第7章-正弦交流电路

1、 正弦交流电路的基本理论和基本分析正弦交流电路的基本理论和基本分析方法是学习电路分析的重要内容之一，应方法是学习电路分析的重要内容之一，应很好掌握。通过本章的学习，要求理解正很好掌握。通过本章的学习，要求理解正弦交流电的基本概念；熟悉正弦交流电的弦交流电的基本概念；熟悉正弦交流电的表示方法；深刻理解相量的概念，牢固掌表示方法；深刻理解相量的概念，牢固掌握串联谐振与并联谐振的电路特点；了解握串联谐振与并联谐振的电路特点；了解三相交流电路的基本分析方法。三相交流电路的基本分析方法。在直流电路中讨论的电压和电流均为稳恒直流电，其大小和方向均不随时间变化，称为稳恒直流电，简称直流电。直流电的波形图如下

2、图所示：u、it0经常遇到的是随时间而变化的电压和电流，通常其大小随时间变化，方向不随时间变化，称为脉动直流电，如图所示。如果电压或电流的大小和方向均随时间变化，称为交流电。随时间按正弦规律变化的交流电称为正弦交流电。一般表达式为：)sin(umtUu)sin(imtIi ut0幅值、角频率及初相角这三个参数可决定一个正弦量，称为正弦量的三要素。： 正弦量单位时间内变化的弧度数。正弦量单位时间内变化的弧度数。角频率与周期及频率的关系：角频率与周期及频率的关系：fT22： 正弦量完整变化一周所需要的时间。正弦量完整变化一周所需要的时间。： 正弦量在单位时间内变化的周数。正弦量在单位时间内变化的周

3、数。Tf1)sin( ),sin(imumtIitUuiuiutt)()(相位相位：初相初相：相位差相位差：例例显然，相位差实际上等于两个同频率正弦量之间的显然，相位差实际上等于两个同频率正弦量之间的IIIUUU414.12707.02mmm指指与交流电热效应相同的直流电数值与交流电热效应相同的直流电数值。Ri交流电交流电i 通过电阻通过电阻R时，在时，在t 时间内产生的热量为时间内产生的热量为QRI例例直流电直流电I 通过相同电阻通过相同电阻R时，在时，在t 时间内产生的热量也为时间内产生的热量也为Q 即：热效应相同的直流电流即：热效应相同的直流电流 I 称之为交流电流称之为交流电流 i 的

4、的。有效值可以确切地反映交流电的作功能力。有效值可以确切地反映交流电的作功能力。了解相量的概念，熟练掌握正弦量的相了解相量的概念，熟练掌握正弦量的相量表示法；初步了解相量图的画法。量表示法；初步了解相量图的画法。 与正弦量相对应的复电压和复电流称之为。为区别与一般复数，相量的头顶上一般加符号“ ”。正弦量i=Imsin(t+i) ，若用相量表示，其最大值相量为：ijmmeII有效值相量为：ijIeI由于一个电路中各正弦量都是同频率的，所以相量由于一个电路中各正弦量都是同频率的，所以相量只需对应正弦量的两要素即可。即只需对应正弦量的两要素即可。即对应正弦量对应正弦量的的（或最大值），（或最大值）

5、，对应正弦量的对应正弦量的。 按照各个正弦量的按照各个正弦量的和和关系用关系用画出的若干个相量的图形，称为画出的若干个相量的图形，称为。把它们表示为相量，并且画在相量图中。把它们表示为相量，并且画在相量图中。例例，222111 sin2 sin2tUutUu用有效值相量表示，即：用有效值相量表示，即：U1=U1 1U2=U2 2画在相量图中：画在相量图中：12U2U1也可以把复平面省略，直接画作也可以把复平面省略，直接画作12U2U1虚线可以不画虚线可以不画I =URi =uR7.3.1 7.3.1 正弦电路中电阻元件的电压与电流关系正弦电路中电阻元件的电压与电流关系1. 电阻元件上的电压、电

