济南大学高等数学C一ch5学习教案

1、会计学1济南大学济南大学(dxu)高等数学高等数学C一一ch5第一页，共73页。例例: :xxcos)(sin .)()(,)()()()(:,的原函数的原函数为为称称或或有有上上若在区间若在区间xfxFdxxfxdFxfxFIxI 定义定义(dngy(dngy)：xCxcos)(sin 即：导数(do sh)等于f(x)的函数F(x)叫做f(x)的原函数。的原函数的原函数是是xxcossin的原函数的原函数是是xCxcossin 第1页/共73页第二页，共73页。原函数存在原函数存在(cnzi)(cnzi)定理：连续函数一定存在定理：连续函数一定存在(cnzi)(cnzi)原函数原函数. .

2、 注注 必必存存在在原原函函数数连连续续若若)(1xf.)()(),()(),()()()(),()(CxGxFxfxGxfxFxfCxFxfxF 则则若若的原函数，的原函数，都是都是则则即若即若 , 0)()()()()()( xfxfxGxFxGxF（ 为任意常数）为任意常数）C 数数之之间间仅仅差差一一个个常常数数原原函函数数，且且每每两两个个原原函函就就有有无无穷穷多多个个有有一一个个原原函函数数若若)()(2xfxf.)()(CxGxF )()(xfxF 第2页/共73页第三页，共73页。任意常数任意常数积分号积分号被积函被积函数数不定积分不定积分(b (b dndn j fn) j

3、 fn)的的定义：定义：CxFdxxf )()(被积表达式被积表达式积分变量积分变量 .)()(.)()()()(CxFdxxfxfCxFxfxF记记作作：的的不不定定积积分分为为，称称若注：要求 dxxf)(只需求出f(x)的一个原函数，再加 C 即可. 第3页/共73页第四页，共73页。例例1 求求.5dxx 解解,656xx .665Cxdxx 解解 例例2 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 Cxdxx第4页/共73页第五页，共73页。 Cxxdxxx 222,2如如注注 :2 不不定定积积分分的的几几何何意意义义 是是函函数数； dxxf)(1一积分

4、一积分(jfn)曲线族曲线族 .3”运运算算关关系系：互互逆逆运运算算”与与“dxd dxxf)()1( dxxf)(2 ）（)(相相互互抵抵消消 )()(xfCxF )(差一常数差一常数Cxf )(第5页/共73页第六页，共73页。实例实例(sh(shll) xx 11.11Cxdxx 启示启示(qs(qsh)h)能否根据能否根据(gnj)(gnj)求导公式得出积求导公式得出积分公式？分公式？结论结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因此既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式可以根据求导公式得出积分公式. .)1( 第6页/共73页第七页，共73页。是是常常数数） k

5、Ckxkdx()1();1(1)2(1 Cxdxx dxx211)4(;arctanCx dxx211)5(;arcsinCx xdx)3(;lnCx 第7页/共73页第八页，共73页。 xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax xdx2cos)8( xdx2sec;tanCx xdx2sin)9( xdx2csc;cotCx xdxcos)6(;sinCx xdxsin)7(;cosCx 第8页/共73页第九页，共73页。例例3 求积分求积分.2dxxx 解：解：dxxx 2dxx 25Cx

6、125125.7227Cx 根据积分根据积分(jfn)(jfn)公式（公式（2 2）Cxdxx 11 第9页/共73页第十页，共73页。 dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf设函数(hnsh)f(x)及 g(x)的原函数(hnsh)存在，则 dxxkf)()2(.)( dxxfk解：解：例例4 求积分求积分.)1213(22dxxx dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 C 第10页/共73页第十一页，共73页。解：解：例例4 求积分求积分.)1213(22dxxx dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113

7、xarctan3 xarcsin2 C 第11页/共73页第十二页，共73页。解解例例5 求积分求积分.)1(122dxxxxx dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112.lnarctanCxx 第12页/共73页第十三页，共73页。解：解：例例6 求积分求积分.2cos11 dxx dxx2cos11 dxx1cos2112 dxx2cos121.tan21Cx 说明说明(shum(shumng)ng)：以上几例中的被积函数都需要进行恒等以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形变形(bin xng)(bin xng)，才能使用基本积，才能

8、使用基本积分表分表. .第13页/共73页第十四页，共73页。函数函数xx2sin;2cos21 是否都是函数是否都是函数x2sin的原函数的原函数?解解答答(jid)xxxx2sin)2(2sin21)2cos21( xxxx2sin)(sinsin2)(sin2 所以所以(suy)都是都是函数函数x2sin的原函数的原函数第14页/共73页第十五页，共73页。cxdxx sincos解解答答(jid)xx2cos2)2(sin cxxdx sincos因为因为(yn wi)cxdxx 2sin2cos?积分(jfn)变量统一 dxxx21coscxdxx 2sin2cos2第15页/共73

