图形的面积分析：两个正方形的面积减去两个空白三角形的面积解答：解：4×4+8×8×4×4+8×8×8，=16+642432，=24cm2；答：阴影的面积是24cm2故答案为：24点评：求组合图形面积的化为求常用图形面积的和与差求解53分在ABC中，BD=2DC，AE=BE，ABC的面积是18平方厘米，则四边形AEDC的面

21、积等于12平方厘米考点：相似三角形的性质份数、比例；三角形的周长和面积分析：根据题意，连接AD，即可知道ABD和ADC的关系，ADE和BDE的关系，由此即可求出四边形AEDC的面积解答：解：连接AD，因为BD=2DC，所以，SABD=2SADC，即，SABD=18×=12平方厘米，又因为，AE=BE，所以，SADE=SBDE，即，SBDE=12×=6平方厘米，所以AEDC的面积是：186=12平方厘米；故答案为：12点评：解答此题的关键是，根据题意，添加辅助线，帮助我们找到三角形之间的关系，由此即可解答63分如图是边长为4厘米的正方形，AE=5厘米、OB是3.2厘米考点：组

22、合图形的面积分析：连接BE、AF可以看出，三角形ABE的面积是正方形面积的一半，再依据三角形面积公式就可以求出OB的长度解答：解：如图连接BE、AF，则BE与AF相交于D点SADE=SBDF则SABE=S正方形=×4×4=8平方厘米；OB=8×2÷5=3.2厘米；答：OB是3.2厘米故答案为：3.2点评：此题主要考察三角形和正方形的面积公式，将数据代入公式即可73分 如图正方形ABCD的边长是4厘米，CG是3厘米，长方形DEFG的长DG是5厘米，则它的宽DE是3.2厘米考点：组合图形的面积分析：连接AG，则可以依据题目条件求出三角形AGD的面积，因为DG

23、，进而可以求三角形AGD的高，也就是长方形的宽，问题得解解答：解：如图连接AGSAGD=S正方形ABCDSCDGSABG，=4×43×4÷21×4÷2=1662=8平方厘米；8×2÷5=3.2厘米；答：长方形的宽是3.2厘米故答案为：3.2点评：依据题目条件做出适宜的辅助线，问题得解83分如图，一个矩形被分成10个小矩形，其中有6个小矩形的面积如以下图，则这个大矩形的面积是243考点：组合图形的面积分析：从图中可以看出每上、下两个小矩形的一个边是相邻的，也就是说长是相等的，则根据矩形的面积公式知，如果长一样，面积之比也就是宽

24、之比，反之宽之比也就是面积之比；由中间面积20和16的矩形，可以算出空着的小矩形面积，最后把所有小矩形面积加起来就是大矩形的面积解答：解：由图和题意知，中间上、下小矩形的面积比是：20：16=5：4，所以宽之比是5：4，则，A：36=5：4得A=45；25：B=5：4得B=20；30：C=5：4得C=24；D：12=5：4得D=15；所以大矩形的面积=45+36+25+20+20+16+30+24+15+12=243；故答案为：243点评：此题考察了如果长方形的长一样，宽之比等于面积之比，还考察了比例的有关知识93分如图，正方形ABCD的边长为12，P是边AB上的任意一点，M、N、I、H分别是

25、边BC、AD上的三等分点，E、F、G是边CD上的四等分点，图中阴影局部的面积是60考点：组合图形的面积分析：根据题意：正方形ABCD的边长为12，P是边AB上的任意一点，M、N、I、H分别是边BC、AD上的三等分点，E、F、G是边CD上的四等分点，可连接DP，然后再利用三角形的面积公式进展计算即可得到答案解答：解：阴影局部的面积=×DH×AP+×DG×AD+×EF×AD+×MN×BP=×4×AP+×3×12+×3×12+×4×BP=2A

26、P+18+18+2BP=36+2×AP+BP=36+2×12=36+24=60答：这个图形阴影局部的面积是60点评：此题主要考察的是三角形的面积公式103分 图中的长方形的长和宽分别是6厘米和4厘米，阴影局部的总面积是10平方厘米，四边形ABCD的面积是4平方厘米考点：重叠问题；三角形的周长和面积分析：因为SEFC+SGHC=四边形EFGH面积÷2=12，SAEF+SAGH=四边形EFGH面积÷2=12，所以SABE+SADH=SBFC+SDGC=四边形EFGH面积÷2阴影局部的总面积是10平方厘米=2平方厘米 所以：四边形ABCD面积=SEC

27、HSABE+SADH=四边形ABCD面积÷42=62=4平方厘米解答：解：由题意推出：SABE+SADH=SBFC+SDGC=四边形EFGH面积÷2阴影面积10平方厘米=2平方厘米所以：四边形ABCD面积=SECHSABE+SADH=四边形ABCD面积÷42=62=4平方厘米故答案为：4点评：此题在重叠问题中考察了三角形的周长和面积公式，此题设计的非常精彩二、解答题共4小题，总分值0分11图中正六边形ABCDEF的面积是54AP=2PF，CQ=2BQ，求阴影四边形CEPQ的面积考点：等积变形位移、割补分析：如图，将正六边形ABCDEF等分为54个小正三角形，根据平

28、行四边形对角线平分平行四边形面积，采用数小三角形的方法来计算面积解答：解：如图，SPEF=3，SCDE=9，S四边形ABQP=11上述三块面积之和为3+9+11=23因此，阴影四边形CEPQ面积为5423=31点评：此题主要利用面积分割，用数根本小三角形面积来解决问题12如图，涂阴影局部的小正六角星形面积是16平方厘米问：大正六角星形面积是多少平方厘米考点：等积变形位移、割补分析：由图及题意知，可把涂阴影局部小正六角星形等分成12个小三角形，且都与外围的6个空白小三角形面积相等，涂阴影局部的小正六角星形面积是16平方厘米，可求出大正六角星形中心正六边形的面积，而这个正六边形又可等分成6个小正三角形，且它们与外围六个大角的面积相等，进而可求出大正六角星形面积解答：解：如以下图所示，涂阴影局部小正六角星形可等分成12个小三角形，且都与外围的6个空白小三角形面积相等，所以正六边形ABCDEF的面积：16÷12×12+6=24平方厘米；又由于正六边形ABCDEF又可等分成6个小正三角形，且它们与外围六个大角的面积相等，所以大正六角星形面积：24×2=48平方厘米；答：大正六角星形面积是48平方厘米点评：此题要借助求正六边形的面积来解答，它既