6、流关系电阻元件上的电压、电流关系 iR utUusin2tItRURuisinsin2m电压、电流的瞬时值表达式为：电压、电流的瞬时值表达式为： 由两式可推出，电阻元件上电压、电流的相位上由两式可推出，电阻元件上电压、电流的相位上存在同相关系；数量上符合欧姆定律，即：存在同相关系；数量上符合欧姆定律，即：iuRIUGIRIUIUeUiujjRe7.3.2 7.3.2 电阻电压与电流的相量关系电阻电压与电流的相量关系则有则有上式说明，电阻电压与电流的相量关系仍符合欧姆上式说明，电阻电压与电流的相量关系仍符合欧姆定律，即电阻元件的相量形式的欧姆定律定律，即电阻元件的相量形式的欧姆定律uiP GUR

7、IUIP22例例求：求：“220V、100W”和和“220V、40W”灯泡的电阻？灯泡的电阻？121040220484100220224022100PURPUR解解：显然，电阻负载在相同电压下工作，功率与其阻值成反比。显然，电阻负载在相同电压下工作，功率与其阻值成反比。 平均功率代表了电路实际消耗的功率，因此也平均功率代表了电路实际消耗的功率，因此也称之为称之为。 uL)90sin(cos)sin(LmmmLtUtLIdttIdLdtdiLutIisin2设通过设通过L中的电流为：中的电流为： 则则L两端的电压为：两端的电压为： 由式可推出由式可推出L L上电压上电压电流之间的相位上存电流之间

8、的相位上存在在9090的正交关系，的正交关系，且电压超前电流。且电压超前电流。电压电流之间的数量关系：电压电流之间的数量关系：7.4.1 7.4.1 正弦电路中电感电压与电流的关系正弦电路中电感电压与电流的关系7.4 7.4 电感元件的交流电路电感元件的交流电路如图电感电路：如图电感电路： XL=2f L=L，虽然式中感抗和电阻类似，等于元件上电压与电流的比值，但它与电阻有所不同，电阻反映了元件上耗能的电特性，而感抗则是表征了电感元件对正弦交流电流的阻碍作用，这种阻碍作用不消耗电能，只能推迟正弦交流电流通过电感元件的时间。感抗与哪些感抗与哪些因素有关？因素有关？XL与与频率频率成成；与；与电感

9、量电感量L成成直流情直流情况下感况下感抗为多抗为多大？大？IUXLL直流下频率直流下频率f =0，所以，所以XL=0。L相当于短路。oiuLIXLIU90IjXLjIULIejLeIUeULjjjioiu)90(7.4.2 7.4.2 电感电压与电流的相量关系电感电压与电流的相量关系则有则有上式即电感元件的相量形式的欧姆定律。它不但反上式即电感元件的相量形式的欧姆定律。它不但反映了电感电压与电流有效值之间的关系，同时也反应了电映了电感电压与电流有效值之间的关系，同时也反应了电压的相位超前电流压的相位超前电流90度。度。utUutIicossinLmLmtIUtItUiup2sinsincosL

10、mLmL （1）瞬时功率）瞬时功率 pip=ULIsin2 ttu i 同相同相,吸收电能吸收电能;储存磁能储存磁能;p 0u i 反相反相,送出能量送出能量;释放磁能释放磁能;p 0u i 反相反相,送出能量送出能量;释放磁能释放磁能;p 0u i 反相反相,送出能量送出能量;电容放电电容放电;p 0u i 反相反相,送出能量送出能量;电容放电电容放电;p 0电容元件和电感元电容元件和电感元件相同，只有能量件相同，只有能量交换而不耗能，因交换而不耗能，因此也是此也是储能元件。储能元件。p为正弦波，频率为为正弦波，频率为ui 的的2倍；在一个周期内，倍；在一个周期内，C充充电吸收的电能等于它放