9、页第十六页，共73页。已知一曲线已知一曲线)(xfy 在点在点)(,(xfx处的切处的切线斜率为线斜率为xxx22sincos2cos, ,且此曲线与且此曲线与x轴的交点为轴的交点为)0 ,4( , ,求此曲线的方程求此曲线的方程. . 第16页/共73页第十七页，共73页。解：解：.tancotCxx , 0)4( y, 2 C所求曲线所求曲线(qxin)(qxin)方方程为程为: :. 2tancot xxy dxxxxy22sincos2cos,sincos2cos22xxxdxdy dxxxxx2222sincossincos dxxx)cos1sin1(22第17页/共73页第十八页

10、，共73页。基本基本(jbn)(jbn)积分表：积分表： 13 13个个不定积分不定积分(b dn(b dn j fn) j fn)的性质的性质 原函数的概念原函数的概念(ginin)(ginin)：)()(xfxF 不定积分的概念： CxFdxxf)()(求微分与求积分的互逆关系： dxxf)()1( )()(xfCxF dxxf)(2 ）（Cxf )(第18页/共73页第十九页，共73页。P183 T1(偶数(u sh), T2第五章第五章 不定积分不定积分(b (b dndn j fn) j fn)第19页/共73页第二十页，共73页。第一类换元积分法第一类换元积分法第二类换元积分法第二

11、类换元积分法第五章第五章 不定积分不定积分(b (b dndn j fn) j fn)思考题思考题小结小结(xioji)第20页/共73页第二十一页，共73页。基本基本(jbn)(jbn)积分表：积分表： 15 15个公式个公式不定积分不定积分(b dn(b dn j fn) j fn)的性质的性质 原函数的概念原函数的概念(ginin)(ginin)：)()(xfxF 不定积分的概念： CxFdxxf)()(求微分与求积分的互逆关系： dxxf)()1( )()(xfCxF dxxf)(2 ）（Cxf )(第21页/共73页第二十二页，共73页。问题问题(wnt(wnt):): xdx2co

12、s,2sinCx 解决解决(jiju)(jiju)方方法法: :利用利用(lyng)(lyng)复合函数，设置中间变复合函数，设置中间变量量. .过程过程: :令令xt2 ,21dtdx xdx2cosdtt cos21Ct sin21.2sin21Cx 第22页/共73页第二十三页，共73页。在一般在一般(ybn)情况下：情况下：设设),()(ufuF 则则.)()( CuFduuf如果如果)(xu （可微）（可微） )()()(xxfxF CxFdxxxf)()()( )()(xuduuf 由此可得换元法定理由此可得换元法定理(dngl).,为为中中间间变变量量u )()(xdxf CuF

13、 )(第23页/共73页第二十四页，共73页。 dxxxf)()( CuFduufxu )()()( 第一类换元公式第一类换元公式(gngsh)CxF )( )(xd （凑微分（凑微分(wi fn)(wi fn)法）法）设设)(uf有原函数有原函数 )(xu 可导，可导， 则有则有: : 定理定理(dngl)1，)(uFCedxexx Cexdexx lnlnln dxxex1ln第24页/共73页第二十五页，共73页。 dxxxf)()( CuFduufxu )()()( 第一类换元公式第一类换元公式(gngsh)注：注：CxF )( )(xd 1. 使用此公式使用此公式(gngsh)的关键

14、在于将需要求的积的关键在于将需要求的积分：分： dxxg)(凑成凑成.)()( dxxxf2. 基本(jbn)步骤：（凑微分法）（凑微分法）设设)(uf有原函数有原函数 )(xu 可导，可导， 则有则有: : 定理定理1，)(uF(1)凑微分;(2)换元;(3)最后代回为x的函数 )()(xdxf 或或分分表表. .) )看看作作整整体体应应用用基基本本积积( () )把把( (x 4 4注意定理条件第25页/共73页第二十六页，共73页。例例1 求求.2sin xdx解解（一）（一） xdx2sin )2(2sin21xxd;2cos21Cx （二）（二） xdx2sin xdxxcossi

