二项式定理经典题型及详细答案

1、二项式定理经典题型及详细答案二项式定理经典考点例析二项式定理经典题型及详细答案二项式定理【某本公式】I.二项式定理项式定理（。+火""十"+泞这个公式表示的定理叫做二项式定理，二项式系数、二项式的通项唠/+£*：/%+C泞泞十十（#叫做（"与"的二项展开式，其中的系数第（J2，.”）叫做一项式系数，式中的C：/方叫做二项展开式的通项，用7；,表小，即通期为展开式的第11项:TS&.二项式展开式的各项用指数二项式（“+b的展开式项数为门+1项，石项的幕指数状况是各项的次数都等于二项式的辕指数打.字母好的按降幕排列,从第一项开始,

2、次数由,?逐项减1直到零，字母b按升7排列.从第一项起,次数由零逐项熠1向到入几点注意通顼J产，:是（口+人的展开式的第r+l项,达里r=0.1.2，*二项式（"+“'的，+1项和2#句的展开式的第，+|项中丁"是有区别的，应用二项式定理时,其中的口和人是小能随便交换的.,注意二顶式系数<C）。展开式中对应项的系数不一定相等.-项式系数一定为正，而F网的系教育时可为负.i）通项公式是（小町这个标正也式卜而二的，如（4-的一项展开式的通项公式是7'=（-r：，fbr（只须把f看成:代入二项式定理）这。（产c>一是不问的,在这里对应期的二项式系数是相

3、等的同1生C，但项的系数一个是（-1）'（二，一个是（:，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念.设"1,6=八贝"得公式$。十行,=1+0+（;：/+w<+<.通项是L=CH&&=0J2,，丹）中含行？；5方，山rE个花素，”要知道其中四个即可求第五个元素.巧打小是很大，区比较小时可以用展开式的前几期求。+幻”的近似俏.2.二嗔式系数的性质（I）二项式系数袅（扬辉三角）（"4力）”展开式的一项式系数，当用依次取1.2.3时，二项式系数表,表中每行两端都是I,除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和（2）二项式系数的函数性威，

4、5+协”展开式的二项式系数是CC：可以若成以r为自变俄的函数/（r）,定义域是0.1.2.，阳,例当打=6时，其图象是7个孤立的点（你能画出它的图象吗?）1对称性叮首末两编T等距离”的两个一项式系数相等（；：=（：）.直线二勺是图象的对称轴2）增减性与最大值：因为；=（'；L巴尹所以当丝1时，二项式系数C：是通增的，当上吐1时，k22二项式系数；是递减的，所以打内是偶数时，中间项（？取得最大（fu当片是在数时，中间两项。了.<7取得最大值.3）各二项式系数和:1UrFT+CriMR+.T/.争工=I,则丁=?+<：+<：+7（：4.乂：.二项式展开式中，偶数项的一项式

5、系数的和等奇数项的一以式系数的利.fi即c：y+,，=：+？+二项式定理经典题型及详细答案扬辉一角形：对于一是较小的正整数时，可以接写出各项系故而不去套用二项式定理，二项武系数也可以直接用杨辉三用计算.杨训:相仃如卜规仆；“左、右两边斜行多数都是1.其余各数都等于它肩上两个数字的和.”二项式系数的性质；但+广展开式的二项式系数是；c：,c：«.（;,从函数的角度看；可以看成是为自慢就的函数其定义域是:（M.2.3,".这杯我们利用“杨辉三角和用工6时力的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性侦.对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.本盛匕这一性质可在接山公式仁：

6、=c：e汨到.惮城性与最大值如果二项式的簿指数是指数，中间项的二项式系数最大*如果二项式的需指数是奇数，中间两项的二项式系数相第并且最大.由于展开式各项的二项式系数顺次是ChC'-tC2="（",c3="（门_，（鞭_2）（"I=心-1）（"2卜,一5八2）1】；"1"2,3"I.2.3厂_加7）（"2）5T+2）（,"+|）w123c-=r其中，后一个二项式系数的分子是前个.项式系数的分乘以逐次战小1的数（如根h-1,h-2），分埠址乘以逐次增大的数（如1,L3,）.因为*个自数乘以一