11、电电吸收的电能等于它放电发出的电能。发出的电能。7.5.3 7.5.3 电容的功率电容的功率P P = 0= 0，电容元件不耗能，电容元件不耗能CXUXIUIQ2C2C1. 电容元件在直流、高频电路中如何？电容元件在直流、高频电路中如何？2. 电感元件和电容元件有什么异同？电感元件和电容元件有什么异同？直流时直流时C相当于开路，高频时相当于开路，高频时C相当于短路。相当于短路。 L和和C上都存在相位上都存在相位，所不同的是，所不同的是 上上， 上上，二者具有，二者具有L和和C都是都是直流情况下直流情况下C相当相当；L相当于相当于054321IIIII0 i相量形式的基尔霍夫电流定律为：相量形式

12、的基尔霍夫电流定律为： 它说明，在正弦交流电路中，任一节点所连各支路电流相量的代数和为零。例：若以流出节点的支路电流相量取正号，流出取负号，则右图可表示为：7.6 7.6 基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式7.6.1 7.6.1 基尔霍夫电流定律的相量形式基尔霍夫电流定律的相量形式0I7.6.2 7.6.2 基尔霍夫电压定律的相量形式基尔霍夫电压定律的相量形式0 u相量形式的基尔霍夫电压定律为：相量形式的基尔霍夫电压定律为： 0U它说明，在正弦交流电路的任一回路中，各段电压相量的代数和为零，其中与回路绕行方向相同的电压相量取正。反之取负。注意一点：基尔霍夫定律对电压、电流的有效值一般

13、不成立，即：0 I0URLC串联电路CURSURULUILC串谐电路复阻抗：jeZjXRCLjRZ)1(RXXRZCLXarctan 122，其中：IZIjXRUs)(串谐电路欧姆定律：7.7.1 相量形式的欧姆定律及复阻抗相量形式的欧姆定律及复阻抗7.7.7 7 RLC 串联电路串联电路|Z|为复阻抗的模，称为阻抗，继表示了电路中电压与电流之间的大小关系；为复阻抗的辐角，称为阻抗角，它表示了电路电压与电流之间的相位关系。tItIisin2sinm设电路瞬时电流为：)2cos(cossin2)sin(2tUIUItItUuip电路的瞬时功率为：7.7.2 电路的功率电路的功率 则电路瞬时电流为

14、：)sin(2)sin(tUtUum依据电路相量形式的欧姆定律：jjjUeeZIeZIZIU|cos)2cos(cos10UIdttUIUITPT电路有功功率即平均功率为：7.7.2 电路的功率电路的功率 由上式可知，交流电路中有功功率的大小，不仅与电路的电压、电流有效值的乘积有关，还与电压、电流的相位差的余弦成正比，cos称为功率因数。因RIC电路中只有电阻是耗能元件，所以：cos22UIRURIIUPRsin)(UIIUIUUQQQXCLCL无功功率：NNNIUS额定视在功率：7.7.2 电路的功率电路的功率 功率因数：SPcos视在功率：UIS 关系：22QPSUjBGUBBjGUjBU

15、jBUGIIIICLCLCLG)()(根据KCL相量形式：GBBLC arctan式中：22)(|CLBBGY令：jCLeYBBjGY|)(故：UYI7.7.8 8 RLC 并联电路并联电路Y称为电路的复导纳，G为电导，B为电纳2121arctanRRXX其中：根据相量形式的基尔霍夫定律分析可得：jeXXRRjXRjXRZZZ221221221121)()(7.7.9 9 交流电路的一般分析方法交流电路的一般分析方法7.9.1 阻抗的串联阻抗的串联 对于N个复阻抗串联分析相同。ZUI等效为一个复阻抗：)11(212121ZZUZUZUIII7.9.2 阻抗的并联阻抗的并联 根据相量形式的基尔霍

16、夫定律：2121ZZZZZ对于N个并联：niiZZ111熟悉串联谐振电路产生谐振的条件，理解串谐电路的基本特性和频率特性，掌握串谐时电路频率和阻抗等的计算。谐振的概念谐振的概念 含有电感L 和电容C 的电路，如果无功功率得到，即端口电压和电流出现现象时，此时电路的功率因数，称电路处于状态。 谐振电路在无线电工程和电子测量技术等许多电路中应用非常广泛。L和C的串联L和C的并联由串谐电路复阻抗：/)1(ZjXRCLjRZ 00arctan XRX，即据前所述，谐振时u、i同相，=0：fCfLCL212 1或电抗等于0时，必定有感抗与容抗相等：7.10.1 串联谐振串联谐振由串谐条件又可得到串谐时的

