高等数学：级数的收敛、求和与展开 习题课

1、习题课习题课级数的收敛、求和与展开级数的收敛、求和与展开 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、幂级数和函数的求法三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数和傅氏级数四、函数的幂级数和傅氏级数 展开法展开法一、数项级数的审敛法一、数项级数的审敛法二、求幂级数收敛域的方法二、求幂级数收敛域的方法 )(0 xunn 求和)(xS展开(在收敛域内进行)(0 xunn基本问题基本问题：判别敛散；求收敛域；求和函数；级数展开.为傅立叶级数.xnbxnaxunnnsincos)(当为傅氏系数) 时,时为数项级数;0 xx 当nnnxaxu)(当时为幂级数;nnba ,(一、数项级数的审敛法一、数项级数的审

2、敛法1. 利用部分和数列的极限、性质判别级数的敛散性2. 正项级数审敛法必要条件0limnnu不满足发 散满足比值审敛法 limn1nunu根值审敛法nnnulim1收 敛发 散1不定 比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限13. 任意项级数审敛法为收敛级数1nnuLeibniz判别法判别法: 若,01nnuu且,0limnnu则交错级数nnnu1) 1(收敛 ,概念概念:且余项.1nnur1nnu若收敛 ,1nnu称绝对收敛1nnu若发散 ,1nnu称条件收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 若级数11nnnnba 与均收敛 , 且nnnbca, ),2, 1(n证明级数1nn

3、c收敛 .证证: nnnnabac0, ),2,1(n则由题设)(1nnnab 收敛)(1nnnac 收敛1nnc)(1nnnnaac)(1nnnac 1nna收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 判别下列级数的敛散性:;1) 1 (1nnnn;2) !()2(122nnn;2cos)3(132nnnn;ln1)4(210nn. )0,0()5(1sanansn提示提示: (1) ,1limnnn有时当,Nn 11nn)1 (11nnnn据比较判别法, 原级数发散 .因调和级数发散,0N机动 目录 上页 下页 返回 结束 或用比较法（1/n）利用比值判别法, 可知原级数发散.用比值法

4、, 可判断级数12nnn?1/ln110pnn原级数发散 . :2) !()2(122nnn:2cos)3(132nnnn:ln1)4(210nn: )0,0()5(1sanansn用比值判别法可知:时收敛 ;时, 与 p 级数比较可知时收敛;1s时发散.再由比较法可知原级数收敛 .1s1a时发散.1a1a21nn发散,收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 设正项级数1nnu和1nnv12)(nnnvu也收敛 .提示提示: 因,0limlimnnnnvu存在 N 0,nnnnvvuu22,又因)(222nnvu)()(2Nnvunn利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确.都收敛

5、, 证明级数当n N 时2)(nnvu 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 设级数1nnu收敛 , 且,1limnnnuv1nnv是否也收敛？说明理由.但对任意项级数却不一定收敛 .,) 1(nunn问级数提示提示: 对正项级数,由比较判别法可知1nnv级数1nnu收敛 ,1nnvnnnuvlim收敛,级数发散 .nnn) 1(lim11例如, 取nnvnn1) 1(机动 目录 上页 下页 返回 结束 ;1ln) 1()3(1nnnn例5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:;1) 1() 1(1npnn;sin) 1()2(1111nnnn.! ) 1() 1()4(11nnnnn

6、提示提示: (1) P 1 时, 绝对收敛 ;0 p 1 时, 条件收敛 ;p0 时, 发散 .(2) 因各项取绝对值后所得级数 原级数绝对收敛 .故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,111收敛nn11ln) 1()3(nnnn)11(ln1lnnnnun因单调递减, 且111ln nnn所以原级数仅条件收敛 .由Leibniz判别法知级数收敛 ;0limnnu机动 目录 上页 下页 返回 结束 所以级数不绝对收敛 .11! ) 1() 1()4(nnnnn因nnuu12)2(! )2(nnn1)111 (12nnnn1! ) 1(nnnn11e所以原级数绝对收敛 .机动 目录 上页 下

7、页 返回 结束 大家注意用定义、性质、必要条件判敛的方法。大家注意用定义、性质、必要条件判敛的方法。二、求幂级数收敛域的方法二、求幂级数收敛域的方法 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R , 再讨论Rx 非标准形式幂级数通过换元转化为标准形式直接用比值法或根值法处的敛散性 .例7. 求下列级数的敛散（开）区间:;)11 ()2(12nnnxn.2)4(21nnnxn练习练习:机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 解解:nnnnnna)11 (limlim当ex1因此级数在端点发散 ,enn1)11 (nneu nn)11 ( nn)11 ( )(01ne. )1,1(eee时,12)11 ()