7、个大于】的数则变大，而乘以一个小于，的数则变小，从而当力依次取1,2,丸等值时.C；的值转化为不递增而递减,又因为与仃木两端”等距离”的两项的式系数相等，所以项式系数增大到某一顶时就逐渐旅小,且二顼式系数最大的项必在中间.当，区偶数时，灯+1是奇数,展开式共有/?十1项，所以展开式有中间一项,并且这项的一项式系数最大，最大为6.当"是奇数时，修+1是儡数，处开式其仃打+1项.所以有中间两项.这两项的二项苴系数相等井口最大，fli-1jflT最大为=c/'.二项式系数的和为2、即C+C：+C；+».+C：+C：=T.奇数项的：瑚式系数的和等于偶数顽的一丽式系数的和，即

8、C：7：+：+._：+；+C+=.常见题型有:求展开式的某些特定项、项数,系数，二项式定理的逆用，赋值用，新单的组合数式问题.二项式定理经典题型及详细答案考点1:二项式系数与项的系数21、在（2x)8的展开式中，求:(1)第5项的二项式系数及第5项的系数.(2)x2的系数.1n2 .若(x-)展开式中第2项与第6项的系数相同，则展开式的中间一项的系数为x3 .已知二项式(3s/x-2-)10求3x(1)第四项(2)展开式第四项的二项式系数(3)展开式第四项的系数考点2:二项式定理逆用.54321、(x1)5(x1)10(x1)10(x1)5(x1)=3452、15(2x1)10(2x1)10(

9、2x1)5(2x1)(2x1)=考点3:求二项式展开式中的特定项、某一项【例题】一，、32K51、二项式(x3=)5的展开式中x5的系数；x2 .二项式(1x)4(1jxy的展开式中x2的系数是.3 .若(1扬4abJ5,(a,b为有理数)，则ab=.4 .二项式(2J1)8展开式中不含x4项的系数的和为3一一一545、一项式(12x)(13x)的展开式中x的系数.【练习】1 .二项式(x1)4的展开式中x2的系数为.2 .二项式(1x2)10的展开式中，x4的系数为.3 .二项式(2&声)6展开式中含x2项的系数为.3 .354 .一项式(12Vx)(1Vx)的展开式中x的系数、常数

10、项和有理项【例题】1 61. 一项式(2x)的展开式的常数项是2x二项式定理经典题型及详细答案2、二项式(J3x再100的展开式中X的系数为有理数的项的个数2 163.一项式(1xx)(x-)的展开式中的常数项为.X一254.一项式(x1)的展开式中常数项是.x【练习】.x18.一1.(=)的展开式中的常数项23x,2162.在(x)的展开式中，常数项是.x4.3 .一项式(x4)5的展开式中常数项是x34 .一项式(12x)4(1)5的展开式中常数项是x1、已知(12x)7a02axa?xa7*7.求:(1)a0;(2)a0a-a?a3a6a7；(3)a0a1a2(4)a°a2a4

11、laoIlaj(5) a11a31a3a5a7;1a7(6) (a。1.(8)a°a2a4a3a6)(a1a6a7(9)aa2a024a38a626a727，2al4a28a3a3a5a7).26aA27a767，考点4:求展开式中的各项系数之和的问题2.在二项式(2x3y)9的展开式中，求:(1)二项式系数之和;(2)各项系数之和;3.利用二项式(1nx)c0C：xC2x2C3(3)4x所有奇数项系数之和；(4)所有项的系数的绝对值之和C：xn展开式(1)C(2)C(3)C(4)C0n0n0n0n1n1n2n2n2n4n3n3n2C：4C2cn8C；Cnn2n(1)nCnnC3C5

12、2ncn02n3n考点5:多项式的展开式最大项问题【例题】1、二项式(12x)9展开式中，(1)二项式系数的最大项(2)系数的最大项2、二项式(12x)12展开式中5二项式定理经典题型及详细答案(1)求展开式中系数的绝对值最大的项.(2)求展开式中系数最大的项.(3)求展开式中系数最小的项：3、已知f(x)(1x)m(12x)n(m,nN)的展开式中含x项系数为11,求f(x)展开式中x2项系数的最小值.1I4、(JI)n展开式中含x的整数次哥的项的系数之和为x【练习】o21、(x2)的展开式中系数最大的项;x2、求(12x)7展开式中系数最大的项.3、设xJ2,试问(1x)50展开式中第几项

13、最大?n4、已知Vx23x2展开式中各项系数的和比各项的二项式系数的和大992,(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项.考点6:含参二次函数求解1.【特征项】在二项式(x2a5,-)的展开式中x的系数是-10,则实数a的值是x2.【常数项】若(豉余):x的展开式中存在常数项，则n的值可以是3.【有理项】已知(人11n2,1)的展开式中，前三项的系数成等差数列，展开式中的所有有理项4 .【特征项】在(1xpx2)10的展开式中，试求使x4项的系数最小时p的值.15 .【系数最大】已知(一2x)n的展开式中，第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项2式

