专题02整式的运算(知识点总结+例题讲解)-2021届中考数学一轮复习

1、2021年中考数学 专题02整式的运算（知识点总结+例题讲解）一、整式的基本概念：1 .单项式：由数或者字母的积组成的式子，叫做单项式。（1）单独的一个数或者一个字母也是单项式。（2）单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。（3） 一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。例题1下列各式是单项式的是（）A “7n + c 2n C .A. BC. -D. 3m+6nn33【答案】C【解析】数与字母乘积的代数式叫做单项式；A.分母中有字母，不是单项式： B、D.是儿个单项式的和，不是单项式;C.符合单项式的定义，是单项式；故选C。【变式练习1下列关于单项式-?的说法中，正确的是（）3

2、A.系数、次数都是3B.系数是二，次数是333C.系数是-二，次数是2D.系数是-二，次数是3【答案】D【解析】根据单项式系数、次数的定义可知：单项式_至1的系数是_3,次数是2+1=3,只有D正确：故选D。2.多项式：几个单项式的和叫做多项式。（1）其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项；（2）多项式里，次数最高项的次数，叫做多项式的次数。【例题2】关于多项式3x?-2*、-4y+*-丫+7,下列说法正确的是（）A.它是三次六项式B.它的最高次项是2x3yC.它的一次项是xD.它的二次项系数是-4【答案】D【解析】A.多项式3xL2x3y-4y'+x-y+7中的单项式-

3、2/y的次数最高，为3+1=4,故该多 项式是四次六项式；B.该多项式的最高项是-2Yy； C.该多项式的一次项是x和-y； D.该多项式关于y的二次项系数是-4,常数项是-7,故本选项正确。【变式练习2】对于多项式-：/一21），+ 3，下列说法正确的是（）A.是2次3项式，常数项是3 nB.是3次3项式，没有常数项C.是2次3项式，没有常数项D,是3次3项式，常数项是3 n【答案】D【解析】二多项式中的每个单项式叫做多项式的项, 多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数：力页式-2/2/）,+ 34中最：项-2x'y的次数为3, 3人中虽有字母冗，但是作已知数处理；故多项式为

4、3次3项式，常数项是3人；故选及3 .整式：单项式与多项式统称整式。4 .代数式：像2（x1）, abc, £等式子都是代数式； t单独一个数或字母也是代数式。5.代数式的值：一般地，用值_代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系，计单项式 多项式算得出的结果，叫做代数式的值。'整式'有理式4代数HM分式无理式【例题3】苹果的单价为a元/千克，香蕉的单价为b元/千克，买2千克苹果和3千克香蕉共需（）A. (a+b)元B. (3a+2b)元C.(2a+3b)元D. 5(a+b)元【答案】C【解析】单价为a元的苹果2千克用去2a元,单价为b元的香蕉3千克用去3b元，共

5、用去：（2a+3b）元。【变式练习3】（2020重庆B卷）已知a+b=4,则代数式1 +色+ 的值为（）2 2A. 3B. 1C. 0D. -1【答案】A【解析】解：当a+b=4时,原式= l +，3+b）=l +x4=l+2=3；故选A。22二、整式的加减：1 .整式加减的实质：合并同类项。2 .同类项概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。（1）如3a与a是同类项,3a与£不是同类项;（2）所有的常数项是同类项；3 .合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。（1）合并同类项的法则：系数相加减，字母及其字母的指数不变；如：3a+a=4a,

6、3x:+5x: = 8x:；（2）当同类项的系数互为相反数时，合并后的结果为0；4 .去括号法则：（1）如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如：a+（b+c） = a+b+c ；（2）如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反；如：a- （b+c） = a-b-c ；5 .整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。【例题4】（2020贵州黔西南）若7aE与一&泞 和为单项式，则f=.【答案】8【解析】直接利用合并同类项法则进而得出x, y的值，即可得出答案；因为7a方与一ab的和为单项式，

7、所以7a方与一a*是同类项，所以x = 3, y=2,所以 yx=23=8,因此本题答案为8。【变式练习4】（2019贵州黔西南州）如果3ab20 1与9al尸是同类项，那么m等于（）A. 2B. 1C. - 1D. 0【答案】A【解析】根据题意，得：2m-l=m+l,解得m=2；故选A。【例题5】（2020通辽）下列说法不正确的是（）A. 2a是2个数a的和B. 2a是2和数a的积C. 2a是单项式D. 2a是偶数【答案】D【解析】解：A、2a=a + a,即2a是2个数a的和，说法正确：B、2a是2和数a的积，说法正确；C、2a是单项式，说法正确；D、2a不一定是偶数，故原说法错误；故选D