8、2(nnnxn,1eR exe11即时原级数收敛 .故收敛区间为机动 目录 上页 下页 返回 结束 nnnxn212)4()()(lim1xuxunnn解解: 因) 1(2121nnxn22xnnxn22,122x当时，即22x,2时当x故收敛区间为. )2,2(级数收敛;一般项nun不趋于0,nlim级数发散; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.) 1(31的收敛半径求幂级数nnnnxn解解: 分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数,lim1nnaannnnalim极限不存在1)(kkx,24212kkkxk1)(kkx12112122kkkxk)()(1limxxnnn,)4(2x41

9、1R)()(1limxxnnn,)2(2x212R 原级数 =1)(kkx1)(kkx 其收敛半径4121,minRRR注意: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求部分和式极限三、幂级数和函数的求法三、幂级数和函数的求法 求和 和的分析性质 逐项求导或求积分nnnxa0)(*xS对和式积分或求导)(xS难直接求和: 直接变换,间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值求部分和等 初等变换法: 分解、套用公式（在收敛区间内） 数项级数 求和机动 目录 上页 下页 返回 结束 nnnxa0例例3. 求幂级数.!) 12(1) 1(120的和函数nnnxnn法法1 易求出级数的收敛域为),(022)(

10、! ) 12(1) 1(21nnnxn原式120! ) 12() 1(21nnnxnx)sin(21xx,cos2sin21xxx ),(x机动 目录 上页 下页 返回 结束 法法2先求出收敛区间, )(xS则xnnnxttnnttS01200d! ) 12(1) 1(d)(220! ) 12() 1(nnnxn21120! ) 12() 1(2nnnxnxxxsin2,cos2sin21)(xxxxS, ),(设和函数为),(x机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习练习:.) 1()4(1nnnnx;212) 1() 1(21nnnxn解解: (1) )(21121nnnx原式) 120(

11、2x12)2(1nnxx222211xxx22xx222)2(2xx显然 x = 0 时上式也正确,. )2,2(x故和函数为而在2xx0,)2(2)(222xxxS例8. 求下列幂级数的和函数：级数发散,机动 目录 上页 下页 返回 结束 (4)nnxnn1111原式xnntt011dxnnttx01d1ttxd110tttxxd1100 x)1ln(x)1(ln11xx)1(ln)11(1xx) 10( xttnnxd110ttxnnxd110机动 目录 上页 下页 返回 结束 1) 1(nnnnx, )1(ln)11(1xx显然 x = 0 时, 和为 0 ; 根据和函数的连续性 , 有

12、)(xS110, )1(ln)11(1xxxx及0 0 x，1 1x，10 xx = 1 时, 级数也收敛 . 即得机动 目录 上页 下页 返回 结束 00! )12() 1(! )2() 1(21nnnnnn练习练习:0! ) 12(1) 1(nnnn解解: 原式=0! )12() 1(nnn1cos21的和 .1) 12(n211sin例9. 求级数机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、函数的幂级数展开法四、函数的幂级数展开法 直接展开法 间接展开法练习练习:1. 将函数2)2(1x展开成 x 的幂级数. 利用已知展式的函数及幂级数性质 利用泰勒公式解解:xx21)2(1221121x0

13、221nnnx,22111nnnxn)2,2(x机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 函数的幂级数展开法2. 设)(xf0,arctan12xxxx0,1x, 将 f (x)展开成x 的幂级数 ,1241) 1(nnn的和. 解解:211x,) 1(02nnnx)1 , 1(xxarctanxxx02d11,12) 1(012nnnxn1 , 1x)(xf1212) 1(1nnnxn02212) 1(nnnxn于是并求级数机动 目录 上页 下页 返回 结束 02212) 1(nnnxn12112) 1(nnnxn)(xf1212) 1(1nnnxn1212) 1(1nnnxn12121121) 1(1nnnxnn,41) 1(21122nnnxn1 , 1x1241) 1(nnn 1) 1 (21f214机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 函数的傅式级数展开法系数公式及计算技巧; 收敛定理; 延拓方法练习练习: xyo),上的表达式为 ),0,)0,0)(xexxfx将其展为傅氏级数 .na1xnxexdcos021)cossin(1nnxnxnex0),2, 1,0(11) 1(12nnen设 f (x)是周期为2的函数