14、系数最大的项.1 .若(x-)9的展开式中x3的系数是-84,则a.x2 .已知(人2)n的展开式中第5项系数与第3项的系数比56:3,则该项展开式中x2的系数x22n3 .若一项式(x-)的展开式中二项式系数之和是64,则展开式中的常数项为x4 .已知(13x)n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121,求展开式中系数最大的项.考点7:求解某叱整除件问题或余数问题二项式定理经典题型及详细答案.5.求证32n28n9（nN*）能被64整除.一,92一.一.91被100整除所得的余数为设n2k1（kN*）,则7nCl7n1求证：（1）51511能被7整除；（2）32n如果今天是

15、星期一，那么对于任意的自然数Cn37n2.Cnn17被9除所得的余数为24n37能被64整除.n,经过(23n37n5）天是星期几?考点8:计算近似值1、求0.9986的近似值，使误差小于0.001.2、求1.9975精确到的近似值.考点9:有关等式与不等式的证明化简问题1、求12、化简:2C104Cw.1212Cn4Cn210C；08C3的值.2)03、求证:_0_1_12CnCnCnCn.C1c(2n)!*(nN).(n1)!(n1)!4、证明下列等式与不等式（1）C；2C23C3.nCnn（2）设a,b,c是互不相等的正数，且a,b,c成等差数列,求证annnc2b.1、C2、C0n0n

16、2C2C3、求证:1n1n1n2七：2七：2nC：2C34、求证:(C0)2C25、已知C：2C：(C：)222C2nC；n(C2)22nC；，1)n2nC2n1(Cn)2Cnn729,求C：C：C；考点10：创新型题目1、对于二项式（1-x）1999,有下列四个命题：展开式中T1000C19991000x999展开式中非常数项的系数和是2、3)1；展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项;中正确命题的序号是当x=2000时,1999(1-x)除以2000的余数是.（把你认为正确的命题序号都填上）规定cmx（x1）（xm1）,其中xcrm是正整数，且C01,这是组合数c；m!（n、m是

17、正整数，且men)C33x的一种推广.（1）求015的值；（2）设x>0,当x为何值时，（C；）2取得最小值组合数的两个性质；CmC；mC；Cnm1C；1.是否都能推广到C；（xeRm是正整数）的情二项式定理经典题型及详细答案形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由3、对于任意正整数，定义“n的双阶乘n!”如下：对于n是偶数时，n!=n-(n-2)-(n-4)6X4X2；对于n是奇数时，n!=n(n2)(n4)5X3X1.现有如下四个命题：(2005!)(2006!)=2006!;2006!=210031003!;2006!的个位数是0;2005!的个位数是5.正确的

18、命题是.二项式定理经典题型及详细答案Et考襄八二项工急域易瑁蛹索散1，在（2M-?=）的展开式中.求：。）第5项的，二项式系数及第5项的系数.犬的系数中户通收不产Ge尸卜就=飞乂We料改的；攻率心c；工留鬣用多5臧木船If*N*Cg百=Z"w心广川铲rJ小Mi）y/=g之若（工+!）“展开式中第2项。第H项的系数相同.X则展开式的中间频的系数为.喻叩TcZnLG*1和嗔4瑞ci科埃建C?削&=4*4中面4件砥八r叫人心圣品白或考支力求工项式屋钎式中船骑灵须2,I、某项【例题】2K项式（/-H'的展开式中1的系数X'QWFrJ.霄四止M二娱常产（至广日/式产”百

19、n51七上行由工（T）存必*y。/W熹加巾G影我力"-各*CT4'n4。/3.二项式（【-不了。-4y的展开式中/的系数是嗔1'=斗"/g<枇;5不旨哈£一盼甫：（osmw），2旬*斗&都和是午幻10十斗306。土口十犷G斗揍工.0产付叫兴92，工，（苴五心?存-反）.$和嫉段片"=-77*。必5.一项式Q-展IF式不含1项的系数的和为&已知二项式aJ，-三产求3x（1）第四项（2）展开式第四项的二项式系数（3）展开式第四项的系数,嘀即湎mcl仔尸（一肃=产审产C：二&C<o=衿0？色-77尸.左支N上

