第03讲-第二章经济变化趋势的数学描述ppt课件

1、上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页2.1从一个经济问题谈起从一个经济问题谈起上页下页铃结束返回首页 1 数列极限数列极限二、数列极限精确定义二、数列极限精确定义三、数列极限几何意义三、数列极限几何意义一、数列极限的通俗定义一、数列极限的通俗定义通俗定义及其分析精确定义及其简述形式上页下页铃结束返回首页一、数列极限的通俗定义一、数列极限的通俗定义 设sn=f(n)为圆的内接正n边形的面积， 那么sn是一个数列。s3s4s5s6s16考虑求圆的面积问题：考虑求圆的面积问题： 可以看出，当n越来越大时，sn就越来越接近于圆的面积s 。 我们说 s 为数列sn的极限。上页下页铃结束返回首页上

2、页下页铃结束返回首页 给定一个数列 yn ，如果当 n 无限地增大时，yn 无限地接近于常数a，则称当n趋于无穷时，数列yn以a为极限，或称数列yn收敛于a。 如果数列没有极限，就说数列是发散的。 通过观察求出下列数列的极限：极限的通俗定义：极限的通俗定义：6, 6.6, 6.66, 6.666,6.66,n个 0,.1,.01,.001,001,n个 0 0 0 0. 0,.1,.11,.111,11,n个 0 0 0 0. 上页下页铃结束返回首页 这三个数列都以1为极限。 (1) nyn11：2，23，34，45， ； (2) nyn11：0，21，32，43， ； (3) nynn1)

3、1(1：0，23，32，45，54， 。 上页下页铃结束返回首页1111(4),sin:sin1,sin,sin,sin,23nsnn1111(5),1,0,0,0,0,0,0,234n1231(6),1,0,0,0,0,0,0,234nn上页下页铃结束返回首页(7) 2 , 4 , 8 , 2 ,nnnx2)(n1(8) 1 ,1 ,1 ,( 1),n 1) 1(nnx趋势不定发 散12311111(9),(1) :(1) ,(1) ,(1) ,(1) ,123nnnsnn上页下页铃结束返回首页 “yn无限地接近于a” “|yn-a|无限接近于0” “|yn-a|可以任意小，要多小就能够有多

4、小” “ n增大到一定程度以后，|yn-a|能小于事先给定的任意小的正数”。“当当n无限增大时，无限增大时， yn无限地接近于无限地接近于a的分析：的分析： 给定一个数列 yn ，如果当 n 无限地增大时，yn 无限地接近于常数a，则称当n趋于无穷时，数列yn以a为极限，或称数列yn收敛于a。极限的通俗定义：极限的通俗定义： 因而，假如 n增大到一定程度以后，|yn-a|能小于事先给定的任意小的正数，则当 n 无限地增大时，yn 无限地接近于常数a。上页下页铃结束返回首页说明：说明：e -刻划刻划yn与与A的接近程度；的接近程度； N -刻划刻划n充分大的程度；充分大的程度； e 与与N的关系

5、的关系- N是随是随e 而确定的；而确定的； | yn-A |N时，时， |yn-A|0, NN, nN, 有|yn-A|N时，时， |yn-A|0, NN, nN, 有|yn-A|e 。 e 0, NN, nN, 有|yn-A|0，要使 e 0, NN, nN, 有|yn-A|0，存在证证明明：因为对于任意给定的 0，存在1N， 当 nN 时，|212|nnnN 时，|212|nn恒成立，所以恒成立，所以212limnnn。 上页下页铃结束返回首页例例 2 证明证明1lim22 nann证明证明1|1|22 nanxn)(222nanna nan21 )1(22 naan则则若若0 故故 ,

6、1max2aN 则当则当n N时，有时，有nannan22211 n11lim22 nann上页下页铃结束返回首页,) 1() 1(2nxnn证明.0limnnx证证:0nx0) 1() 1(2nn2) 1(1n11n, ) 1 ,0(欲使,0nx只要,11n即n取, 11N则当Nn 时, 就有,0nx故0) 1() 1(limlim2nxnnnn,0111nnnx故也可取1N也可由2) 1(10nnx. 11N 与 有关, 但不唯一.不一定取最小的 N .说明说明: 取11N例例3. 知知上页下页铃结束返回首页 对于任意给定的正数e 总存在一个正整数N， 当nN时|yn-A|e。 数列yn以

