高等数学第9章 线性方程组ppt课件

1、第九章第九章 线性方程组线性方程组9.1 线性方程组的消元法线性方程组的消元法9.2 非齐次线性方程组非齐次线性方程组9.3 齐次线性方程组齐次线性方程组9.4 应用与实践应用与实践9.5 拓展与提高拓展与提高 一 知识结构框图 第九章第九章 线性方程组线性方程组二二 教学的基本要求和重点、难点教学的基本要求和重点、难点第九章第九章 线性方程组线性方程组 1. 基本要求基本要求 (1)线性方程组的消元法。(2)用矩阵的初等行变换判定关于线性方程组解 的情况和求齐次线性方程组一般解的方法。(3)线性方程组的经济应用。第九章第九章 线性方程组线性方程组 2. 重点与难点重点与难点 (1) (1)重

2、点重点 消元法、矩阵的初等行变换、线性方程组消元法、矩阵的初等行变换、线性方程组解的判定、齐次线性方程组的一般解。解的判定、齐次线性方程组的一般解。 (2) 难点 线性方程组解的判定、求齐次线性方程组的一般解。9.1 线性方程组的消元法线性方程组的消元法第九章第九章 线性方程组线性方程组线性方程组的一般形式为线性方程组的一般形式为 11 11221121 1222221 122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxa xb ，9.1 线性方程组的消元法线性方程组的消元法系数矩阵系数矩阵 mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211增广矩阵增广矩阵 m

3、mnmmnnbaaabaaabaaaA212222211112119.1 线性方程组的消元法线性方程组的消元法例例1 解线性方程组解线性方程组，25342333513121321321321xxxxxxxxx解：第一步：交换第一解：第一步：交换第一个方程和第二个方程的个方程和第二个方程的位置，得位置，得 ，25342131213335321321321xxxxxxxxx9.1 线性方程组的消元法线性方程组的消元法第二步：上式第一个方程乘第二步：上式第一个方程乘-1/2和和-2分别加到第二个和分别加到第二个和第三个方程，得第三个方程，得 1232323533311122224xxxxxxx ，第

4、三步：上式第二个方程第三步：上式第二个方程两边乘以两边乘以 -2，得，得，42133353232321xxxxxxx9.1 线性方程组的消元法线性方程组的消元法第四步：上式第二个方程乘以2加到第三个方程，得 123233533312xxxxxx，2,3,4321xxx方程组的解为 阶梯形方程组阶梯形方程组 9.1 线性方程组的消元法线性方程组的消元法 把方程组化为阶梯形方程组，需要反复运用以下三种变换： 1交换两个方程的位置；2用一个非零数乘某个方程；3用一个非零数乘某个方程加在另一个方程上。 将任一个方程组进行上述变换所得到的新方程组与原方程组是同解方程组。上述三种变换称为线性方程组的初等变

5、换。9.1 线性方程组的消元法线性方程组的消元法例例1的求解过程用矩阵的初等行变换表示如下：的求解过程用矩阵的初等行变换表示如下： 4120033125211213312523311121212135)2()(343135),(34353121215533( 2)21331330111011102140012B 阶梯形矩阵B对应的阶梯形方程组是：，213333232351xxxxxx2,3,4321xxx9.1 线性方程组的消元法线性方程组的消元法 另外，若将矩阵另外，若将矩阵B用初等行变换化为行用初等行变换化为行简化阶梯形矩阵简化阶梯形矩阵100401030012则矩阵的最后一列元素就是方程

6、组的解。则矩阵的最后一列元素就是方程组的解。 9.2 非齐次线性方程组非齐次线性方程组第九章第九章 线性方程组线性方程组9.2.1 解的判定解的判定 一般地，含有n个未知量、m个方程的线性方程组为11 11221121 1222221 122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb ，9.2 非齐次线性方程组非齐次线性方程组其增广矩阵为其增广矩阵为mmnmmnnbaaabaaabaaaA212222211112119.2 非齐次线性方程组非齐次线性方程组经过初等行变换后可以化成以下的形式：经过初等行变换后可以化成以下的形式：00000000000100010