20、项款上瑁住用U(x-vf+5(工一户+1(VTF+旧工一产+5(JC-I)-匚解斫(htt/七丈2,15(2k+1)+】W2，+1lO(2x+1)3+5(2克+1-(2x+11=_f3X41,步二一3/1.若«+&）*="+从也为有理数）则口+4二.71（13卜+/3+674+4。7监产+广3广二I+不JS/n十8H+4工产,小禺<Xf卜代.口工叮入小十b=in呻中士I何耳心举下立书才巴色）屈他:不干二c/（缶/二（-/#产/-f-4叩，汨月号工封、*力z/c/aH日不备人“多为科t。.叼也K8KyMl网容乂4诙二十年白二项式定理经典题型及详细答案6吸式（1+

21、2工厂（3刈*展开式中的系数小：项式（1+嬴£*17尸的展开式中工的系数T?*iug"（上炉烧（狗”片qs啜叫次唱虎”21区窗百轲哈.8飙：弓外牙十c；l妾4十菖&步马喈出点MTg二口中£阳。十（T口小利"二.习丁叫嘿d（予人3G才到4+IiC号。也“A呼q2qF*以+G4£I汛b*©如（/也工戊同写c；t>xj*c才广北:，而人“C，1工方等f7"后-，2。刁.【练习】（之峭6/f-初八网出.乂？<7sa尹3小1 .二项式（刀+1）4的展开式中/的系数为囱T4V瓶403T5唠j*07疔（如jSj代当&a

22、mp;为*（I中平广。-如f罗/Ct于心/江0*（声）*Q;?二T”叫f2X-1&X不外斗上.'婷2.2一常数项和有理顼【例题】1.二顶式（2工-1一y的展开式的常数项是2x1叶。二下尸2访后&帛0（q61K，父巨,茅金J心”【窗铲C产/*6针心&冷S.工娜中（闻通项和号心"产6幺（:J）-22.二项式（1-丁产的展开式中，工的系数为X*1510咯“号号如发t用后冒如通奂保|二G：（-3。Jj七七十4m故G：*4=妙火余二J.等'工二项式q4一%展开式中含一项的系数为Jx急皿油3"当什r=】邛问疗Ti-（t）次，平/今父4於7卜a加产

23、KJ（小一向Q仔力；X）'二b出M&），金典-f5尸2、一项式（JLr+V2）IIH1的展式中x的系数为有理数的项的个数,晒邛个C：（小广陶'-广%，3士”&为亦富&喧W±2于"。5届8叫津*力%叫士露如1.&4的好做3.二项式n+H+/Nx-Ly展开式中常数项为_.嘀】仅工史的软向力yW3）&W*6"=。噂，“自*t工”上。&W，时尸叫下7广C：太二，夕工.壕吭2J+工，【产力-5叫/十*廿）（律'高'ITO二项式定理经典题型及详细答案口划成关,匡断所呼熄欢工£钳问戳贞式（

24、*+2+ip的展开式中常数项是唱逋城小可或戊算L"启<5。时。W/>十界夏工4叫磔。吗叫:；M3留T西-的工T田；2；*KIo。50室正给任牝1CO）,，3吐*"用Lr=/丫一上,短小6捺户|出自乂L（-丁）*的展开式巾的常数J矗.升字叫析法词喙7|-d庄花声,3沁寺竹y二。4尸6%上由。成大:7嘴壬海了工在（/+->的艇开式中，常数项是_.帘pc除鲍产广函乃护C；1心勺¥工片%”j4.二项式（1+2Ar/（l-f展阡式中常数项是邺W洋）叶：所毕中&7tY*六（普/z讨魅项，=工1;展4中得,吗混/#一期/“+卷跨金门打曲。句L叱常g除续

25、），二“”声中my，4以才。9atfL昭.赳什下夕*jJ思中3n考直6或届41.己知（l-2x）?=6+叫工+/工+”泡二求工册刁旧12%,+%+口工+口j+.,+.+1丁iJ'uj=-者(X1+0Lr+吗*4<7二.t3)+白工-"三+，+&-.,=)(7)=J+%+也生"蛙%+%+%+。r为Y/，节丈（出"打M博二粘和5.、二项式（总+2+4）的展开走中常教两址x，ti:+tjj+Uj+<J6)'(i+ai+fl(+/r-1叮1)“(7)|«J+|a1|+|«1|+|«1|+»+|fl