7、常数A为极限：On yn AA+eA-e12345N三、数列极限几何意义三、数列极限几何意义N+1N+2N+3N+4NN+1N+2N+3N+4上页下页铃结束返回首页On yn AA+eA-e12345NN+1N+2NN+1N+2NN+2上页下页铃结束返回首页2 函数的极限函数的极限一、当一、当x时函数的极限时函数的极限二、当二、当xx0时函数的极限时函数的极限三、左极限与右极限三、左极限与右极限四、关于函数极限的定理四、关于函数极限的定理上页下页铃结束返回首页极限的重要性极限的重要性（1） 极限是一种思想方法极限是一种思想方法（2极限是一种概念极限是一种概念（3） 极限是一种计算方法极限是一种

8、计算方法 从认识有限到把握无限从认识有限到把握无限 从了解离散到理解连续从了解离散到理解连续 微积分中许多概念是用极限定义的微积分中许多概念是用极限定义的许多物理、几何量需要用极限来求许多物理、几何量需要用极限来求上页下页铃结束返回首页（ 两种基本变化趋势）两种基本变化趋势）0 x 趋向于一点趋向于一点xO自变量的变化自变量的变化 x x，0 xx ， 0 xx 0 xx 趋向于无穷趋向于无穷， x， x x上页下页铃结束返回首页 如果当 |x| 无限地增大时，函数f(x)的值无限地接近于常数A，则称当x趋于无穷大时，函数f(x)以A为极限。极限的通俗定义：极限的通俗定义：所以当x趋于无穷大时

9、，f(x)以1为极限。 例如，当 |x| 无限增大时，函数f(x)1x1无限地接近于1。 一、当一、当x时函数的极限时函数的极限 yxO xy11xlimf(x)A 或 f(x)A(x)。 记作上页下页铃结束返回首页“当当 |x| 无限地增大时，无限地增大时，f(x)无限接近于无限接近于A ”的分析：的分析： “f(x)无限接近于A ” “ | f(x) -A|无限接近于0” “|f(x)-A|可以任意小，要多小就能够有多小” “在 |x| 增大到一定程度以后，| f(x) -A| 能够小于事先给 定的任意小的正数”。 如果当 |x| 无限地增大时，函数f(x)的值无限地接近于常数A，则称当x

10、趋于无穷大时，函数f(x)以A为极限。一、当一、当x时函数的极限时函数的极限 极限的通俗定义：极限的通俗定义：上页下页铃结束返回首页说明：说明：e -刻划刻划f(x)与与A的接近程度；的接近程度； M-刻划刻划|x|充分大的程度；充分大的程度； e与与M的关系的关系-M随随e而定；而定； | f(x)-A |M时，|f(x)-A|M时，|f(x)-A|0, M0, x: |x|M, 有|f(x)-A|0，要使-2-1012x1234 y y=( - )x12 y=2xe 0, M0, x: |x|M, 有|f(x)-A|e . xlimf(x)A 或 f(x)A(x)。 证明：因为对于任意给定

11、的证明：因为对于任意给定的0eM 时，有| f(x)0|存在M=-log2e，xM 时，有| f(x)0|x)21(0| ，所以0|log2 (设 log2 (设 M时，|f(x)-A|e 。上页下页铃结束返回首页单侧极限单侧极限，若有定义，在函数R),()(Aaaxf时有xxAxf)(时时的的当当为为则则称称xxxfA)(极限，记为极限，记为)()()(limxAxfAxfx或或定义定义)()()(limxAxfAxfx或或上页下页铃结束返回首页例，例，xxelim , xxelim 0 xxelim 不存在不存在结论结论 )x(flimxA)x(flimx A)x(flimx 例例 设设

12、152121 x,xxx,)x(f求求)x(flimx 解：解： )x(flimx 52xxlimx21 )x(flimx21 )x(flimx21上页下页铃结束返回首页(1) 左、右极限均存在, 且相等；(2) 左、右极限均存在, 但不相等；(3) 左、右极限中至少有一个不存在.找找例题！ 函数在点 处的左、右极限可能出现以下三种情况之一：上页下页铃结束返回首页 如果当 x无限接近于x0时，函数f(x)的值无限接近于常数A，则称当x趋于x0时，f(x)以A为极限。记作0limxxf(x)A 或f(x)A(xx0)。 极限的通俗定义：极限的通俗定义： 2) 1(lim1xx， 211lim21