15、n2 )(sinsin2xxd ;sin2Cx （三）（三） xdx2sin xdxxcossin2 )(coscos2xxd .cos2Cx （一）基本（一）基本(jbn)凑凑微分法微分法第26页/共73页第二十七页，共73页。例例2 求求.231dxx 解：解：dxx 231）xdx23(23121 .23ln21Cx dudxux21,23 或：直接令或：直接令duu 121Cu ln21.23ln21Cx ）baxdadx (1第27页/共73页第二十八页，共73页。例例3 求求.)ln21(1dxxx 解：解：dxxx )ln21(1)(lnln211xdx )ln21(ln2112

16、1xdx xuln21 duu121Cu ln21.ln21ln21Cx 凑微分形式：xddxxln1 注：熟练掌握凑微分法的基础, 注意(zh y)积累常用凑微分公式。（二）多步凑微分（二）多步凑微分(wi fn)法法第28页/共73页第二十九页，共73页。例例4 求求.)1(3dxxx dxxx 3)1(11原式原式dxxx)1(1)1(132 .)1(21112Cxx )1(xd 解：解：第29页/共73页第三十页，共73页。例例5 求求.122dxxa dxaxa 222111原式原式 axdaxa2111.arctan1Caxa 注：结果可作为公式，计算时直接(zhji)套用。dxx

17、a 221.arctan1Caxa 解：解：第30页/共73页第三十一页，共73页。例例7 求求.25812dxxx 解：解：dxxx 25812dxx 9)4(12dxx 13413122 341341312xdx.34arctan31Cx 第31页/共73页第三十二页，共73页。例例7 求求.11dxex 分析分析(fnx(fnx)：dxex 11dxeeexxx 11dxeexx 11dxeedxxx 1)1(11xxede 1),1ln(1 tdtdxtxtex，令解：设令解：设dttttdtt 11111原式原式第32页/共73页第三十三页，共73页。dxexxx 12)11(,11

18、12xxx Cexxdexxxx 11)1(（三）联合（三）联合(linh)凑微分法凑微分法例例8 求求.)11(12dxexxx 解：第33页/共73页第三十四页，共73页。 xdxx52cossin )(sincossin42xxdx )(sin)sin1(sin222xdxx )(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx 三角函数相乘时，拆开三角函数相乘时，拆开奇奇次项去凑微分次项去凑微分. .（四）三角函数积分（四）三角函数积分(jfn)技技巧法巧法解： 例例9 求求.cossin52 xdxx第34页/共73页第三十五页，共73页。

19、 问题：问题：?125 dxxx解决解决(jiju)(jiju)方法：方法：作适当的变量作适当的变量(binling)(binling)替替换换. .过程过程(guchn(guchng)g)：令令txsin ,costdtdx dxxx251tdtttcossin1)(sin25 tdtt25cossin （应用（应用“凑微分凑微分”即可求出结果）即可求出结果）第35页/共73页第三十六页，共73页。则有换元公式则有换元公式(gngsh)(gngsh) )()()()(xtdtttfdxxf 定理定理(dngl)(dngl)2 2其中)(x是)(tx的反函数 . 第36页/共73页第三十七页，

20、共73页。解解 例例10 求求).0(122 adxax令令taxtan tdtadx2sec dxax221tdtata2secsec1 tdtsecCtt sectanlntax22ax .ln22Caaxax 2,2t .ln122Caxx 三角(snjio)代换法第37页/共73页第三十八页，共73页。解：解： 例例11 求求.423dxxx 令令txsin2 tdtdxcos2 2,2t tdtttcos2sin44sin223 原式原式tdtt23cossin32 tdttt22cos)cos1(sin32 tdttcos)cos(cos3242 Ctt )cos51cos31(3

21、253t2x24x .4514345232Cxx 第38页/共73页第三十九页，共73页。解：解： 例例12 求求).0(122 adxax令令taxsec 2, 0ttdttadxtansec dxax221dttatta tantansec tdtsecCtt tanseclntax22ax Caaxax 22ln.ln122Caxx 第39页/共73页第四十页，共73页。注注: :一般规律一般规律(gul)(gul)如下：当被积函数如下：当被积函数中含有中含有22)1(xa 可令可令)2,2(sin ttax22)2(xa 可令可令)2,2(tan ttax22)3(ax 可令可令)2,

22、 0(sec ttax三角代换三角代换(di hun)目的是化掉目的是化掉根式根式.tdtadxcos taxacos22 tdtadx2sec taxasec22 tdttadxtansec taaxtan22 第40页/共73页第四十一页，共73页。做 变 换做 变 换(binhu(binhun): n): )()(1xttx 计算计算(j sun)(j sun)被积表达式被积表达式: : dtttfdxxf)()()( ctFdtttfdxxf )()()()( 求不定积分求不定积分: : 还回原变量还回原变量: ctFctFdtttfdxxf )()()()()(1 第41页/共73页

