邱关源五版《电路》第八章

1、第第8 8章章 相量法相量法 复数复数8.1正弦量正弦量8.2相量法的基础相量法的基础8.3电路定律的相量形式电路定律的相量形式8.4首首 页页本章重点本章重点2. 2. 正弦量的相量表示正弦量的相量表示3. 3. 电路定理的相量形式电路定理的相量形式l 重点：重点：1. 1. 正弦量的表示、相位差正弦量的表示、相位差返 回1. 1. 复数的表示形式复数的表示形式) 1(j为为虚虚数数单单位位FbReIma0|F|bajFeFFj)sin(cos|jbaFj|jFeFFj|eFF 下 页上 页代数式代数式指数式指数式极坐标式极坐标式三角函数式三角函数式8.1 8.1 复数复数返 回几种表示法的

2、关系：几种表示法的关系：ab baFarctan | 22或或sin| cos| F bFa2. 2. 复数运算复数运算 加减运算加减运算 采用代数式采用代数式下 页上 页FbReIma0|F|baFj|jFeFF返 回则则 F1F2=(a1a2)+j(b1b2)若若 F1=a1+jb1， F2=a2+jb2图解法图解法下 页上 页F1F2ReIm0F1+F2-F2F1ReIm0F1-F2F1+F2F2返 回 乘除运算乘除运算 采用极坐标式采用极坐标式若若 F1=|F1| 1 ，F2=|F2| 2则则下 页上 页模相乘模相乘角相加角相加模相除模相除角相减角相减返 回2121)( j21j2j1

3、21 eee2121FFFFFFFF e|e|e| | |2121)j(212j2j1221121211|F|FFFFFFFFF例例1-1 )226. 4 j063. 9()657. 3 j41. 3(原原式式569. 0 j47.12解解下 页上 页例例1-2解解2 .126j2 .180原原式式329. 6 j238. 22 .126j2 .180返 回?251047561. 248.12?5 j20j6)(4 j9)(1735220 04.1462.203 .56211. 79 .2724.1916.70728. 62 .126j2 .180365 .2255 .132j5 .182 旋

4、转因子旋转因子复数复数 ej =cos +jsin =1F ejFReIm0F ej下 页上 页旋转因子旋转因子返 回j2sinj2cos ,22jej)2sin(j)2cos(,22je1)sin(j)cos(,je +j, j, -1 都可以看成旋转因子。都可以看成旋转因子。特殊特殊旋转因子旋转因子ReIm0FFjFjF下 页上 页注意返 回8-2 正弦量正弦量1. 1. 正弦量正弦量l瞬时值表达式瞬时值表达式i(t)=Imcos(w t+)tiOTl周期周期T 和频率和频率f频率频率f ：每秒重复变化的次数。：每秒重复变化的次数。周期周期T ：重复变化一次所需的时间。：重复变化一次所需的

5、时间。单位单位: :Hz ( (赫兹赫兹) )单位：单位：s(秒秒) )Tf1正弦量为周期函数正弦量为周期函数 f(t)=f ( t+kT )下 页上 页波形波形返 回l正弦电流电路正弦电流电路 激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路（正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。（正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。 正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重要的地位。占有十分重要的地位。l研究正弦电路的意义研究正弦电路的意义 正弦函数是周期函数，其加、减、求导、正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分运算后仍是同频率的

6、正弦函数；积分运算后仍是同频率的正弦函数； 正弦信号容易产生、传送和使用。正弦信号容易产生、传送和使用。下 页上 页优点返 回 正弦信号是一种基本信号，任何非正弦周期信正弦信号是一种基本信号，任何非正弦周期信号可以分解为按正弦规律变化的分量。号可以分解为按正弦规律变化的分量。)cos()(kn1kkwtkAtf 对正弦电路的分析研究具有重要的理对正弦电路的分析研究具有重要的理论价值和实际意义。论价值和实际意义。下 页上 页结论返 回 幅值幅值 ( (振幅、最大值振幅、最大值) )Im(2) (2) 角频率角频率2. 2. 正弦量的三要素正弦量的三要素(3)(3) 初相位初相位Tf22w单位：单

