第八章-运筹学-存贮论(存储论-库存论

1、第七章 存贮论(存储论,库存论) (Inventory theory)n引言n经济订货批量的存贮模型n具有约束条件的存贮模型n具有价格折扣优惠的存贮模型n单时期的随机存贮模型n教学目的与要求:在掌握EOQ公式的基础上,学会几种存储模型的求解方法及存储策略,并会用WinQSB求解存储问题.n重点与难点:EOQ公式及几个简单模型,难点是公式太多,难于记忆.n教学方法:以分析问题为主,公式推导为辅,结合WinQSB讲解.n思考题,讨论题,作业:本章习题.n参考资料:见前言.n学时分配:6学时.第一节 引言在生产和生活中,人们经常进行着各种个样的存贮活动,这是为了解决供应(或生产)与需求(或消费)之间

2、不协调或矛盾的一种手段.例如,一场战斗在很短时间内可能消毫几十万发炮弹,而兵工厂不可能在这么短的时间内生产那么多炮弹,这就是供需矛盾,为了解决这一矛盾,只能将军火工厂每天生产的炮弹储存到军火库内,以备战争发生时的需要.这种供需不协调的现象十分普遍,在农业,商业和物资领域大量存在.人们在解决这些矛盾时,很容易想到用存贮这个环节来协调供需之间的矛盾.我们可以把存贮看作中心,把供应与需求看作一个具有输入(供应)和输出(需求)的控制系统.存贮输入(供应)输出(需求)为什么要研究存贮问题?存贮量过大会有什么后果:1.由于不必要的存贮,增加了库存保管费及保管场地,而使产品价格增高;2.过高的存贮量占用了流

3、动资金使资金周转困难,降低了资金利用率;3.过量存贮降低了材料或产品的质量,甚至于产品过时,变质损坏.存贮量不足会有什么后果:1.由于原料不足可能会造成停工,停产等重大经济损失;2.因缺货失去销售机会,失去顾客;3.用频繁订货的方法以补充短缺的物资,这将增加订购费用.为了统一供,需和存贮诸方面的矛盾,就要对存贮系统进行分析.从获得最佳经济效益的目的出发,求出最佳订购批量,最佳订购周期,从而得到最佳存贮量,使整个存贮系统所支付的费用最少.用数学语言来说就是建立一个目标函数,这个目标函数是由总费用与定货批量或定货周期构成的,并求使得目标函数达到最小值的定货批量或定货周期.存储问题的基本概念存贮问题

4、的基本要素(1)需求率:指单位时间内对某种物品的需求量,以R表示.(2)定货批量:定货采用以一定数量物品为一批的方式进行,一次定货包含某种物品的数量称为批量,用Q表示.(3)定货间隔期:指两次定货之间的时间间隔,用t表示.(4)定货提前期:从提出定货到收到货物的时间间隔,用L表示.(5)存贮(定货)策略:指什么时间提出定货(对存储进行补充)以及定货(补充)的数量.几种常见的存储策略:t-循环策略:不论实际的存储状态如何,总是每隔一个固定的时间t,补充一个固定的存储量Q.(t,S)策略:每隔一个固定时间t补充一次,补充数量以补足一个固定的最大存储量S为准.因此每次补充的数量是不固定的,当存储余额

5、为I时,补充数量是Q=S-I.(s,S)策略:设s为定货点(或保险存储量,安全存储量,警戒点等).当存储余额为I,若Is则不对存储进行补充;若I s时,则对存储进行补充,补充数量Q=S-I.补充后的数量达到最大存储量S.(t,s,S)策略:在很多情况下,实际存储量需要通过盘点才能得知,若每隔一个固定时间t盘点一次,得知存储量为I,再根据I是否超过定货点s决定是否定货.与存贮问题有关的基本费用项目(1)一次费用或准备费用:每组织一次生产,定货或采购某种物品所必须的费用(如差旅费,手续费,检验费等).通常认为它与定购数量无关.但是,分配到每件物品上的费用随购买量的增加而减少,此费用用C3表示.(2

6、)存储费:包括仓库保管费,占用流动资金的利息,保险金,存贮物品的变质损失费等.以每件存贮物在单位时间内所发生的费用,用C1表示.(3)缺货损失费:这是一种由于未及时满足顾客需要而产生的损失,包括两种情况,其一是顾客不愿意等待而损失一笔交易,进而影响企业的声誉.其二是顾客愿意等待稍后的供应而发生的处理过期定货的损失,用C2表示.在一个存贮问题中主要考虑两个量:供应(需求)量的多少;何时供应(需求),即量和期的问题.按这两个参数的确定性和随机性,可分为确定性存贮模型和随机性存贮模型.第二节 经济定货批量的存贮模型1.基本的EOQ(Economic order quality 经济定货批量,1915