8、。【变式练习5 （2020天津）计算x+7x-5x的结果等于.【答案】3x【解答】解:x+7x-5x= （1+7-5）x=3xo三、整式的乘除：1 .靠的运算：（1）同底数第的乘法：底数不变，指数相加；B|J： L =个"（m、n都是正整数）；（2）同底数塞的除法：底数不变，指数相减；即：a":/=a"i（aW0）；（3）幕的乘方：底数不变，指数相乘；即：（m、n都是正整数）事的乘方法则可以逆用；即： 武（4）积的乘方：等于各因数乘方的积；即：（皿）是正整数）。（5）零指数：任何不等于零的数的零次方等于1。即：a° = l（aW0）（6）负整数指数：任何

9、不等于0的数的-p次塞（p是正整数），等于这个数的p次幕的 倒数，即：。一'=（aWO, p是正整数）。a1【例题6】（2020重庆B卷）计算a£结果正确的是（）A. aB. a:C. a3D. a1【答案】C【解析】解:三小二口故选Co【变式练习6】(2020河北)若k为正整数，则(2 + & + .+= ()A. k2kB. klk+iC. 2kkD. k2"【答案】A【解析】解：(k + k + .+k)k =(k k)k =(k2)k =k2k ；故选析A不上【例题7】(2020吉林)下列运算正确的是()A. a= a3=a6 B. (a2)3=a5

10、C. (2a)-=2a:D. a34-a2=a【答案】D【解析】解：A、a: aW,原计算错误，故此选项不符合题意；B、(£尸二个，原计算错误，故此选项不符合题意；C、(2a):=4a:,原计算错误，故此选项不符合题意；D、三a,原计算正确，故此选项符合题意：故选D。【变式练习7】(2020陕西)计算：(-*"=()【答案】c【解析】解：告八管他”-丁力故选C。2 .整式的乘法：(1)单项式与单项式相乘：把他们的系数，相同字母分别相乘：对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式；如：2x3y 3x:=2 3x3':y=6x°y(2)单项

11、式乘以多项式：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加:即：m(a + h + c) = ma + mb + me (m a、b c 都是单项式) (3)多项式与多项式相乘：用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项, 再把所的的积相加；即：(m+n) (a+b)= ma+mb+na+nb(4)平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差；即：(a + b)(a-b) = a2 -b2(5)完全平方和公式：等于这两个数的平方和，再加上这两个的积的2倍；即：(a+b) "-a'+b"+2ab(6)完全平方差公式：等于这两个数的平方和，再减上这两

12、个的积的2倍；即：(a-b) 2=a3+b2_2ab(7)常见的变形有： £+b 三(a+b) "-2ab ；(a-b) := (a+b) :-4ab；(-a-b) := (a+b)2；(-a+b)'=(a-b)2【例题 8】(2020凉山州)化简求值：(2x+3) (2x - 3) - (x+2)2+4(x+3),其中 x= V?。【答案】5【解析】先利用平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式法则展开，再去括号、合 并同类项即可化简原式，继而将x的值代入计算可得答案。原式= 4x - 9 - (x斗4x+4)+4x+12= 4x2 - 9 - x: - 4x -

13、 4+4x+12= 3x: - b当x=立时，原式=3X (y/2)- - 1= 3X2 - 1=6-1=5o【变式练习8】(2020北京)已知5x°x-1=0,求代数式(3x+2) (3x - 2) +x(x - 2)的值.【答案】-2【解答】直接利用乘法公式以及单项式乘多项式运算法则化简，进而把已知代入得出答 案。解：(3x+2) (3x - 2) +x (x - 2)= 9x: - 4+x: - 2x= 10x2 - 2x - 4V5x2-x- 1=0/ 5x: - x=l，原式= 2(5x，x)4=2。3 .整式的除法：(1)同底数幕的除法：(2)单项式的除法法则：单项式相除

14、，把系数、同底数暴分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式；如：(3x):y 4- x= 9xy(3)多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。(4)添括号法则：括号前面是+号，放进括号里面的每一项都不变号；括号前面是一号，放进括号里面的每一项都要变号。【例题9 (2020遂宇)下列计算正确的是()A. 7ab - 5a=2bC. ( - 3a2b)3=6a b:【答案】DB. (a+-)：=a：+4aD. 3a"b b 3a"【解析】7ab与-5a不是同类项，不能合并，因此选项A不正确:根据完全平方公式可得(a+ -)=a:+ 4 +2,因此选项B不正确； aa-(3£b)'=9aK 因此选项C不正确；3a:b-rb=3a2,因此选项D正确。【变式练习8】(2020宁波)下列计算正确的是()A. a3 a'a6B. (a3)" ac C. a6_ra3D. a'+a,'a3【答案】C【解析】直接利用同底数塞的乘除运算法则、暴的乘方运算法则、合并同类项法则分别 化简得出答案。A. a3-a:=a5,故此选项错误；B. (£”=£,故此选项错误；C. a64-a3=a3,正确；D.£+