7、位： rad/s ，弧度弧度/ /秒秒反映正弦量变化幅度的大小。反映正弦量变化幅度的大小。相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。 反映正弦量的计时起点，常用角度表示。反映正弦量的计时起点，常用角度表示。 i(t)=Imcos(w t+) 下 页上 页返 回同一个正弦量，计时起点不同，初相同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。位不同。 =0 =/2 =/2下 页上 页iOwt注意返 回一般规定一般规定：| | 。例例2-1已知正弦电流波形如图，已知正弦电流波形如图，w103rad/s，1.1.写出写出i(t) 表达式；表达式；2.求最大值发生的时间求最大值发生

8、的时间t1 1。tiO10050t1解解)10cos(100)(3tticos100500t3由于最大值发生在计时起点右侧由于最大值发生在计时起点右侧3)310cos(100)(3tti有有最最大大值值当当 310 13tms047. 1s10331t下 页上 页返 回3. 3. 同频率正弦量的相位差同频率正弦量的相位差设设 u(t)=Umcos(w t+ u), i(t)=Imcos(w t+ i)相位差相位差 ：j = (w t+ u)- (w t+ i)= u- i下 页上 页等于初相位之差等于初相位之差返 回规定规定： |j | 0， u超前超前i j 角角，或或i 滞后滞后 u j

9、角角 (u 比比 i 先先到达最大值到达最大值) )。l j 0， i 超前超前 u j 角，或角，或u 滞后滞后 i j 角（角（ i 比比 u 先先 到达最大值）。到达最大值）。下 页上 页返 回w tu, iu iuijOj 0， 同相同相j = (180o ) ，反相反相特殊相位关系特殊相位关系w tu i0w tu i0j= /2：u 领先领先 i /2 w tu i0同样可比较两个电压或两个电流的相位差。同样可比较两个电压或两个电流的相位差。下 页上 页返 回例例计算下列两正弦量的相位差。计算下列两正弦量的相位差。)15 100sin(10)( )30 100cos(10)( )2

10、(0201ttitti)2 100cos(10)( )43 100cos(10)( ) 1 (21ttitti)45 200cos(10)( )30 100cos(10)( )3(0201ttuttu)30 100cos(3)( )30 100cos(5)( )4(0201ttitti下 页上 页解解3 4( 2)5 4j 43245j000135)105(30j)105100cos(10)(02tti不能比较相位差不能比较相位差21ww000120)150(30j)150100cos(3)(02tti两个正弦量两个正弦量进行相位比进行相位比较时应满足较时应满足同频率、同同频率、同函数、同符函

11、数、同符号，且在主号，且在主值范围比较。值范围比较。 结论返 回4. 4. 周期性电流、电压的有效值周期性电流、电压的有效值 周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。l周期电流、电压有效值定义周期电流、电压有效值定义R直流直流IR交流交流 ittiRWTd)(20TRIW2物物理理意意义义下 页上 页返 回TttiTI02defd)(1下 页上 页均方根值均方根值定义电压有效值：定义电压有效值：TttuTU02defd)(1l 正弦电流、电压的有效值正弦电流、电压的有效值设设 i

12、(t)=Imcos(w t+ )返 回ttITITd ) (cos1022mwTtttttTTT2121 d2) (2cos1d ) (cos 0002wwmm2m707. 0221 IITITI) cos(2) cos()(mwwtItItiII2 m下 页上 页返 回因为因为所以所以同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：UUUU2 21mm或或若交流电压有效值为若交流电压有效值为 U=220V ， U=380V 其最大值为其最大值为 Um311V Um537V下 页上 页注意工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如工程上说的正弦电压、电流一般指有效

13、值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。压水平时应按最大值考虑。返 回 测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一般为有效值。数一般为有效值。 区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。符号。UUuIIi, ,mm下 页上 页返 回8.3 8.3 相量法的基础相量法的基础1. 1. 问题的提出问题的提出电路方程是微分方程：电路方程是微分方程：下