23、第四十二页，共73页。 21xt 令令 tdttt 221原式原式 dttt 1224Cttt 353251).(回代回代 解：例例13 求求521xdxx 三角(snjio)代换很繁琐, 122 tx,tdtxdx 注注: : 代换的灵活多样性代换的灵活多样性根式根式(gnsh)(gnsh)有理化代换有理化代换第42页/共73页第四十三页，共73页。 注注: :当分母的阶较高时当分母的阶较高时, , 可采用可采用(ciyng)(ciyng)倒代换倒代换.1tx 例例14 求求dxxx )2(17令令tx1 ,12dttdx dtttt 27121原式原式 dttt7621Ct |21|ln1

24、417.|ln21|2|ln1417Cxx 解：7721171dtt 第43页/共73页第四十四页，共73页。基基本本(j(jb bn)n)积积分分表表;coslntan)14( Cxxdx;sinlncot)15( Cxxdx;tanseclnsec)16( Cxxxdx;cotcsclncsc)17( Cxxxdx;arctan11)18(22Caxadxxa ;arcsin1)20(22Caxdxxa .ln1)21(2222Caxxdxax ;ln211)19(22Caxaxadxax 第44页/共73页第四十五页，共73页。解法解法(ji f)一一 求求.125dxxx 三角三角(s

25、njio)代代换法换法令令tdtdxtx2sectan dxtttdxxx 2525secsectan.1 2,2t第45页/共73页第四十六页，共73页。解法解法(ji f)二二 根式根式(gnsh)有理化代换有理化代换法法令令tdtxdxxt 21dttttdxxxx 2224)1(.1 求求.125dxxx 第46页/共73页第四十七页，共73页。求求.1)1(dxxeexxx .11xxdxexe .111）（xxxedxe Cxex |1|ln第47页/共73页第四十八页，共73页。1.第一(dy)换元法（凑微分法）基本(jbn)步骤：1、凑微分; 2、换元; 3、回代 dxxg)(

26、凑微分凑微分 dxxxf)()( )()(xdxf duuf)(x)u换元换元 CxFCuF )()( 关键步骤: 凑微分(wi fn)。三角代换、倒代换等三角代换、倒代换等2.第二换元法)(tx 令令 )()()()(xtdtttfdxxf CtFCtF )()( 第48页/共73页第四十九页，共73页。;)(. 11dxxxfnn ;)(. 2dxxxf;)(ln. 3dxxxf;)1(. 42dxxxf;cos)(sin. 5xdxxf;)(. 6dxaafxx第一第一(dy)(dy)换元法常换元法常见类型见类型: :;sec)(tan. 72xdxxf;1)(arctan. 82dxx

27、xf 第49页/共73页第五十页，共73页。P197 T1(奇数(j sh), T2第五章第五章 不定积分不定积分(b (b dndn j fn) j fn)第50页/共73页第五十一页，共73页。分部分部(fn b)积分法公式积分法公式分部分部(fn b)积分法解积分法解题技巧题技巧第五章第五章 不定积分不定积分思考题思考题小结小结第51页/共73页第五十二页，共73页。1.第一(dy)换元法（凑微分法）基本(jbn)步骤：1、凑微分; 2、换元; 3、回代 dxxg)(凑微分凑微分 dxxxf)()( )()(xdxf duuf)(x)u换元换元 CxFCuF )()( 关键步骤: 凑微分

28、。三角代换、倒代换等三角代换、倒代换等2.第二换元法)(tx 令令 )()()()(xtdtttfdxxf CtFCtF )()( 第52页/共73页第五十三页，共73页。;)(. 11dxxxfnn ;)(. 2dxxxf;)(ln. 3dxxxf;)1(. 42dxxxf;cos)(sin. 5xdxxf;)(. 6dxaafxx第一第一(dy)(dy)换元法常见类换元法常见类型型: :;sec)(tan. 72xdxxf;1)(arctan. 82dxxxf 第53页/共73页第五十四页，共73页。问题问题(wnt(wnt) ?dxxex解决解决(jiju)(jiju)思路思路利用两个利

29、用两个(lin(lin )函数乘积函数乘积的求导法则的求导法则. . ,vuvuuv , vuuvvu ,dxvuuvdxvu .duvuvudv 分部积分公式分部积分公式?vu、如何选择如何选择关键：关键：第54页/共73页第五十五页，共73页。 例例1 求积分求积分.cos xdxx解解（一）（一）令令,cos xu 2 2xvxv 则则 xdxxcos xdxxxxsin2cos222显然，显然， 选择不当选择不当，积分更难进行，积分更难进行. .vu , （二）（二）令令, xu xvxvsin cos 则则 xdxxcos xdxxxsinsin.cossinCxxx 幂函数与三角函