7、0011122121111rrrnrrnrnrccaacaacaanr9.2 非齐次线性方程组非齐次线性方程组当时当时cr+1=0，上式变成，上式变成000000100010001122121111rrnrrnrnrcaacaacaa9.2 非齐次线性方程组非齐次线性方程组当当rn时，这个线性方程组可相应地化为时，这个线性方程组可相应地化为rnrnrrrrnnrrnnrrcxaxaxcxaxaxcxaxax112211221111119.2 非齐次线性方程组非齐次线性方程组)()()(11211222111111nrnrrrrrnnrrnnrrxaxacxxaxacxxaxacx所以所以 任意

8、取定的一组值，都可求得这个线性方程组的相应的一个解。此时，该线性方程组有无穷多解。 nrrxxx,219.2 非齐次线性方程组非齐次线性方程组当当r=n时，这个线性方程组可相应地化为时，这个线性方程组可相应地化为1122nnxcxcxc，此时，该线性方程组有惟一确定的一个解。此时，该线性方程组有惟一确定的一个解。 9.2 非齐次线性方程组非齐次线性方程组当时当时cr+10，线性方程组相应地化为，线性方程组相应地化为，1112211221111110rrnrnrrrrnnrrnnrrccxaxaxcxaxaxcxaxax最后一个方程不成立，即原方程组无解。最后一个方程不成立，即原方程组无解。 9

9、.2 非齐次线性方程组非齐次线性方程组 定理定理9.1 设有设有m个方程、个方程、n个未知量的线性个未知量的线性方程组，其系数矩阵方程组，其系数矩阵A的秩为的秩为r(A)，增广矩阵，增广矩阵 的秩为的秩为 ，则有如下结论：，则有如下结论： A)(Ar(1)(1)线性方程组有解的充分必要条件是线性方程组有解的充分必要条件是 )()(ArAr(2)(2)假设假设 ，线性方程组有且只有惟一解；，线性方程组有且只有惟一解；nArAr)()(3)(3)假设假设 ，则线性方程组有无穷多解；，则线性方程组有无穷多解；( )( )r Ar An(4)(4)假设假设 ，则线性方程组没有解。，则线性方程组没有解。

10、)()(ArAr9.2 非齐次线性方程组非齐次线性方程组9.2.2 求解举例求解举例例例2 判定下列线性方程组是否有解？判定下列线性方程组是否有解？，831234321332321321321321xxxxxxxxxxxx9.2 非齐次线性方程组非齐次线性方程组解：解： 21630401170227101332183111213413213321)1()3()2(A31003100227101332145150011438002271013321)()()1()3()7(1513819.2 非齐次线性方程组非齐次线性方程组( 1)123130172200130000 ( )( )3r Ar A

11、原方程组有解原方程组有解 9.2 非齐次线性方程组非齐次线性方程组 例例3 k为何值时为何值时,线性方程组无解、有惟一线性方程组无解、有惟一解或有无穷多解解或有无穷多解 。 1554212321321321xxxxxkxxkxx60556301211215542111121312)5(kkkkkkArrrr解：解： 9.2 非齐次线性方程组非齐次线性方程组 900453012112235kkkkrr45( )( )kr Ar A 时，原方程组无解。451( )( )3kkr Ar An 且时，原方程组有惟一解。1( )( )2kr Ar An时，原方程组有无穷多解。9.3 齐次线性方程组齐次线

12、性方程组第九章第九章 线性方程组线性方程组9.3.1 解的情况解的情况 定义定义9.2 常数项都等于零的线性方程组称常数项都等于零的线性方程组称为齐次线性方程组。其一般形式为为齐次线性方程组。其一般形式为，000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa9.3 齐次线性方程组齐次线性方程组 定理9.2 设齐次线性方程组系数矩阵A的秩r(A)=r。(1)(1)若若r=nr=n，则齐次方程组只有零解，则齐次方程组只有零解; ;(2)若若rn，则齐次方程组有无穷多个非零解。，则齐次方程组有无穷多个非零解。9.3 齐次线性方程组齐次线性方程组定理定理9.