14、页上 页RLC+-uCiLuS+-返 回)cos( tUumsw求求：i (t), uL(t) , uR(t)的稳态解的稳态解方程特解方程特解 RCLtCLRUimwwwww1tgcos1122难点难点1：求特解的待定系数：求特解的待定系数2S2ddddddiiuLCRCittt tiLuLdd LSCuRiuu)(求导求导90coswwtZULm090coswwtCZUmwtZUimcos)(难点难点2：正弦量的：正弦量的 微分微分/积分计算积分计算难点难点3：正弦：正弦量的量的 计算计算wtZRUumRcos)(各支路量有何特点？各支路量有何特点？思考所有支路电压电流均所有支路电压电流均以

15、相同频率变化以相同频率变化!下 页上 页返 回i1i1+i2 i3i2www角频率角频率下 页上 页I1I2I3有效值有效值 1 2 3初相位初相位w tu, ii1 i20i3返 回两个正弦量的相加：如两个正弦量的相加：如KCL、KVL方程运算：方程运算：) cos(2111wtIi) cos(2222wtIi(b) 幅值幅值 (Im)(a) 角频率角频率(w )(c) 初相角初相角( )用什么可以同时表示幅值和相位？用什么可以同时表示幅值和相位？思考 同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只需确定初相位和有效值。因此采用所以，只需确定初相位和有效值。

16、因此采用正弦量正弦量复数复数变换的思想变换的思想结论下 页上 页返 回下 页上 页返 回Charles Steinmetz(1865-1923) 查尔斯查尔斯steinmetz：美籍德国人，电气工程师，：美籍德国人，电气工程师，电气工程领域的先驱，发明商用的交流电机。电气工程领域的先驱，发明商用的交流电机。 他自认为最重要的三项成果是：他自认为最重要的三项成果是：(1)从事电磁从事电磁领域的研究工作；领域的研究工作； (2)建立一个实用简便的建立一个实用简便的使用复数计算交流电数值的方法、使用复数计算交流电数值的方法、(3)弧光现弧光现象的研究。象的研究。 steinmetz发明了三相电路。他

17、的发明了三相电路。他的工作使电力工业在美国大力发展。工作使电力工业在美国大力发展。 查尔斯查尔斯steinmetz被认为是美国电气工程领域的先驱。被认为是美国电气工程领域的先驱。 造一个复函数造一个复函数) j(e2)(wtItF对对 F(t) 取实部取实部)() cos(2)(RetitItFw 任意一个正弦时间函数都有唯任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数。一与其对应的复数函数。) j(e2)( ) cos(2wwtItFtIi) sin(2j) cos(2wwtItI无物理意义无物理意义是一个正弦量是一个正弦量 有物理意义有物理意义3. 3. 正弦量的相量表示正弦量的相量表示下

18、 页上 页结论返 回F(t) 包含了三要素包含了三要素：I、 、w，复常数包含了两个要素：复常数包含了两个要素：I , 。F(t) 还可以写成还可以写成ttIItFwwjjje2ee2)(复常数复常数下 页上 页正弦量对正弦量对应的相量应的相量 相量的模表示正弦量的有效值。相量的模表示正弦量的有效值。 相量的幅角表示正弦量的初相位。相量的幅角表示正弦量的初相位。注意返 回 ) cos(2)(wIItIti ) cos(2)(UUtUtuw同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：已知已知例例1 1试用相量表示试用相量表示i, u . .)V6014t311.1

19、cos(3A)30314cos(4 .141oouti解解V60220 A,30100oo UI下 页上 页例例2试写出电流的瞬时值表达式。试写出电流的瞬时值表达式。解解A )15314cos(250ti. 50Hz A,1550 fI已知已知返 回在复平面上用矢量表示相量的图。在复平面上用矢量表示相量的图。l 相量图相量图下 页上 页返 回UI+1+jOwUUtUtu) cos(2)(IItIti) cos(2)(tteIeIwwjjl 旋转相量与正弦量旋转相量与正弦量下 页上 页返 回旋转相量旋转相量+1+jt =0i(t)t=t1t=t2t=t3t30tt1t24. 4. 相量法的应用相