17、电路频率为： LC1 2100或LCf（1）串联谐振的条件RCLjRZ)1(2.由于谐振时电路阻抗最小，所以谐振电流最大，并与外加电压同相。1.串谐时由于u、i同相，电路复阻抗为电阻性质，阻抗最小：3.电感的端电压与电容的端电压大小相等，且为外加电压的Q倍，相位相反，相互补偿：（2）串联谐振的基本特征4.谐振时，电阻仅供给电阻消耗的能量，电源与电路间是不发生能量交换的。7.10.2 串联谐振电路的频率特性与通频带串联谐振电路的频率特性与通频带)1(2CLRZ1.回路阻抗与频率之间的特性曲线RLC串联电路的阻抗为：阻抗及其各部分用曲线可表示为：|Z|、R、X0RL LC C10|Z| 由RLC串

18、联电路的阻抗特性曲线可看出：电阻；感抗；容抗，阻抗|Z|在谐振之前呈容性（电抗为负值），谐振之后呈感性（电抗为正值），此时电路阻抗为。2000S22SS1)1(RLRUCLRUZUI2.回路电流与频率的关系曲线RUIS0RLC串谐电路谐振时的电流2002200201111ffffQRQII电路谐振时，串谐电路中的电流达到最大，为了便于比较不同参数下串谐电路的特性，有：2002200201111ffffQRQII 上式表示在直角坐标系中，即可得到I谐振特性曲线如下图所示：110 00I I0 0IQ小小Q大大 从I谐振特性曲线可看出，电流的最大值I0出现在谐振点0处，只要偏离谐振角频率，电流就会

19、衰减，而且衰减的程度取决于电路的品质因数Q。即：电路的；电路的。3.回路电流相位与频率的关系曲线001 -0001 -1 -tan1tan1tanQLRRCLi 若输入电压的初相为0时，回路电流的初相等于阻抗相位的负值，如上式所示。电路的相频特性如右图所示90900 04.通频带 在无线电技术中，要求电路具有较好的选择性，常常需要采用较高Q值的谐振电路。0f1f707. 0f00fI I0 0I12f 但是，实际的信号都具有一定的频率范围，如电话线路中传输的音频信号，频率范围一般为3.4KHz，广播音乐的频率大约是30Hz15KHz。这说明。为了不失真地传输信号，保证信号中的各个频率分量都能顺

20、利地通过电路，通常规定当电流衰减到时，所对应的一段频率范围称为。 12ffB其中f2和f1是通频带的上、下边界。实践和理论都可以证明：QfB0可见通频带与谐振频率有关，由于品质因数RCRLUUUUQCL001 显然通频带B和品质因数Q是一对矛盾，实际当中如何兼顾二者，应具体情况具体分析。 串联谐振回路适用于信号源内阻等于零或很小的情况，如果信号源内阻很大，采用串联谐振电路将严重地降低回路的品质因素，使选择性显著变坏（通频带过宽）。这样就必须采用并联谐振回路。 右图所示为并联谐振电路的一般形式，当电路出现总电流和路端电路同相位时，称电路发生并联谐振。UIL- -j j1 1Cj jRCL10CL

21、f2101.并联谐振发生时，电路(导纳最小)，且 呈纯电阻性（理想情况r=0时，阻抗无穷大）；2.并联谐振发生时，由于阻抗最大，因此当电路中 总电流一定时，且与电流同相。3.并联时电感、电容支路出现，其两支 路电流分别为电路总电流的Q倍；RrQrCLZZ2max0Q为电路的：RCRLRrLQ00: LCIjQIIjQI上述分析均是以等效的并联电路为研究对象。并联谐振电路的电压为：2002011ffffQUU并联谐振电路的为：ffffQ000arctanZI0思考：思考： 时时为什么是感性？为什么是感性？0fI0在串联谐振电路中，何时电路呈感性、电阻性、容性？并联谐振电路的为：感性容性电阻性 三

