二项分布数学期望与方差专题复习有详解重点中学用

1、第十讲二项分布及应用随机变量的均值与方差知识要点1 .事件的相互独立性(概率的乘法公式)设AB为两个事件，如果RAB=RA)RB),则称事件A与事件B相互独立.2 .互斥事件概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A+B)=RA)+P(B).3 .对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则RA)=1RB).4 .条件概率的加法公式：若RC是两个互斥事件，则RBUqA)=P(B|A)+RC|A)5 .独立重复试验：在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，即若用A(i=1,2,，n)表示第i次试验结果，则RAAA-A)=P(Ai)RA)P(A)-P(A).注：判断某事件发生是

2、否是独立重复试验，关键有两点(1)在同样的条件下重复，相互独立进行；(2)试验结果要么发生，要么不发生.6 .二项分布：在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X,在每次试3中事件A发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=Ckpk-(1-p)nk(k=0,1,2，n),此时称随机变量X服从二项分布，记作XB(n,p),并称p为成功概率.注：判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点(1)是否为n次独立重复试验.(2)随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数.7 .离散型随机变量的均值与方差及其性质定义：若离散型随机变量X的分布列为RE=X

3、i)=pi,i=1,2,，n.(1)均值：称E(X)=Xp+X2P2+Xipi+Xnpn为随机变量X的均值或数学期望.n(2)方差：D(K=汇(Xi-E(X)2pi为随机变量X的方差，其算术平方根.DX为随机变量X的标准差.i=12(3)均值与万差的性质：(1)E(aX+b)=aRX)+b；(2)D(aX+b)=aD(X).(a,b为常数)8 .两点分布与二项分布的均值、方差变量X服从两点分布：E(X)=p,QX)=p(1p);XB(n,p)：E(X)=np,QK=np(1p)典例精析例1.12015高考四川，理17】某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐3名男生，2名女生，B中学

4、推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率.(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X得分布列和数学期望.1/13例2.如图，用K、A、A三类不同的元件连接成一个系统.当K正常工作且A、A至少有一个正常工作时,系统正常工作.已知K、A、入正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8,则系统正常工作的概率为()A.0.960B.0.864C.0.720D.0.576例3.(2013山东高考)甲、乙两支排球队进行比赛，

5、约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是；外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是3,假设各局比赛结果相互独立.(1)分别求甲队以3：0,3：1,3:2胜利的概率.(2)若比赛结果为3：0或3：1,则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3:2,则胜利方得2分，对方得1分.求乙队得分X的分布列及数学期望.例4.为贯彻“激情工作，快乐生活”的理念，某单位在工作之余举行趣味知识有奖竞赛，比赛分初赛和决赛两部分，为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛白比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题

6、者则被2淘汰，已知选手甲答题的正确率为；.3(1)求选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率；(2)设选手甲在初赛中答题的个数己，试写出己的分布列，并求己的数学期望.2/13例5.(2014福建高考改编)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定:每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元.求：顾客所获的奖励额为60元的概率；顾客所获的奖励额的分布列及数学期望.(2)商场对奖励总额的预算是60000元，为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场

7、的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡.下面给出两种方案：方案1:4个球中所标面值分别为10元，10元，50元，50元；方案2:4个球中所标面值分别为20元，20元，40元，40元.发率也1距月均用水，吨如果你作为商场经理，更倾向选择哪种方案？例6.(13分)如图所示，是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图.(1)求直方图中x的值；(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列、数学期望与方差.例7.(12分)某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了

8、他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：(1)指出这组数据的众数和中位数；(2)若幸福度不低于9,则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这“极幸福”的概率；(3)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区到“极幸福”的人数，求己的分布列及数学期望.幸福度306666778899765516人中随机选取3人，至多有1人是(人数很多)任选3人，记士表示抽例8.12015高考湖南，理18】某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖3/13都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的个球中，若

9、都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望例9.(2016河北张家口市三模21)(本小题满分12分)设函数fx=ex-1-xax2.(1)若!=0,求fx的单调区间；(阴若当乂0时，fx0,求a的取值范围.4/13参考答案例1.12015高考四川，理17】某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐3名男生，2名女生,B中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女

10、生中随机抽取3人组成代表队(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X得分布列和数学期望.【答案】(1)A中学至少1名学生入选的概率为p99100X123p15355(2)X的分布列为:X的期望为E(X)2.【解析】(1)由题意，参加集训的男女生各有6名.参赛学生全从B中抽取(等价于A中没有学生入选代表队)的概率为C；C：1C；C；100一，一、，1因此，A中学至少1名学生入选的概率为110099100(2)根据题意，X的可能取值为1,2,3.P(X1)胆1P(X2)-3P(XI)44,P(X2)4AC65C6