7、年,英国,Harris)模型设一种物品的需求率R(件/年)是已知常数,并以批量Q供应给需求方,瞬间供货,不允许缺 货,货到后存在仓库中,并以速率R消耗掉.该类问题只考虑两种费用:定货费C3(元/次),存贮费C1(元/件年),试确定每次的定货批量为多少时,使全年的总费用为最少.解:先用图形表示这一过程QtT时间数量OC表示全年发生的总费用,TOC表示全年内的定货费,TCC表示全年内的的存储费,n表示全年的平均定货次数,.QDn 平均存储量为 这是因为在时间t内的需求量为Dt,此时的库存量为Q-Dt,则平均库存量为.21Q2211,.2DTOCCnCTCCC QQ.212121)21(1)|21|

8、(1)(120200QQQDTQDTQTTDtQtTdtDtQTTTT2122121121,2210,2.2.DCTOCTCCCC QTCQC DDCdCCQQEOQdQQCCDC C 求的最小值称为公式此时212,.CQDTnDDCQ最佳定货周期为例1 某商店有甲商品出售,每单位甲商品成本为500元,其存储费用每年为成本的20%,该商品每次的定购费为20元,顾客对甲商品的年需求量为365个,如不允许缺货,定货提前期为零,求最佳定购批量最小费用及最佳定货周期.解:21221120/,500 20%100/,365/,22 20 36512(),21002 20 100 3651208(),12

9、/.CCDC DQCC C DCQTD元 次元 年个 年单位元天 次如果定货方式不按上边的办法,而是采取任意一种方式,如每隔20天定货一次,每次定购20个单位,其总费用又如何呢?根据前边的证明可知,平均存贮量为 ,则在这种定购方式下,平均存贮量为10个单位,于是Q21).,(36525.1820),(25.1820365),(100010%20500元总费用为元每年的定购费为次每年的定购次数为元每年的存贮费为显然比按EOQ公式计算的结果要差.2.一般的EOQ模型时间库存oAAMBE1S2SCt1t2t3t4t在一般的EOQ模型中,允许库存发生短缺.生产部门按一定的速率

10、P进行生产,需求部门的需求速率为D(PD),在 段,按速率P生产,如果在这段无需求量,则存贮量可达到 点,如果有需求量实际可达到A点.在 和 内生产停止,但需求仍按速率D进行,到达B点后存贮量为零,到C点发生最大短缺,从该点又恢复生产,到E点补上短缺量,并开始一个新的生产周期.设 为最大存贮量, 为最大短缺量, 为开始一个周期的生产准备费, 为单位产品在单位时间的存贮费, 为发生单位产品在单位时间短缺时的损失费,确定总费用为最小的最佳生产批量Q.1tA2t3t1S2SDCPCSC解:一个生产周期的长度为 ,若分别用OC,CC,SC表示一个周期的生产准备费,存贮费和短缺费,TC表示单位时间的平均

11、费用,则4321tttt.)(2)(2),(2),(2,43214322114321432211ttttttSCttSCCttttSCCCOCTCttSCSCttSCCCCOCSPDSPD2212121111,)(tDPPtttDPDtDttDPDtPtS所以因为)()(),(,)(32432132432134334432ttDPPDttttDQttDPPtttttDPPtttDPDttDPDtS,)(2)()(22322322323322tttCtCDPDPCttDPPtDPPDtCtDPPDtCCTCSPDsPD0)(22)(2)(0)(22)(2)(2322332232323222322

12、322tCtCDtCttDPDPCtttTCtCtCDtCttDPDPCtttTCSPSDSPPD解出.332tCCCttPPSSPDSPSPSPDSPPSDSPSPDSPPPDSPSPDCCPDCCDCTCCCCPDDCCDtSCCCPDDCCDtSPDCCCCDCQCCDCPDCCtCCDCPDCCt)1 (2,)()1 (2,)()1 (2,)1 ()(2)()1 (2,)()1 (23221233.定货提前期为零,允许缺货的EOQ模型设S为最大允许缺货量,在 时间间隔内,库存量是正值,在 时间间隔内发生短缺.每当新的一批零件到达,马上补足供应所短缺的数量S,然后将Q-S的物品储存在仓库

13、.因此在这种情况下,最高的库存量是Q-S,该模型总费用包括:定货费保管费 和短缺费用 ,现在确定经济批量Q及供应间隔期 ,使平均总费用最小.1t2t2C1C3Ct时间数量OQ1Q2Q1t2tt解:2131231313321113122313213132()2,2()2,()2().C D CCDC C CQCC CCCCDCCCCC C DC CCC CCTDC C经济存储量Q =,最佳缺货量Q最佳定货周期例2 某百货公司对海尔电冰箱的年需求量为4900台,设每次定购费为50元,每台每年存储费为100元.如果允许缺货,每台每年的缺货损失费为200元,试求最佳存贮方案.解:21350/,100/