22、相电路是由三相发电机提供的三相电源，三相发电机提供有效值相等、频率相同、初相互差120度的三个正弦电压。 由三相发电机产生的三个正弦电压表达式分别为：)120sin()120sin(sinmCmBmAtUutUutUu 三相感应电压用波形图和相量图可分别表示为：u0TuAuBuCt120120120UBUAUC显然三个电压大小相等，频率相同，相位互差120。 我们把三个，彼此电角度的单相正弦量称为。 发电机感应的对称三相交流电压用相量可表示为1201200CBAUUUUUU 由对称三相电压的波形图和相量图可看出：0CBAuuu 对称三相交流电在相位上的先后顺序称为。我们把相序称为或顺序；把称为

23、或逆序。电力系统中通常采用正序。0CBAUUU 下图所示电源的连接方式称为星形连接，或记为“Y”接。AUCUBUXZYABUBCUCAU 其中由电源绕组尾端公共连接点引出的导线称为，由电源绕组首端引出的导线称为 图中电源绕组首端指向尾端的电压称为(即火线与零线之间的电压)。 火线与火线之间的电压称为电源绕组这样连接后向外电路供电的方式称为。AUCUBUXZYABUBCUCAU 从连接图中可以看出，电源作Y型三相四线制向外供电时，可以向负载提供两种电压：火线与零线之间的电压和火线与火线之间的电压。那么这两种电压存在着什么样的关系呢？-UBUABUC-UBCUA-UCA303030我们以相量图进行

24、分析：三个电源相电压总是对称的，而三线电压与相电压之间的关系为：显然三个线电压也是的。)()()(ACACCACBCBBCBABAABUUUUUUUUUUUUUUU-UBUABUC-UBCUA-UCA303030由相量图可以定量地分析出相、线电压之间的关系为：303303303CCABBCAABUUUUUU 显然，线电压在数量上是与其相对应的相电压的1.732倍；在相位上超前相电压30电角。30 3plUU 工农业生产和日常生活中，多数用户使用的电压等级通常是：V220 V380PlUU、 下图所示电源的连接方式称为三角形连接，或记为“”接。ABUBCUCAU 三相电源绕组首尾相连组成一个闭环

25、，在三个连接点处向外引出三根火线，即构成连接。 显然，电源绕组接时总有：只能向外电路提供一种电压。 实际电源连成接时，由于三相电源绕组的感应电压对称，所以电源回路内部无电流，但若有。因此，实际三相电源绕组作接时，为确保无误，一般要先把3个电源绕组留一个开口，开口处连接一个阻抗极大的电压表，当电压表读数为零时说明连接无误，这时才能将开口合拢。XZYABC 下图所示为电源和负载均为“Y”接的三相电路。BAUCBUACUZAZBZCAUCUBUAUCUBUZLZLZLZLAINIBICI对称三相电源绕组的若电路中ZL=0时，则UA=UA，且中线电压UNN=0。即三相负载阻抗的即三相负载阻抗的ZZZZ

26、ZCBAB IC IA IN IAN IBN ICN IA UB UC UAIZZZABCNNZLZNZLZL电源电源火线上通过的电流火线上通过的电流称为称为负载中通过的电流负载中通过的电流称为称为CBAN IIIIAIZZZABCNNZLZNZLZLB IC IA IN IA UB UC U 三相电路若输电线上阻抗不能忽略时，存在中点电压uNN，根据弥尔曼定理可得其相量计算式为：ZZZZZZUZZUZZUU1111 NLCLBLANN 由于三相电路对称，所以式中分子为零，因此，即：ZZZZZZUZZUZZUU1111 NLCLBLANN0 NNU此时各相负载中通过的电流：LNNCCLNNBBLNNAA ZZUUIZZUUIZZUUI，显然三个相(线)电流也，