11、5P(X3)C；C；1C：5所以X的分布列为:X123P15355因此，X的期望为E(X)131232.55例2.如图1081,用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统.当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时,系统正常工作.已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8,则系统正常工作的概率为A.0.960B.0.864C.0.720D.0.5765/13【答案】BA1、A2至少有一个正常工作的概率为P1(10.8)20.96,则系统正常工作的概率为PKP0.90.960.864例3.(2013山东高考)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随一，

12、.一1.一*，一一2,，一，即结束.除第五局甲队获胜的概率是1外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是今假设各局比23赛结果相互独立.(1)分别求甲队以3：0,3：1,3：2胜利的概率.(2)若比赛结果为3：0或3：1,则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2,则胜利方得2分，对方得1分.求乙队得分X的分布列及数学期望.【尝试解答】(1)记“甲队以3：0胜利”为事件A1,“甲队以3：1胜利”为事件A2,“甲队以3：2胜利”为事件A3,由题意，各局比赛结果相互独立，“、238一、-222,228一、-222,2214故P(A1)=3=27，p(A2)=c33213*3=去，p(A3)=c4-21

13、-*/=云.所以甲队以3：0胜利，以3：1胜利的概率都为捺，以3：2胜利的概率为27.设“乙队以3：2胜利”为事件A4,由题意，各局比赛结果相互独立，2222214所以p(A4)=c413232x12=云.由题意，随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3,根据事件的互斥性得16P44P(X=0)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=27.又P(X=1)=P(A3)=27,P(X=2)=P(A4)=27,3P(X=3)=1P(X=0)P(X=1)P(X=2)=27，故X的分布列为X0123P1627427427327164437所以ex=0x27+1x27+2x27+3x27=9.例4.

14、为贯彻“激情工作，快乐生活”的理念，某单位在工作之余举行趣味知识有奖竞赛，比赛分初赛和决赛两部分，为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，6/13每位选手最多有5次选答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰，已知选手甲答题的正确率为1.3(1)求选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率；(2)设选手甲在初赛中答题的个数己，试写出己的分布列，并求己的数学期望.28【尝试解答】(1)选手甲答3道题进入决赛的概率为33=27，2c128选手甲答4道题进入决赛的概率为c33233=27,8816.选手甲答题次数不超过4次可进

15、入决赛的概率P=27+27=元;一，2Q1Q1(2)依题意，己的可取取值为3、4、5,则有P(3)=33+33=3,3+2_-31-3212211022212333=27，P(5)=C43322一3+2-31212,3327,因此，有345P1108327271108107.E仁3X3+4X27+5X27=3.规律方法2求离散型随机变量的均值与方差的方法：(1)先求随机变量的分布列，然后利用均值与方差的定义求解.(2)若随机变量XB(n,p),则可直接使用公式E(X)=np,D(X)=np(1p)求解.例5.(2014福建高考改编)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励

16、，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元.求：顾客所获的奖励额为60元的概率；顾客所获的奖励额的分布列及数学期望.商场对奖励总额的预算是60000元，为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡.下面给出两种方案：方案1:4个球中所标面值分别为10元，10元，50元，50元；方案2:4个球中所标面值分别为20元，20元，40元，40元.如果你作为商场经理，更倾向选择哪种方案？7/13【解答】(1)设顾客所获的奖励额为X.c1c311

17、依题意，得P(X=60)=-c=2,即顾客所获的奖励额为60兀的概率为2.-，1C211依题意，得X的所有可能取值为20,60.P(X=20)=C2=2，P(X=60)=2，即X的分布列为X2060p112211所以顾客所获的奖励额的数学期望为E(X)=20X2+60X2=40(兀).(2)对于方案1:设每位顾客获得的奖励额为X1元，则随机变量X1的分布列为X12060100121DP636121.数学期望E（X1）=20X-+60X-+100X=60,636、20-602221006021600方差d（X1）=6+3x（60-60）+63-根据预算，每个顾客的平均奖励额为60元，且E(X1)

18、=E(X2)=60,D(X1)D(X2).因此，根据商场的设想，应选择方案2.例6.如图10-9-4所示，是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图.8/13月均用水量/吨图1094（1）求直方图中x的值；（2）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列、数学期望与方差.【解】（1）依题意及频率分布直方图知，0.02+0.1+X+0.37+0.39=1,解得x=0.12.由题意知，XB(3,0.1).因此P(X=0)=C0X0.93=0.729,P(X=1)=C3x0.1X0.92=0.243,P(X=