20、量法的应用 同频率正弦量的加减同频率正弦量的加减)e2Re() cos(2)()e2Re() cos(2)( j2222 j1111ttUtUtuUtUtuwwwwU21UUU相量关系为：相量关系为：下 页上 页结论 同频正弦量的加减运算变为对应相量同频正弦量的加减运算变为对应相量的加减运算。的加减运算。返 回e )(2Re)e2e2Re( )e2Re()e2Re()()()( j21 j2 j1 j2 j121tttttUUUUUUtututuwwwwwi1 i2 = i3321 III下 页上 页例例V )60314cos(24)(V )30314cos(26)(o21ttuttuV604

21、 V 306o2o1UUV )9 .41314cos(264. 9)()()( o21ttututu60430621UUU46. 3 j23 j19. 546. 6 j19. 7V 9 .4164. 9o返 回借助相量图计算借助相量图计算+1+j301U602U9 .41U首尾相接首尾相接下 页上 页V604 V 306o2o1UU+1+j9 .41U602U301U返 回 正弦量的微分、积分运算正弦量的微分、积分运算 e j2Re e2Redddd j jttIIttiwwwttItIti j jej2Re d e2Redwww微分运算微分运算 积分运算积分运算 2jd iIItiww下 页

22、上 页返 回 2 jdd iIItiww ) cos(2iiIItIiw例例 ) cos(2)(itItiw d1dd)(tiCtiLRitu用相量运算：用相量运算： jjCIILIRUww 把时域问题变为复数问题；把时域问题变为复数问题； 把微积分方程的运算变为复数方程运算；把微积分方程的运算变为复数方程运算； 可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路。可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路。下 页上 页Ri(t)u(t)L+-C相量法的优点返 回 正弦量正弦量相量相量时域时域 频域频域 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。线性电路。相量法

23、用来分析正弦稳态电路。相量法用来分析正弦稳态电路。正弦波形图正弦波形图相量图相量图下 页上 页注意不不适适用用线线性性线线性性w1w2非非线性线性w返 回 振幅相量和有效值相量振幅相量和有效值相量下 页上 页注意返 回wUUtUtu) cos(2)(IItIti) cos(2)(mm( )2 cos( )u tU tUUmm( )2 cos( )i tI tII有效值相量有效值相量振幅相量振幅相量mm11 22UUII2 cos()iItwUURI2cos()uRItwuRiIIURI时域时域相量域相量域1. 1. 电阻元件电阻元件VCR的相量形式的相量形式uR(t)i(t)R+-R+-RU

24、I有效值关系有效值关系相位关系相位关系UR=RIu=i时时域域模模型型相相量量模模型型下 页上 页返 回8.4 8.4 电路定律的相量形式电路定律的相量形式瞬时功率瞬时功率iupRR 波形图及相量图波形图及相量图 iw t0uRpRRUIu=iURI 瞬时功率以瞬时功率以2w交变，始终大于零，表交变，始终大于零，表明电阻始终吸收功率明电阻始终吸收功率) (cos222RitIU) (2cos1 RitIU同同相相位位下 页上 页返 回2 cos()iItwj90ULILIww2sin()2cos(90 )uLItLItwwww ddiuLtIIjULIw2. 2. 电感元件电感元件VCR的相量

25、形式的相量形式时域时域相量域相量域有效值关系有效值关系： U=w L I相位关系：相位关系： u=i +90 下 页上 页返 回时时域域模模型型相相量量模模型型i(t)uL(t)L+-+-jw LLU I感抗的性质感抗的性质 表示限制高频电流的能力；表示限制高频电流的能力； 感抗和频率成正比。感抗和频率成正比。wXLXL=wL=2fL，称为感抗，单位为称为感抗，单位为 ( (欧姆欧姆) )BL=-1/w L =-1/2fL， 称为称为感纳，单位为感纳，单位为 S 感抗和感纳感抗和感纳开路;开路;短路短路(直流)(直流) , ,; , 0 ,0LLXXww下 页上 页返 回相量关系式相量关系式

