空间向量的标准正交分解与坐标表示

1、单位正交基底：单位正交基底： 如果空间的一个基底的三个基向量互相垂如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且大小都为直，且大小都为1 1，那么这个基底叫做单位，那么这个基底叫做单位正交正交基底基底，常用，常用 来表示来表示. . , ,i j k i k j 下面我们类似平面直角坐标系,建立空间直角坐标系 在空间选定一点在空间选定一点O O和一个单位正交基底和一个单位正交基底 以点以点O O为原为原点，分别以点，分别以 的正方向建立三条数轴：的正方向建立三条数轴：x 轴、轴、y 轴、轴、z 轴，轴，这样就建立了一个空间直角坐标系这样就建立了一个空间直角坐标系O xyz . . x x 轴、轴、

2、y y 轴、轴、z z 轴，轴，都叫做都叫做叫做坐标轴叫做坐标轴, ,点点O 叫做叫做原点原点，向量向量 都叫做都叫做坐标向量坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面坐标平面. ,ij k ,ij k ,ij k 123(,)A a a axyzOkij空间直角坐标系空间直角坐标系 在空间直角坐标系在空间直角坐标系O x y z 中，对空间任一点中，对空间任一点A, 对应一个向量对应一个向量 ,于是存在唯一的有序实数组于是存在唯一的有序实数组 x, y, z,使使 (如图如图).OA OAxiy jzk xyzOA(x,y,z)ijk 我们说我们说,点点A的坐标为

3、的坐标为(x,y,z),记作记作A(x,y,z)，其中其中x叫做点叫做点A的的横坐标横坐标, y叫做点叫做点A的的纵坐标纵坐标, z叫做点叫做点A的的竖坐标竖坐标.空间直角坐标系空间直角坐标系PACOBDxyijk.,aOPazyxkji作是空间任意向量设轴正方向上的单位向量轴轴为直角坐标系中令在给定的坐标系中aDPADOAOP有根据向量的加法运算,PACOBDxyijkDPADOAOP有根据向量的加法运算,OCOBOAkzOCjyOBi xOA,根据向量共线定理kzjyi xOP所以, ,i j kxyza 在给定的空间直角坐标系中 令分别为轴轴 轴正方向上的单位向量对于空间任意向量( ,

4、, ),x y zaxiy jzk存在唯一一组三元有序实数使得。.,叫做标准正交基把的标准正交分解叫做我们把kjiakzjyi xa.),().,(.),(的坐标表示叫做向量记作的坐标叫做空间向量azyxazyxaazyx).,(),(,zyxOPzyxP的坐标也是向量的坐标为点在空间直角坐标系中.)2(;,) 1 (. 5, 3, 2,. 11111111的坐标求的分解式关于给出的坐标写出体在直角坐标系中有长方如图例ADkjiACCAABCABDCBAABCDC1DA1OBCxy(A)D1B1C1DA1OBCxy(A)D1B1解: (1)因为AB=2,BC=3,AA1=5 所以C1为(3,2

5、,5)kjiAC523)5 , 2 , 3(1从而(2)因为点D1为(3,0,5)5 , 0 , 3(1AD所以.)2(;,) 1 (. 5, 3, 2,. 111111111的坐标求的分解式关于给出的坐标写出体在直角坐标系中有长方如图练习BDkjiABBAABCABDCBAABCDC1DA1OBCxy(A)D1B1(1) B1为(0,2,5)kjAB521(2) (3,-2,5)ikzijyii xikzjyi xiakzjyi xa)(,那么设00, 1|2ikjijiiii同理而由于zkayjaxia,同理所以,.a ix a jy a kzaxyz 我们把分别称为向量 在 轴轴 轴正方

6、向上的投影.,cos|,00上的投影在向量为向量称的单位向量为若一般地babaababb.标轴正方向上的投影向量的坐标等于它在坐AD1C1B1A1DCB例2.如图,已知单位正方体ABCD-A1B1C1D1,求;) 1 (1上的投影在向量CBCA1|cos|;) 1 ( :111CBCBACACBCA上的投影在向量解AD1C1B1A1DCB例2.如图,已知单位正方体ABCD-A1B1C1D1,求.,)2(111上的投影在求向量且垂直于平面是单位向量BCCAAABBBC1|)cos(|)2( :111CBCBACABCCA上的投影为在向量解AD1C1B1A1DCB练习2.如图,已知单位正方体ABC

7、D-A1B1C1D1,求1CACA 向量在上的投影。111:|cos|2CACACAACBCA 解 向量在上的投影：。小小 结结1211212212e eaaeee e 如果 ，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ， ，使 。（ 、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）空间向量基本定理：如果向量e1,e2,e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量,那么存在唯一一组实数1,2,3,使得 a= 1e1+2e2+3e3。空间不共面的三个向量e1,e2,e3叫作这个空间的一个基底.(1)(1)此三个向量不共面；此三个向量不共面；(2)(2)任意不共面的三个向量都可做为空间的任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底，零向量的表示唯一一个基底，零向量的表示唯一(3)(3)由于零向量可视为与任意一个非零向量由于零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含它们都不是零向量向量不共面，就隐含它们都不是零向量(4)(4)一个基底是指一个向量组，一个基向一个基底是指一个向量组，一个基向量是指