计算方法-方程组cppt课件

1、5 5 向量和矩阵的范数向量和矩阵的范数 1 1向量的范数向量的范数定义定义1 1：设：设X X R n R n， 表示定义在表示定义在RnRn上的一个实值函数，上的一个实值函数，称之为称之为X X的范数，它具有下列性质：的范数，它具有下列性质：XaaX（3三角不等式：即对任意两个向量三角不等式：即对任意两个向量X、Y R n，恒有，恒有 YXYX(1) (1) 非负性：即对一切非负性：即对一切X X R n R n，X X 0, 0, 0 0(2) (2) 齐次性：即对任何实数齐次性：即对任何实数a a R R，X X R n R n， 设设X = (x1, x2, xn)TX = (x1,

2、 x2, xn)T，则有，则有nxxxX211（1）222212nTxxxXXX（2）inixX1max（3）三个常用的范数：三个常用的范数：定理定理6 6：在：在RnRn上定义的任一向量范数上定义的任一向量范数 都与范数都与范数 等价，等价， 即存在正数即存在正数 M M 与与 m ( Mm ) m ( Mm ) 对一切对一切X XRnRn，不等式，不等式X1X11XMXXm成立。成立。推论：推论：RnRn上定义的任何两个范数都是等价的。上定义的任何两个范数都是等价的。 111XXXnXnXX1XnXX2对常用范数，容易验证下列不等式：对常用范数，容易验证下列不等式： 矩阵范数的基本性质：矩

3、阵范数的基本性质： （1当当A = 0时，时， 0，当，当A 0时，时， 0AA（2对任意实数和任意A，有AkkA （3对任意两个对任意两个n阶矩阵阶矩阵A、B有有BABA（4对任意两个对任意两个n阶矩阵阶矩阵A、B，有，有BAAB2 2矩阵的范数矩阵的范数定义定义3 3：设：设A A为为n n 阶方阵，阶方阵，RnRn中已定义了向量范数中已定义了向量范数 ， 则称则称 为矩阵为矩阵A A的相容范数，的相容范数， 记为记为 。AXx1supAAXAx1sup矩阵的相容范数：矩阵的相容范数：12211()nnijFijAa矩阵的矩阵的F范数：范数：定理定理8 8：设：设n n 阶方阵阶方阵A =

4、 (aij)nA = (aij)nn n，那么，那么（）与）与 相容的矩阵范数是相容的矩阵范数是1xniijjaA11max（）与）与 相容的矩阵范数是相容的矩阵范数是2x12A其中其中1 1为矩阵为矩阵ATAATA的最大特征值。的最大特征值。（）与）与 相容的矩阵范数是相容的矩阵范数是xnjijiaA1max矩阵相容范数的性质：矩阵相容范数的性质： （1）1;E （2对任意向量对任意向量XRn，和任意矩阵，和任意矩阵A，有，有XAAX（3）1()1/ (1)EBB1,BEB 时可逆且 求解求解 时，时，A 和和 的误差对解的误差对解 有何影响？有何影响？bxA bx 设设 A A 准确，准确

5、， 有误差有误差 ，得到的解，得到的解为为 ，即，即bb xx bbxxA )(bAx 1 |1bAx 绝对误差放大因子绝对误差放大因子|xAxAb 又又|1bAx |1bbAAxx 相对误差放大因子相对误差放大因子4. 4. 线性方程组的性态和解的误差分析线性方程组的性态和解的误差分析2 Error Analysis for . bxA 设设 准确，准确，A A有误差有误差 ，得到的解，得到的解为为 ，即，即bA xx bxxAA )( bxxAxxA )()( )(1xxAAx |11AAAAAAxxx bxAAxAA )()(xAxAA )(xAxAAIA )(1xAAAAIx 111)

6、( Wait a minute Who said that ( I + A1 A ) is invertible?(只需只需 A充分小，使充分小，使得得)1|11 AAAA |1|1|1111AAAAAAAAAAAAxx 是关键是关键的误差放大因子，称为的误差放大因子，称为A的条件数，记为的条件数，记为cond (A) ,越越 那么那么 A 越病态，越病态，难得准确解。难得准确解。|1 AA大大定义定义5 5：设：设A A 为为n n 阶非奇矩阵，称数阶非奇矩阵，称数 为矩阵为矩阵A A的条件数，的条件数，AA1条件数的性质：条件数的性质： ）cond ( A )1）cond ( kA )=

7、cond ( A ) k cond ( kA )= cond ( A ) k 为非零常数为非零常数）假设）假设 ， 那么那么1A1)(cond AA记为记为cond( A )cond( A )。 例：例：Hilbert 阵阵 12111131211211nnnnnHcond (H2) =27cond (H3) 748cond (H6) =2.9 106cond (Hn) as n 注：一般判断矩阵是否病态，并不计算注：一般判断矩阵是否病态，并不计算A1，而由经，而由经验得出。验得出。 行列式很大或很小如某些行、列近似相关）；行列式很大或很小如某些行、列近似相关）； 元素间相差大数量级，且无规则；元素间相差大数量级，且无规则； 主元消去过程中出现小主元；主元消去过程中出现小主元； 特征值相差大数量级。特征值相差大数量级。 近似解的误差估计及改善：近似解的误差估计及改善：设设 的近似解为的近似解为 ，则一般有，则一般有bxA *x0* xAbrbrxxx|*| cond (A)误差上限误差上限 改善方法：改善方法：Step 1:近似解近似解 bxA;1xStep 2:;11xAbr Step 3:;111drdA Step 4:;112dxx 假设假设 可被精确解出，则可被精确解出，则有有 就是精确解了。就是精确解了。1dbA