14、,200/,4900/.CCCD元 次元 台 年元 台 年年 台 年22 4900 50(100200)85(),100 2002 50 100 490028()200(100200)2 50(100200)0.0174()6.35(),4900 100 2002 4900 50 100 2005715().100200QQTC台台年天元4.非瞬时进货,不允许缺货的EOQ模型时间库存AAOBS1t2tt.,21为最小内的费用周期使在的值及相应的确定最佳生产批量TCtSttQ公式如下:2121212,2(1)(1)2.C DQCC C DD PCD PCPTC DPD注:P为生产速率,D为消耗速

15、率,PD.例3 某企业每月需某产品100件,由内部生产解决,设每月生产500件,每批装备费为5万元,每件每月存储费为0.4万元/件,求最佳生产批量及最小费用(计划期为一个月).解:D=100件/月,P=500件/月,C1=0.4万元/件,C2=5万元/次.2122 5 10056(1/)0.4(1 100/500)C DQCD P 件212(1/)2 5 0.4 100(1 100/500)17.89CC C DD P 万元第三节 具有约束条件的存储模型如果在存贮模型中包含有多种物品,且定货批量受到仓库面积和资金等方面的限制,这样在考虑最优定货批量时需要增加必要的约束条件.现在只考虑仓库容量的

16、限制条件.121(1,2, ),:.,iiiiniiiiQiiniwWQwWiDCC设为第 种物品的定货批量 已知第 种物品占用的存储空间为仓库的最大容量为则考虑各种物品的定货批量时 应加上约束条件又设第 种物品的定货提前期为零 单位时间的需求率为定货费和保管费分别为则使总费用最小的数学模型为21111min2. .0,1,iiniiiiniiiiDTCCC QQQwWstQin在不考虑约束条件时,如果用最佳定货批量公式算出的结果满足 式,则此时的各物品的最优定货批量已求出,否则应按拉格朗日乘数法求最优定货批量,即121111( ,)2(0)iinniniiiiiiDLQQCC QQwWQ21

17、211020iiiiiiniiiC DLCwQQLQwW 2122iiiiiC DQCw在具体计算时,可令 由 式求出 的值,将其代入 式,如果满足此式,则各物品的最佳定货批量已得到,否则,可逐步减小 值,一直到求出的 值代入 式满足为止.0iQiQ例4 考虑一个具有三种物品的存储问题,有关数据如下表,已知总的存储量为W=30立方米,试求各种物品的最佳定货批量.物品 1 2 3 10 5 15 2 4 4 0.3 0.1 0.2 1 1 12iCiD1iC)(3mwi解:当 时,由 可得2122iiiiiC DQCw. 5 .242 . 04152,201 . 0452, 5 .113 . 0

18、2102321QQQ:,305631其过程如下值进行试算现在减小即不满足此式式代入iiiwQ0 -0.05 -0.10 -0.15 -0.20 10.0 9.0 8.2 7.6 14.1 11.5 10.0 8.9 17.3 14.9 13.4 12.2 41.4 35.4 31.6 28.71Q2Q3QiiiwQ31.13, 9, 8321QQQ第四节 具有价格折扣优惠的存贮模型生产或销售部门为鼓励用户加大定货批量,常常规定一次定货量达到规定数量时,给予价格折扣优惠.,.,.,132133222111QQQCCCCQQQCQQQCQQ若计算出经济定货批量价格折扣优惠先不考虑例不允许缺货的模型

19、型为以瞬时进货较加总一起进行比短缺损失费同货物价格存贮费费就需把定货在计算最佳定货批量时中其等等每件价格为时件价格为每时每件价格为时设定货量.,;,22121依此类推时的各项费用总和只须比较定货量为时若总和时的上述各项费用需比较定货量为QQQQQQQQ例5 (P200例8.5)某复印社每月约消耗 复印纸80箱，他从汇文批发站进货，每进一次货发生的固定费用200元。汇文批发站规定，一次购买量 箱时，每箱120元， 时，每箱119元，当 箱时，每箱118元。已知存储费为16元/年箱，求该复印社每次进货的最佳批量，使全年的总费用为最少。4A300Q 300500Q500Q 解：2121960,200

20、,16,22 200 960155.16DCCC DQC因为 ，故需将一次进货量同 ， 时的全年总费用比较。1300QQ155Q 1300Q 2500Q 当 时，全年总费用为960120016 155960 120117678.701552元Q155当一次进货为 时，全年总费用为1Q300960120016 300960 1191172803002元当一次进货为 时，全年总费用为2Q500960120016 500960 1181176645002元最优决策：每次进货300箱，全年总费用最少。 第二节所学的存储问题中，需求与补充的相关各量都是确定的，但实际问题中需求量往往是一个不确定的值，如果