26、J+|aJ的Q="七3即)=屋联口3,，XoQ+2flj+4%+Mj+2"%+2tf7由配卬皆T或制产fU啜产尸芦蓝X疗网络映空IyMT俗心"叱图片"。/明明C9)斯+1-4，十n-i转俨4'*£*故催我iW+&r""H产照可dm牛平a&厂7那什g尿料%伉馅”112.在一项式（2#-3>的展开式中，求：门）二项式系数之和："TW»=J72需项藁选之和J7工吧印IS-J小彬和为T.（3）所亦奇数项系数之和x*（><icu+ai-44.,+入y，-f»=3t

27、LTao*TMW.9x5,L所仃顶的系数的绝对值之河二可本嵌忐和,（“沙，申冬内W对d.I3为田牝噂57.二项式定理经典题型及详细答案,7、2支a。+对*=+（+（?5、8/+c；x*展开式U+C+ey+盘上r仁-C+C-亡+十（T）dwc；+U+U+（4K'；+2C；+4C；+*r；+2aC；=t3。二和之北浮用欣财亭b3和之I承如和/9药物我*国学12it有r5,3理式岫晨杼长果大爻向【例题】r二项式（1+2工尸展开式中,U）二原式系置的最大项（»系数的最大项碎精产二时啃小巡班诙时几,牛岑夕7=耳5二叫xr.出并，.诙斗/1卜如埃二482一科以我钻肚行此外泌1Ir-tv/

28、刖，二项式履开式中求展开式中系数的绝对值最大的项一（2）求展开式中系数最大的项，（3）求展开式中系数最小的项一绅姆3OUTNX/3JC-飞心，Jb；乂理於次左L贪L殃居1次疗_正*4卜讷T7+1cA*（h1=ItZzCH9令“+）xTai+如”£"，44供褐U巨&台S3笈热传时石33I.一旦解小UJ!g1乂（“”''.4f川x所“？*2'（两不口丁一号王手赵8%4秒5金大务电血eg够磋宫古音A芍寺献即小忖n褚温k碗志二）脸&.5乡7io而-工'&_点）3。3、（J7+，F展开式中含的整数次期的网的系数VXib.之和为.

29、却.才至”t崎叩下自尸（方）二胃名r不4年次&方览融戋rw）3必f/”4只。/广。*Ct叫J我和/+小d卡木产2、已知/（笨）=（1+工厂+（1+2灯«加5£式中含上项的系数为II.求展开式中小项系数的最小值.出嘀胸式中看被时必当IN1I,/。居用第ifd-G0*f手工g4犬中盘母众小去厘屋+%s*当皿“巴升方.热喜T*T练习】1 .（/+2尸的展开式中系数最大的项：X葡忡了削佼K工G：k产爱厂xcd产第十同各tir*l*上匕：J，口_,I1I?卜&。7'b木£。厂与尸产终连本I12,二项式定理经典题型及详细答案2、求。2幻展开式中系数最大

30、的顶.斛年1皿%W%3F补吩*季小:“之步为时费心/丐军捧枭.IN"!之"夕唱3时寺朝&4J近捻大但能考点如金泰二决籥救求解【例题】L【特征项】在二项式（丁-3'的展开式中x的系数X是T。，则实数的值是.rI锦斫（传D.下H=G严小窜）刚有二王矿6尸幺勺包如-M四J划悬3唳呼尹贞为56O设工=/1试向（1*灯却展开式中笫几项最大?2.叼J.g。阜）"e由jcjxtAW.Ir3呵1*a。X=7。J.(约*c/*)5(*【常数项】若，+"】0气二T。飞6r.'的履开式中存在常数项,叫,小亦力r+*另万以则打的值可以是九;更面列飒r二o

31、r2产（尹），龙飞十别可，0，工/1”正“（应广Kf/“产一£!J怎3?=一一1（国，不5同：1问g）”叶犷碟斋£脚苛砰中户看沙fLJ六为睛有窗谈,4,已知W?+以，展开式城各项系数的和比各项的窜弃吃1日具£理抬/吟，汽，5t2+有）一(g3.【附理项】已知（五十的展开式中.前三琐二项式系数的和大992,U）求展开式中二项式系数最大的项：C2）求展开式中系数最大的项.二日卒、抬上*叫甘耳公司支”L20CW+XV的系数成等差数刎，展开式中的所有市理项1的早市依c；出桢到&77d七得gL舍J用f3工该司等卜点大双县套次掾=*£切若少受=7x¥

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