13、3 齐次线性方程组齐次线性方程组，000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa有非零解的充分必要条件是它的系数行列式有非零解的充分必要条件是它的系数行列式| 0A 9.3 齐次线性方程组齐次线性方程组例例4 当当m取什么值时，线性方程组有非零解。取什么值时，线性方程组有非零解。 1231123212332323336xxxmxxxxmxxxxmx解：原方程组可化成解：原方程组可化成 ，0)6(3303)1 (2032)1 (321321321xmxxxxmxxxxm9.3 齐次线性方程组齐次线性方程组根据定理根据定理9.3，它有非零解的充分必

14、要条件是，它有非零解的充分必要条件是0633312321mmm(1)(9)0m mm9,1,0mmm时方程组有非零解。时方程组有非零解。 9.3 齐次线性方程组齐次线性方程组 例 5 求方程组的一般解。 037033004324324214324321xxxxxxxxxxxxx解：解： 1370135011104321137030311110432113)1(rrA9.3 齐次线性方程组齐次线性方程组1232134222( 5)710121012011101110024001200480048rrrrrrr 132343( 1)41000010100120000rrrrrr 9.3 齐次线性方

15、程组齐次线性方程组对应的同解方程组是对应的同解方程组是 020043421xxxxx得到原方程组的一般解是得到原方程组的一般解是 4342120 xxxxxx4为自由未知量。为自由未知量。. 9.4 应用与实践应用与实践9.4.1 运用运用 第九章第九章 线性方程组线性方程组价值型投入产出数学模型价值型投入产出数学模型 表中xi表示第i个生产部门的总产值；xij表示第j部门在生产过程中消耗第i部门的产品数量；yi表示第i部门最终产品量；dj,vj,mj分别表示第j部门的固定资产折旧、劳动报酬、纯收入数值；zj表示第j部门新创造的价值。9.4 应用与实践应用与实践9.4 应用与实践应用与实践 每

16、一个生产部门分配给各部门作为生产的投入产品数量与作为最终产品使用的产品数量之和等于该部门的总产品数量。 1111211221222212nnnnnnnnxxxxyxxxxyxxxxy 称为分配平衡方程组。 9.4 应用与实践应用与实践 在某一生产部门中，各部门对它投入的产品数量与该部门的固定资产折旧、新创造价值之和等于它的总产品数量。即 111211112122222212nnnnnnnnnxxxxdzxxxxdzxxxxdz 称为消耗平衡方程组。 9.4 应用与实践应用与实践 定义定义9.3 第第j部门生产单位产品直接消耗部门生产单位产品直接消耗第第i部门的产品量，称为第部门的产品量，称为第

17、j部门对第部门对第i部门的部门的直接消耗系数，记作直接消耗系数，记作aij，即，即 ),2, 1,(njixxajijij各部门之间的直接消耗系数构成的n阶矩阵111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa称为直接消耗系数矩阵。 9.4 应用与实践应用与实践直接消耗系数矩阵直接消耗系数矩阵A具有如下的性质：具有如下的性质：性质性质9.1 所有元素是非负的，且所有元素是非负的，且 01( ,1, 2,)ijaijn。性质性质9.2 各列元素的绝对值之和均小于各列元素的绝对值之和均小于1。9.4 应用与实践应用与实践 第j部门生产产品时通过其它各部门间接消耗第i部门的产品称为第j部门对第

