欧拉方程求解线性非齐次高阶方程的特解待定系数法

1、4.3 欧拉方程、非齐次高阶线性方程特解的待定系数方法(How to Solve Euler equation, Use the method of undetermined coefficients to find particular solution to nonhomogeneous higher order Linear ODE)教学内容 1. 介绍欧拉方程及其解法. 2. 介绍非齐次线性方程特解的待定系数求法. 3. 介绍非齐次线性方程特解的常数变易法.教学重难点 重点是知道欧拉方程的特征方程，并能获得原欧拉方程的基本解组；如何运用待定系数法或常数变易法求解非齐次线性方程的特解；

2、难点是如何由非齐次线性方程中的形式合适选择特解的形式. 教学方法 预习1、2、3；讲授1、2、3考核目标 1. 能写出欧拉方程的特征方程的形式 2. 能由欧拉方程的特征方程的特征根写出原微分方程基本解组; 3. 知道待定系数法求解非齐次线性方程的特解；4. 知道运用常数变易法求解非齐次线性方程的特解. 1. 认识欧拉方程.(1) 称形如为欧拉等量纲方程（Eulers equi-dimensional equation），其中p和q都是常数. (2) 解法：令自变量替换将原方程化为常系数方程：； ；因此，原方程化为，这是一个常系数线性微分方程. 令代入方程得到，方程为（或），称为欧拉方程的特征方

3、程. 由此得到新方程的基本解组为或，或. 返回原变量得到欧拉方程的基本解组为或，或. 例52. 求解微分方程. 解：注意到这是一个欧拉等量纲方程，令，得到欧拉方程的特征方程为，解得. 于是为二重根. 于是得到欧拉方程的基本解组为，返回原变量为，因此原欧拉方程的通解为. 例53 Find the general solution of the following equation: (1) ;Solution (1) Let ，then the associated characteristic equation of Euler equation is . By solving the alg

4、ebraic equation, we get . Then two dependent solutions to the new equation is , and fundamental solutions to Euler equation is . Therefore, the general solution is given by , are two independent variables. 作业47. Find the general solution of each of the following equation: (1) ; (2) ; (3) . 2. 非齐次线性微

5、分方程特解待定系数方法求解（undetermined coefficients method)（1） 非齐次线性微分方程通解结构：考察二阶非齐次线性微分方程. 若为的基本解组且为原非齐次方程的一个特解，则原 非齐次线性方程的通解为其中. (一般地结论参见教材P127定理7)（2） 待定系数方法求解非齐次方程的特解例54. 求解二阶非齐次方程(1) ; (2)的一个特解. 解：(1) 方程的特征方程为，得到. 猜想：原方程具有如下形式特解：（原因是经过两次求导最高次数为0，一次求导后最高次数为1，方程两边比较得到C=0），代入方程得到，比较系数得到，得到。因此所求原方程的一个特解为. (2) 由

6、题意可设特解形式为，（原因是经过两次求导是常数，不可能等于2t），代入原方程并比较t的系数得到，得到. 因此，所求特解为. 小结：考察，（1）若不是相应齐次方程特征方程的特征根，则可设特解形式为；(2)若是微分方程的特征方程的k重特征根，则可设特解形式为 . 作业48 求方程的通解. 例55. 求解二阶非齐次方程(1) ; (2)的通解. 解：(1) 方程的特征方程为，特征根为. 令，则原方程可化为. 由上例分析知，新方程具有如下形式特解，于是原方程具有形式特解，代入原方程得到，得到. 所求特解为. 因此，原方程的通解为，. (2) 方程的特征方程为，特征根为. 令，则原方程可化为. 由前面齐

7、次线性方程知识和上例分析知，新方程的特征方程具有零特征根且重数为k=1，于是新方程具有如下形式特解，于是原方程具有形式特解，代入原方程得到，得到. 所求特解为. 作业49 求方程(1) ; (2) 的通解. 例55. 求解二阶非齐次方程(1) ; (2) 的通解. 解：(1) 方程的特征方程为，得到二重根，于是相应的齐次方程的基本解组为. 改写. 考察新方程，注意到不是相应齐次方程特征方程的特征根，因此，由上例可设新方程的形式特解为，于是，代入方程得到，于是，因此特解为. 注意到为方程的解，因此，所求方程的一个特解为. 因此，原方程的通解为，. (2) 方程的特征方程为，得到二重根，于是相应的齐次方程的基本解组为. 改写. 考察新方程，