30、数(snjihnsh)乘积注：简单简单易求易求的选择原则的选择原则uvvu， ,第55页/共73页第五十六页，共73页。 若被积函数是若被积函数是幂函数和正幂函数和正( (余余) )弦函弦函数或幂函数和指数函数数或幂函数和指数函数的乘积的乘积, ,就考虑设就考虑设幂幂函数为函数为 , ,使其降幂一次使其降幂一次. .u 例例2 求积分求积分.2 dxexx解解,2xu , xxevev 则则 dxexx2 dxxeexxx22.)(22Cexeexxxx （再次使用（再次使用(shyng)(shyng)分分部积分法）部积分法）, xu xev 结论结论(jiln)1幂函数与指数函数(zh sh

31、 hn sh)乘积第56页/共73页第五十七页，共73页。 例例3 求积分求积分.arctan xdxx解解令令,arctanxu 2 2xvxv 则则 xdxxarctan)(arctan2arctan222xdxxx dxxxxx222112arctan2 dxxxx)111(21arctan222 .)arctan(21arctan22Cxxxx 幂函数与反三角函数(snjihnsh)乘积第57页/共73页第五十八页，共73页。 若被积函数是若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设的乘积，就考虑设对对数函数或反三角函数为数函数或

32、反三角函数为 . .u 例例4 求积分求积分.ln3 xdxx解解,ln xu ,4 43xvxv 则则 xdxx ln3 dxxxx3441ln41.161ln4144Cxxx 结论结论(jiln)2幂函数与对数函数(du sh hn sh)乘积第58页/共73页第五十九页，共73页。 例例5 求积分求积分.sin xdxex解解 xdxexsin xxdesin )(sinsinxdexexx xdxexexxcossin xxxdexecossin )coscos(sinxdexexexxx xdxexxexxsin)cos(sin xdxexsin.)cos(sin2Cxxex 注意注

33、意(zh y)(zh y)循环形式循环形式结论结论3 在接连几次应用分部积分公式时，在接连几次应用分部积分公式时，注意前后几次所选的注意前后几次所选的 应为应为同类型函数同类型函数. .u指数函数(zh sh hn sh)与三角函数乘积第59页/共73页第六十页，共73页。 例例6 求积分求积分.)sin(ln dxx解解 dxx)sin(ln )sin(ln)sin(lnxxdxx dxxxxxx1)cos(ln)sin(ln )cos(ln)cos(ln)sin(lnxxdxxxx dxxxxx)sin(ln)cos(ln)sin(ln dxx)sin(ln.)cos(ln)sin(ln2

34、Cxxx 第60页/共73页第六十一页，共73页。解解 ,1122xxx dxxxx21arctan 21arctanxxd)(arctan1arctan122xdxxx dxxxxx222111arctan1 .1arctan2dxxxx例例6 求积分求积分第61页/共73页第六十二页，共73页。dxxxx 2211arctan1令令txtan dxx 211 tdtt22sectan11 tdtsecCtt tanseclnCxx 21ln dxxxx21arctanxx arctan12 .1ln2Cxx 第62页/共73页第六十三页，共73页。 已知已知)(xf的一个原函数是的一个原函

35、数是 2xe , 求求 dxxfx)(. dxxfx)( )(xxdf,)()( dxxfxxf,)(2 Cedxxfx又又两边同时对两边同时对 求导求导, , 得得x,2)(2xxexf dxxfx)( dxxfxxf)()(222xex .2Cex 解解第63页/共73页第六十四页，共73页。 求积分求积分解：解：.dxex 令令xt ,2tdtdx tdtedxetx2 ttde2tttee dt() 2ttteeC()2xex1C()2第64页/共73页第六十五页，共73页。解：解： ,cos)(sin22xxf 设设)(xf求求令令xu2sin ,1cos2ux ,1)(uuf duuuf 1)(,212Cuu .21)(2Cxxxf 第65页/共73页第六十六页，共73页。duvuvudv 分部分部(fn b)积分法积分法1、被积函数为幂函数与指数、被积函数为幂函数与指数(zhsh)、三角函数相乘时、三角函数相乘时2、被积函数为幂函数与对数、被积函数为幂函数与对数(du sh)、反三角、反三角相乘时相乘时3、被积函数为、被积函数为