二项式定理与多项式定理

1、高中数学研究性学习案例分组问题二项式定理多项式定理1 .固定分组问题例1将12本不同的书分给甲、乙、丙、丁4位学生，求分别满足下列条件的分配方法各有多少种：(1) 4位学生每人3本；(2)甲、乙各得4本，丙、丁各得2本；(3)甲得5本，乙得4本，丙得2本，丁得1本.解(1)先从12本书中选取3本分给甲，有C；2种方法;当甲分得3本书后，从剩下的9本书中选取3本分给乙，有C；种方法；类似可得，丙、丁的分法分别有C；、C；种，由乘法原理得所求分法共有C；2C；C；C；=当=369600种；(3!)4(2)与(1)的解法类似可得所求分配方法种数为G：c；c：c2=/=207900;4!4!2!2!(

2、3)与(1)的解法类似可得所求分配方法种数为Mc；c；c；=2=83160.5!4!2!1!在例1中是将不同的书分给不同的学生，并且指定了每人分得的本数，我们称之为固定分组问题.我们将这个问题总结成如下一般定理：定理1将n个不同的元素分成带有编号从1,2,r的r个组：a,A2,，A，使得A有m个元素，A2有出个元素A有n个兀素，ni+"+n=n,则不同的分组方法共有种.n1!n2!;nr!n!证明先从n个不同的元素中选取1个分给a,这一步有C：1种方法；再从剩下的n-ni个元素中选取n2个分给A2,这一步有C：j种方法；如此继续下去，最后剩下的nr个元素分给A,有C：；种方法，由乘法

3、原理得这样的固定分组方法共有C：1cM，制=n种.证毕.我们将定理1的分配问题简称为(n；电,，n,)固定分组问题.2.不尽相异元素的全排列多项式定理固定分组数n7；有多种组合学意义，除了表示固定n1!n2!:nr!分组的方法数外，它还有以下两种表示意义：n!(1)不尽相异元素的全排列种数-7,小我!n！有类元素，其中第k类元素有1个(k=1,2,r),同类元素不加区分，不同类元素互不相同，nJ%+n,=n。则这r类n个不尽相异元素的全排列种数等于固定分组数n。.n1!n2!nr!例2(06年高考江苏卷(理)今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加区分，将这9个球排成一列有种不同的方法(用

4、数字作答)解9个球排成一列要占9个位置，从9个位置中选取2个放红球，有C；种方法；再从其余7个位置中选取3个放黄球，有C；种方法；最后在剩下的4个位置上全放白球，有C：种方法，由乘法原理得所求的排列方法共有c；c3c：=言=1260种，2!3!4!评注：对于固定分组数n，除了表示固定分组的由！血！n！方法数外，它还表示r类共n个(不尽相异)元素的全排列数，其中第k类元素有卜个(k=1,2,r),同类元素不加区分，»+n2+n=n.n!(2)多项式定理的系数-7-n1!n2!nr!在(+X2+%)n的展开式中，项X1nlX，X；的系数等于固定分组数!一-o例如在(a+b)n的展开式中，

5、项n1!n2!nr!'amb的系数为一n=C;，这正是我们所熟悉的二项式系m!(n一m)!数。有如下的多项式定理：多项式定理设n是正整数，则对一切实数Xi,X2,Xr有/.、n_%.n!nin2nr/(X1X2Xr)一乙11-XiX2Xr(*、n2nr手n1!n2!nr!v其中求和是对满足方程ni+n2+,nr=n的一切非负整数ni,n2,nt来求。因为r元方程ni+n2+,nr=n的非负整数共有cng组，所以在(、72+-一+”厂的展开式中共有C4个不同的项。多项式定理是对二项式定理的推广，在多项式定理中令r=2就得到了二项式定理。432，一例3与出(x+y+z+w)的展开式中项Xy

6、zw与项x3y3z2w2的系数.解先求项x4y3z2w的系数.(x+y+z+w)10是10个括号的连乘积，将这10个括号看成10个元素，从中先取由4个括号作为第一组，在每个括号中都取x;再从剩下的6个括号中取由3个作为第二组，在每个括号中都取y;再从剩下的3个括号中取由2个作为第三组，在每个括号中都取z;最后的剩下的1个括号作为第四组，从中取w.这样取由的4个x,3个y,2个z,1个w的连乘积就是项x4y3z2w,由定理1知，上述取法就是(10;4,3,2,1)固定分组问题，于是在展开10个括号的连乘积时，项x4y3z2w有10!4!3!2!1!=12600个同类项,所以此项的系数是12600

7、.同理可得项x3y3z2w2的系数是U不=25200.3!3!2!2!例4（94年全国高考题）有甲、乙、丙三项不同的任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，现从10人中选取4人担任这三项工作，有多少种不同的分配方法？解：从10人中选取4人，有C140种方法，对于取定的4人，让他们担任这三项工作，为（4;2,1,1）固定分组问题，故所求分配方法共有C40M4!=2520种.2!1!1!注：一般地，设有A、A2、，Ar共r项不同的工作，工作Ai需ni个人承担（i=1,2，,r）,n+%+n.=n,现从m个人中选取n个人做这r项工作（mn）,则不同的分配工作方法共有cm一n一种.n1!n2!nr!例

8、5（07年全国高考理2（必修+选修n）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（A）40#（B）60不巾（C）100种（D）120种解从5人中选取4人，有C；种方法;对于选定的4人，让他们参加这3天的公益活动，为（4;2,1,1）固定分组问题，由定理1及乘法原理得所求选派方法共有c；c：c2c1=60种.故选B.例6（06年高考天津卷（理）将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有A.10种B.20种C.36种D.5

9、2种解放球方法即分组方法.满足条件的放球方法可分成两类：（4;1,3）固定分组问题；（4;2,2）固定分组问题，它们分别有土，工种放球方法，故所求放球方法共1!3!2!2!有4!+4!=4+6=10种.故选A.1!3!2!2!评注：对于类似例3这样的不能直接按固定分组解决的问题，如果能够按各个组（盒子）允许放的元素（球数）将问题分成互不相交的若干类，使得每一类都是固定分组问题，则可按固定分组分别计算这些类再相加即可.例7（07年全国高考1（文）甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（A）36种（B）48种（C）96种（D）192种解因每人都是从4门课程中选课，故甲、乙、丙3人的选课方法分别有C2、C：、C3种，由乘