13、xxx。 例如：例如：-2-1121 2 x yO11)(2xxxf-2-1121 2 x yOf (x)=x+1二、当二、当xx0时函数的极限时函数的极限上页下页铃结束返回首页例如：例如：11( )11xxf xx 1lim( )xf x求求，-2-1121 2 x yO 1lim( )2xf x 上页下页铃结束返回首页0limxxf(x)A 或f(x)A(xx0)。 说明：说明：e -刻划刻划f(x)与与A的接近程度；的接近程度； d -刻划刻划x与与x0的接近程度；的接近程度； d 与与e 的关系的关系- d 随随e 而定；而定； 0|x-x0|d-表示表示x与与x0的距离小于的距离小于

14、d 且且xx0。 | f(x)-A |e-表示表示f(x)与与A接近到距离小于接近到距离小于e。极限的精确定义：极限的精确定义： 定义定义2.4 设函数设函数f(x)在点在点x0的某去心邻域内有定义。的某去心邻域内有定义。如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数e，总存在一个正数，总存在一个正数d，使当，使当0|x-x0|d 时，恒有时，恒有|f(x)-A|e，则称当则称当x趋于趋于x0时，函数时，函数f(x)以常数以常数A为极限。记作为极限。记作上页下页铃结束返回首页0limxxf(x)A 或f(x)A(xx0)。 极限的精确定义：极限的精确定义： 定义定义2.4 设函数设函数f(x)在

15、点在点x0的某去心邻域内有定义。的某去心邻域内有定义。如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数e，总存在一个正数，总存在一个正数d，使当，使当0|x-x0|d 时，恒有时，恒有|f(x)-A|0, d0, x: 0|x-x0|d, 有|f(x)-A|0, d0, x: 0|x-x0|d, 有|f(x)-A|e。 上页下页铃结束返回首页三、左极限与右极限三、左极限与右极限x1O-1 1 y 试观察当x从0的左侧趋于0时和当x从0的右侧趋于0时，f(x)的变化趋势。例 设函数0 0 1)(xxxxf， 。上页下页铃结束返回首页 定义定义2.5 如果当如果当x从从x0的左侧的左侧(xx0)趋于x

16、0时，f(x)以A为极限，则称A为xx0时f(x)的右极限。记作0limxxf(x)A 或f(x00)A。 0limxxf(x)A 或f(x00)A。 三、左极限与右极限三、左极限与右极限上页下页铃结束返回首页极限与左右极限的关系：极限与左右极限的关系： 解：因为解：因为 0limxf(x)0limx11， 0limxf(x)0limxx0， 所以0limxf(x)不存在。 0limxf(x)0limxf(x)， 而0limxxf(x)0limxxf(x) A。 定定理理2.1 0limxxf(x)A 成立的充分必要条件是： 例例 5设0 0 1)(xxxxf，研究)(lim0 xfx是否存在

17、。 上页下页铃结束返回首页例例6 证明函数证明函数 0101x,xx,x)x(f在在0 x处的极限不存在处的极限不存在.证证. )x(flimx0)x(limx10 1 )x(flimx0)x(limx10 1 )(lim0 xfx所以所以不存在不存在.o-11xy1 xy1 xy上页下页铃结束返回首页例例7 讨论函数讨论函数 00 x,xsinx,x)x(f在在0 x处的极限处的极限.证证. )x(flimx0 xsinlimx 00 )x(flimx0 xlimx 00 00 )x(flimx所以所以上页下页铃结束返回首页例例8 8 判断函数判断函数 1cos,0( )sin,0 xxf

18、xxx 在在 点处是否有极限点处是否有极限. . 0,/ 2xx 00lim( )lim(1cos )0 xxf xx 解解: 00lim( )lim sin0 xxf xx 00lim( )lim( )0 xxf xf x 因为因为0lim( )0 xf x 所以所以22lim( )lim(1cos )1cos12xxf xx 上页下页铃结束返回首页O y xAx0-dx0+d x0 y=f(x)四、关于函数极限的定理四、关于函数极限的定理 类似地可证A0(或 A0)，则总 存在一个正数d，使当0|x-x0|0(或f(x)0，取总存在一正数d，使当0|x-x0|d 时，恒有 |f(x)A|A21， 于是可得)(21xfAA，因此0)(21xfAA，因此021A0，取A21，则按极限定义可知， 上页下页铃结束返回首页 同理可证f(x)0的情形。 证明：如果f(x)0， 假设定理不成立，即A0，那么根据定理2.2，存在一个正数d， 使当0|x-x0|d时，有f(x)0(或 A0)，则总 存在一个正数d，使当0|x-x0|