19、2)=C3x0.12X0.9=0.027,P(X=3)=C3X0.13=0.001.故随机变量X的分布列为X0123P0.7290.2430.0270.001X的数学期望为E(X)=3X0.1=0.3.X的方差为D(X)=3X0.1X(10.1)=0.27.例7.某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图10-93记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：9/13幸福度67788995图1093(1)指出这组数据的众数和中位数;(2)若幸福度不低于9,则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人，至多有1人

20、是“极幸福”的概率；(3)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人,记己表示抽到“极幸福”的人数，求己的分布列及数学期望.【解】(1)众数：8,6;中位数：8.75由茎叶图可知，幸福度为“极幸福”的人有4人.设A表示所取3人中有i个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A,“、C?2C4C2212141一行=4,故依题则P(A)=P(A0)+P(A1)=C36+CV=140(3)从16人的样本数据中任意选取1人，抽到“极幸福”的人的概率为1意可知，从该社区中任选1人，抽到极幸布的人的概率p=4己的可能取值为0,1,2,3p(仁s=43=67；p(41

21、)=3_4=64八212391P(仁2)=C3424=64；P(仁3)=4所以己的分布列为0123P27279164646464_272791E0x64+1x64+2x64+3X64=0.7510/1311另解由题可知己B3,彳，所以Ee3X4=0.75.例8.12015高考湖南，理18】某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客

22、在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望.【答案】(1)二；(2)详见解析.10【解析】试题分析：(1)记事件a从甲箱中摸出的1个球是红球,a2从乙箱中摸出的1个球是红球B1顾客抽奖1次获一等奖,B2顾客抽奖1次获二等奖,C顾客抽奖1次能获奖,则可知A与A相互独立，AA2与A1A2互斥，B1与B2互斥，且B1AA2,B2A再入与，CB1B2,1再利用概率的加法公式即可求解；(2)分析题意可知X:B(3-),分别求得5P(X0)C0(1)0(4)3受，P(X1)C3(1)1(4)2逑，P(X2)C11)2)1卫,551255512555125P(X3)C；d)3(4)0工，即可知X

23、的概率分布及其期望.55125从乙箱中摸出的1个球是红球顾客抽奖1次能获奖,由题意,试题解析：(1)记事件A从甲箱中摸出的1个球是红球,AB1顾客抽奖1次获一等奖,B2顾客抽奖1次获二等奖,CB1B2,A与A相互独立，AA2与AA2互斥，B1与B2互斥，且BAA2,B2A1A2AA2,C4251211P(Al)而5P(A2)而2P(AA2)心)555P(B2)P(AA2A1A2)RA1A2)P(AA2)P(A1)(1P(A2)(1P(A)P(A2)(2)(1J(1215)21117一,故所求概率为P(C)P(BB2)P(B1)P(Bz)；2521011/13客抽英2次独立重复试验,由门)知，丽

24、客抽奖1次获一等奖的概率为匕X、于是产(，=o)=T占。=黑，a是=1)=原纸务=露小=4=吠&奋=2，351力!?125512;.14A1P(X=)=Cr(-T(-y=.敌的分布列为n312Ci：P641254812512125J_125文的教学期望为(=3x1=4【考点定位】1.概率的加法公式；2.离散型随机变量的概率分布与期望.【名师点睛】本题主要考查了离散型随机变量的概率分布与期望以及概率统计在生活中的实际应用，这一直都是高考命题的热点，试题的背景由传统的摸球，骰子问题向现实生活中的热点问题转化，并且与统计的联系越来越密切，与统计中的抽样，频率分布直方图等基础知识综合的试题逐渐增多，在

25、复习时应予以关注.例9.12015高考四川，理21】已知函数f(x)2(xa)lnxx22ax2a2a,其中a0.(1)设g(x)是f(x)的导函数，评论g(x)的单调性；(2)证明：存在a(0,1),使得f(x)0在区间(1,+)内恒成立，且f(x)0在(1,+)内有唯一解【答案】(1)当0a1时，g(x)在区间(0,1，14a),(114a,)上单调递增，在区间422(114a,114a)上单调递减；当a1时，g(x)在区间(0,)上单调递增.(2)详见解析.224【解析】(1)由已知，函数f(x)的定义域为(0,),121a22a2(x/22(a,)g(x)f(x)2x2a2lnx2(1),所以g(x)22号2-.xxxx，.一1114a114a当0a一时，g(x)在区间(0,),(,)上单调递增，422114a114a在区间(114a,17；4a)上单调递减;-1当a时，g(x)在区间(0,)上单调递增.由f(x)2x2a2lnx2(1-)0,解得aIn