26、,jjILIXULw11jjjLIB UUULL功率功率) (2sin ) sin()cos( LmLmLLiiitIUttIUiupwwww t i0uLpL2 瞬时功率以瞬时功率以2w交变，有正有负，一周期内刚交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消，表明电感只储能不耗能。好互相抵消，表明电感只储能不耗能。LUIi波形图及相量图波形图及相量图电压超前电压超前电流电流90900 0下 页上 页返 回2cos()uUtwj90ICUCUww2sin()2cos(90 )iCUtCUtwwww dduiCtUUjICUw1jUICw3. 3. 电容元件电容元件VCR的相量形式的相量形式时域时域相量域

27、相量域时时域域模模型型相相量量模模型型190uiUICw有效值关系有效值关系相位关系相位关系下 页上 页返 回iC(t)u(t)C+- UC I+Cj1- -XC=-1/w C， 称为容抗，单位为称为容抗，单位为 ( (欧姆欧姆) )B C = w C， 称为容纳，单位为称为容纳，单位为 S 容抗和频率成反比容抗和频率成反比 w0， |XC| 直流开路直流开路( (隔直隔直) )w ，|XC|0 高频短路高频短路w|XC|容抗与容纳容抗与容纳下 页上 页返 回相量表达式相量表达式UCUBIICIXUCCwwjj 1jj 1jjCICIXUw功率功率)(2sin )sin()cos(2CCCuu

28、uCtUIttUIuipw t iC0upC 瞬时功率以瞬时功率以2w交变，有正有负，一周期交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消，内刚好互相抵消，表明电容只储能不耗能。表明电容只储能不耗能。UCIu波形图及相量图波形图及相量图电流超前电流超前电压电压900下 页上 页2返 回4. 4. 基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式 0)(ti同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦电流电路中，来进行计算。因此，在正弦电流电路中，KCL和和KVL可用相应的相量形式表示：可用相应的相量形式表示： 流入某一结点的所有正弦电流用相量表示流入某

29、一结点的所有正弦电流用相量表示时仍满足时仍满足KCL；而任一回路所有支路正弦电压用；而任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足相量表示时仍满足KVL。j 12( )Re20 ti tIIe 0I 0)(tu 0U下 页上 页表明表明返 回例例1 1试判断下列表达式的正、误。试判断下列表达式的正、误。Liu . 1w005 cos5 . 2tiw下 页上 页返 回 U LImm U LId diuLt0m 5 0I mm j . 3CUIwmm j I CUmm I CU j U LICC5. j U CILLL . 4IUXLL j . 6ILUwtiCudd . 7下 页上 页返 回LLL

30、UXILLLjUXICC1 j UI Cd diuLt例例2已知电流表读数：已知电流表读数：A18A下 页上 页6AA2A1A0Z1Z2UA2CXZRZj , . 1 21若若A0?解解A1068 1. 220I1,IU2I0I返 回为何参数为何参数21 , 2. ZRZ I0max=?A020max 8614AZRI，为何参数为何参数2L1 ,j 3. ZXZ A0I0min=?2C0min j, 862AZXI下 页上 页A1A0Z1Z2UA2为何参数为何参数2L1 ,j . 4 ZXZ ?A2A0A1解解2C012 j, 8A, 16AZXIIIU2I返 回1I下 页上 页A1A0Z1Z2UA2解解12CL = , UUIIXX返 回U2I1I12 5. ZZ、A00满足什么关系满足什么关系CL =XX1 =LC下 页上 页A1A0Z1Z2UA2解解R = UIR返 回 6. 若电源的电压不变，频率增大一倍，若电源的电压不变，频率增大一倍，讨论电流表读数的变化。讨论电流表读数的变化。LL UIXCC UIX不变不变减小一半减小一半增大一倍增大一倍例例3)(:),5cos(2120)( titt u求求已已知知解解00120U20j54 jjLX10j02. 051jjCX相量模型相量模型下 页上 页+_15u4H0.02FiUj20-j101I2I3II+_15返 回A