21、能将它表示成一个随机变量，这就是需求是随机的存储模型。这里只研究单周期随机存储问题。典型的单周期存储模型是“报童问题”（Newsboy Problem），它是由报童卖报演变而来的，在存储论和供应链的研究中有广泛地应用。第五节 单周期随机存储模型 该问题的特点是，在一个周期内订货只进行一次，若未到期末货已售完也不再补充订货；若发生滞销，未售出的货应在期末降价处理。无论是供大于求还是供不应求都会造成损失，研究的目的是确定该时期的订货量，使预期的总损失最少或总盈利最大。此问题在现实中大量存在，如报纸、书刊、服装、食品、计算机硬件等时令性产品的订货。为了便于研究，需要引入各变量的记号：X：一个时期的需

22、求量，是一个非负的随机量Q：一个时期的订货批量C：单位产品的获得成本（Unit Acquisition Cost),即产品的购入价格P：单位产品的售出价格（Unit Selling Price)V：单位产品的残值（Unit Salvage Value)，即未售出剩余产品的处理价格B：单位产品的缺货成本（Unit Shortage Cost)H：供过于求时单位产品一个时期内的持有（存储）成本，供不应求时等于零 ：供过于求时单位产品总成本（Unit Overstock Cost），即 =C-V+H ：供不应求时单位产品总成本（Unit Understock Cost),即 =P-C+B0C0CuC

23、uC一、需求是离散型随机变量的报童问题 如果一个时期内需求量 是一个随机变量，其取值为 ，概率分布为 ，最优存储策略是使该时期内的总期望费用最小，或总期望收益最大。 当订货批量 时，供大于求发生存储，总费用的期望值为X,1,2,ix in( )iP xiQx0() ( )iiiQ xCQx P x当订货批量 时，供不应求发生缺货，总费用的期望值为iQx() ( )iuiiQ xCxQ P x 综上可得总费用用的期望值为0 ( )() ( )() ( )iiiiuiiQ xQ xE C QCQx P xCxQ P x 我们希望求得总费用期望值的最优值。X 是离散型随机变量，不能用求导数的方法求极

24、值。由于 取非负整数，由上式得出 取最小值的必要条件为XQ ( ) (1) ( ) (1)E C QE C QE C QE C Q于是有1002100 (1)(1) ( )(1) ( ) ( ) (1)(1) ( )(1) ( ) ( )iiiiQiiuiixxQQiiuiixxQE C QCQx P xCxQP xE C QE C QCQx P xCxQP xE C Q 解上式得到00100( )( )iiQuixuQuixuCP xCCCP xCC最佳订货批量应按下面的不等式确定：1000( )( )iiQQuiixxuCP xP xCC设 称为临界值，它的两边都是累加概率。实际操作时，取

25、所有大于临界值的累加概率中的最小者为最佳订货批量 。0uuCMCCQ例6 报童问题：某报童每天向邮局订购报纸若干份。若报童一提出订购，立即可拿到报纸。设订购报纸每份0.35元，零售报纸每份0.50元，如果当天没有售完，第二天可退回邮局，邮局按每份0.10元退款。已知这种报纸需求的概率分布如下表，问报童应定多少份报纸才能保证损失最少而赚钱最多？需求X9 10 11 12 13 14P(x)0.05 0.15 0.20 0.40 0.15 0.05 解：已知C=0.35，P=0.50，V=0.10，如果当天订货批量小于需求量，则B=0，H=0。000.350.1000.250.500.3500.1

26、50.150.3750.150.25uuuCCVHCPCBCMCC计算上表的累加概率得到101100( )0.200.375( )0.40 xxP xMP x因此， ，即报童每天向邮局订购11份报纸，能使报童每天获利最多。11Q例7 某设备上有一关键零件需要更换，需求量 服从泊松分布，根据以往的经验平均需求量为5件，此零件的价格为100元/件。若零件用不完，到期末完全报废；若备件不足，待零件损坏后再去购买，就会造成停工损失180元。试确定期初应准备多少件配件最好？X解：已知C=100，B=180，V=H=0,售价P=C=100，因此0100,100 100180180uCCVHCPCB泊松分布的概率分布为( ),0,1,!xP xexx根据题意，参数 （为什么？），临界值501800.6428180 100uuCMCC查泊松分布的概率分布值表，计算其累计概率可知，当 时6Q 5600()0.51600.6428()0.7622xxP xMP x即期初应有6个备件最好。二、需