18、i部门的间接消耗。直接消耗与间接消耗之和称为完全消耗。 9.4 应用与实践应用与实践 定义定义9.4 第第j部门生产单位产品时对第部门生产单位产品时对第i部部门完全消耗的产品量称为第门完全消耗的产品量称为第j部门对第部门对第i部门的部门的完全消耗系数，记作完全消耗系数，记作bij，即，即 1( ,1,2, )nijijirrjrbab aijn 其中 表示间接消耗的总和。nrrjirab19.4 应用与实践应用与实践各部门之间的完全消耗系数构成的矩阵各部门之间的完全消耗系数构成的矩阵nnnnnnbbbbbbbbbB212222111211称为完全消耗系数矩阵。称为完全消耗系数矩阵。 直接消耗系

19、数矩阵与完全消耗系数矩阵之直接消耗系数矩阵与完全消耗系数矩阵之间有如下关系，即间有如下关系，即1()BEAE9.4 应用与实践应用与实践 例6 已知某一经济系统的投入产出表如下: 求(1) 总产品x1，x2，x3；(2) 固定资产折旧d1，d2，d3；(3) 直接消耗系数矩阵A 。(4) 完全消耗系数矩阵B。9.4 应用与实践应用与实践解：(1) 根据分配平衡方程组,可得 603812010754002015754515150333323132232221211312111YxxxxYxxxxYxxxx 所以各部门的总产品分别是 60,75,75321xxx9.4 应用与实践应用与实践 (2)

20、 根据消耗平衡方程组 333332313322232221221113121111mVdxxxxmVdxxxxmVdxxxx3102012015605102502015751015251015075333323133322322212221131211111mVxxxxdmVxxxxdmVxxxxd即各部门的固定资产折旧分别是 3,5,10321ddd9.4 应用与实践应用与实践(3)直接消耗系数矩阵为 321111333231232221131211000000 xxxxxxxxxxxxA17517516001515001520000100120000.20.250.20.266700.13

21、3300.29.4 应用与实践应用与实践(4) (4) 由于由于 10000.20.2510.20.250100.20.266700.20.733300010.133300.20.133300.8EA 用矩阵的初等行用矩阵的初等行变换可求得变换可求得 31. 105. 018. 009. 045. 13 . 035. 03 . 011. 1)(1AI所以完全消所以完全消耗系数矩阵耗系数矩阵 31. 005. 018. 009. 045. 03 . 035. 03 . 011. 0)(1IAIB9.4 应用与实践应用与实践 以分配平衡方程组为例介绍有关平衡方程组的求解问题。 分配平衡方程组可化成

22、如下的一般线性方程组，nnnnnnnnnnyxaxaxayxaxaxayxaxaxa)1 ()1 ()1 (221122222121112121111.知 xj，可以求出 yi。 2.若已知 yi，可以得到一个含有n个未知量xj和n个方程的线性方程组。9.4 应用与实践应用与实践 例例7 设某工厂有三个车间，在某一生产周设某工厂有三个车间，在某一生产周期内，各车间之间的直接消耗系数如表所示，已期内，各车间之间的直接消耗系数如表所示，已知这三个车间的总产值分别是知这三个车间的总产值分别是400、250、300。求求(1)各车间的最终产品；各车间的最终产品；(2)各车间之间的流量。各车间之间的流量

23、。9.4 应用与实践应用与实践解：由于解：由于 300,250,400321xxx2453025300)1 (3132121111xaxaxay903020080)1 (3232221212xaxaxay1752402540)1 (3332321313xaxaxay123245,90,175yyy9.4 应用与实践应用与实践(2)根据直接消耗系数的计算公式，可得 )3,2, 1,(jixaxjijij300,250,400321xxx可得流量为 303001 . 0,252501 . 0,10040025. 0131211xxx303001 . 0,502502 . 0,804002 . 02

24、32221xxx603002 . 0,252501 . 0,404001 . 0333231xxx9.4 应用与实践应用与实践9.4.2 用用Mathematica解线性方程组解线性方程组 解线性方程组的方法是，利用模板直接输入增广矩阵，然后将其化成简化阶梯形矩阵，得到线性方程组的解。 例例8 解线性方程组解线性方程组 1231231223722837xxxxxxxx 9.4 应用与实践应用与实践解：利用模板直接输入增广矩阵解：利用模板直接输入增广矩阵 In 1 :A123-72 -12 -81307 In 2 :RowReduceA/MatrixForm Out 21 0 010 1 020

25、 0 1-41231,2,4xxx 9.5 拓展与提高拓展与提高1. n维向量级其相关性维向量级其相关性 定义定义9.5 n个数个数 组成的有组成的有序数组序数组 称为称为n维向量，数维向量，数 叫做叫做n维向量的维向量的 分量。分量。 naaa,21),(21naaanaaa,219.5 拓展与提高拓展与提高 定义定义9.6 设有设有m个个n维向量维向量 ，若有一个向量若有一个向量 可以写成如下的形式：可以写成如下的形式： 其中其中 是常数，则称是常数，则称 是是 的线性组合，或称的线性组合，或称 可用可用 线性表示。线性表示。m,21mmkkk2211),2,1(mikim,21m,219

26、.5 拓展与提高拓展与提高线性方程组11 11221121 1222221 122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxa xb mmnnnnmmbbbaaaaaaaaa2121222122121111,nnxxx22119.5 拓展与提高拓展与提高 定义定义9.7 设设 是是m个个n维向量，维向量，若存在若存在m个不全为零的数个不全为零的数 ，使得，使得则称则称 这这m个向量线性相关；否则就个向量线性相关；否则就称这称这m个向量线性无关。个向量线性无关。m,21mkkk,2102211mmkkkm,219.5 拓展与提高拓展与提高 定理定理9.3 设设 是一组

27、是一组n维向量，维向量，这这m个向量线性相关的充分必要条件是其中至少个向量线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量可以用其余向量线性表示。有一个向量可以用其余向量线性表示。m,219.5 拓展与提高拓展与提高 定义定义9.8 设有一个设有一个n维向量的集合维向量的集合(其中可能其中可能有有限个向量，也可能含有无穷多个向量有有限个向量，也可能含有无穷多个向量)，如在，如在这一向量集合中存在一组向量这一向量集合中存在一组向量 适宜适宜如下条件：如下条件：(1) 线性无关；线性无关；(2)在原在原向量集合中任意取出一个向量向量集合中任意取出一个向量 加进去，那么加进去，那么 线性相关。那么称之为向

28、量集合的线性相关。那么称之为向量集合的一个极大线性无关向量组，简称极大无关组。一个极大线性无关向量组，简称极大无关组。m,21m,21m,219.5 拓展与提高拓展与提高定义定义9.9 设齐次线性方程组设齐次线性方程组11 1122121 122221 122000nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xa xaxax 假设0000 ,21212222111211nmnmmnnxxxxaaaaaaaaaA则可写成矩阵形式 0Ax9.5 拓展与提高拓展与提高 定理定理9.4 设设 是齐次线性方程组的解向是齐次线性方程组的解向量，那么量，那么 也是方程组的解向量。也是方程组的解向量。

29、12,21 定理定理9.5 设设 是齐次线性方程组的解向量，是齐次线性方程组的解向量，k是任意常数，那么是任意常数，那么 也是方程组的解向量。也是方程组的解向量。 k 推论推论 设设 是齐次线性方程组是齐次线性方程组的解向量，则对任意的的解向量，则对任意的m个数个数 ，那么，那么 也是的解向量。也是的解向量。 m,21mmkkk2211mkkk,219.5 拓展与提高拓展与提高2. 关于线性方程组解的结构关于线性方程组解的结构(1)(1)齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构0000 ,21212222111211nmnmmnnxxxxaaaaaaaaaA设 为下式的一组线性无关的解向量，s,21若任意一个解均可表为 的线性组合，则称之为的一个基础解系。 s,219.5 拓展与提高拓展与提高齐次线性方程组基础解系的求法如下：齐次线性方程组基础解系的求法如下： 对系数阵A作初等行变换，可得 00000000001000100011212111nr