2018无锡市一模数学试题含答案

1、江苏省无锡市2018届高三年级第一次模拟考试数 学试题(满分 160 分，考试时间 120 分钟)一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分.1.已知集合 A= 1 , 3 , B= 1 , 2, m,若 AUB= B,则实数 m=_.a -L 3i2.若复数半三詁但 R, i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a=_.3.某高中共有学生 2 800 人，其中高一年级有960 人，高三年级有 900人，现采用分层抽样的方法，抽取 140 人进行体育达标检测，则抽取高二年级的学生人数为_.4.已知 a, b 1 , 2, 3, 4, 5, 6，直线 I 仁 2x + y 1 =

2、 0, I2: ax by+ 3 = 0，则直线 11丄 12的概率为_ .5.根据如图所示的伪代码，当输入 a 的值为 3 时，最后输出的 S 的值为_ .6.在直三棱柱 ABCABQ 中，已知 AB 丄 BC, AB= 3, BC= 4, AA= 5，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 _.x 2,7.已知变量 x, y 满足 x + yw4,目标函数 z = 3x+ y 的最小值为 5,贝Uc 的值为2x y c,n8.若函数 y =cos(2x +0)(0 $0)与椭圆和+ 12= 1 的焦点重合，离心率互为倒数，设FI,F2分别为双曲线 C 的左、右焦点，P 为右支上

3、任意一点，则囂的最小值为PRn12.在平行四边形 ABCD 中，AB= 4, AD= 2,/ A= , M 为 DC 的中点，N 为平面 ABCD3内一点，若 |ABNB = |AMI-AN，则AM- ANh_.13.已知函数 f(x)=错误！g(x) =X1 2 32X 2.若存在 a R,使得f(a) +g(b) = 0，则实数b的取值范围是_ .14.若函数 f(x) = (x + 1)2|x a|在区间1, 2上单调递增，则实数 a 的取值范围是二、 解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.15.(本小题满分 14 分)如图，已知四边形 A

4、BCD 是菱形，DE!平面 ABCD AF/ DE DE= 2AF.2求证：ACL 平面 BDE3求证：AC/平面 BEF.11.已知双曲线 C:x y孑b2=1(a0，16.(本小题满分 14 分)3在厶 ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,cosA = -, C= 2A.求cosB 的值；(2) 若 ac= 24，求 ABC 的周长.17.(本小题满分 14 分)如图，点 C 为某沿海城市的高速公路出入口，直线 BD 为海岸线，/ CAB=n，AB 丄 BD,是以 A 为圆心，1km为半径的圆弧形小路.该市拟修建一条从点 C 通往海岸的观光专线CFPQ其中 P 为

5、 BC 上异于点 B, C 的一点，PQ 与 AB 平行，设/ PAB=0.(1)证明：观光专线 CFPQ 的总长度随0的增大而减小；(2)已知新建道路PQ的单位成本是翻新道路SF勺单位成本的2倍.当0取何值时， 观 光专线CFPQ的修建总成本最低请说明理由.18.(本小题满分 16 分)2 2 已知椭圆 E: + b,= 1(a0, b0)的离心率为-2 ,Fi, F2分别为左、右焦点，A, B 分别 为左、右顶点，原点 0 到直线 BD 的距离为 .设点 P 在第一象限，且 PBlx轴，连结 PA 交 椭圆于点 C.(1)求椭圆 E 的方程；(2)若三角形 ABC 的面积等于四边形 OBP

6、C 勺面积，求直线 PA 的方程；(3)求过点 B, C, P 的圆的方程(结果用 t 表示).19.(本小题满分 16 分)11 1 1*已知数列an满足 1-1-1=-, n N,S是数列an的前n项和.a1a2anan(1)求数列an的通项公式；(2)若ap，30，Sq成等差数列，ap，18，S成等比数列，求正整数p，q的值；(3)是否存在kN*，使得.akak+1+16 为数列an中的项若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由.20. ( 本小题满分 16 分)已知函数 f(x) =ex(3x 2) , g(x) = a(x 2)，其中 a, x R.(1)求过点(2 ,

7、 0)且和函数y=f(x)的图象相切的直线方程；(2)若对任意x R,有f(x) g(x)恒成立，求实数a的取值范围；若存在唯一的整数xo,使得f(xo)g(xo)，求实数a的取值范围.22018届高三年级第一次模拟考试（八）数学附加题（本部分满分 40 分，考试时间 30 分钟）21.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.B.选修 42 :矩阵与变换（本小题满分 10 分）3 4已知矩阵 A=，若矩阵 A 属于特征值入i的一个特征向量为 ai=a b2值入2的一个特征向量为a2= _ 3，求矩阵 A.C.选修 44:坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）1x=2t,x轴的正半轴为极轴建

8、立极坐标系，若圆C的极坐标方程是1，属于特征-2在平面直角坐标系xOy中，直线I的参数方程是(t t+m是参数）,以原点为极点,P= 4sin0，且直线I与圆C相2交，求实数m的取值范围.22.(本小题满分 10 分)某公司有 A, B, C, D 四辆汽车，其中 A 车的车牌尾号为 0, B, C 两辆车的车牌尾号为 6,D 车的车牌尾号为 5,已知在非限行日，每辆车都有可能出车或不出车已知A, D 两辆汽车31每天出车的概率为 4, B, C 两辆汽车每天出车的概率为 ，且四辆汽车是否出车是相互独立的该公司所在地区汽车限行规定如下：汽车车牌尾号车辆限行日0 和 5星期一1 和 6星期二2

9、和 7星期三3 和 8星期四4 和 9星期五(1)求该公司在星期四至少有两辆汽车出车的概率；(2)设Z表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和，求 期望.23.(本小题满分 10 分)如图，在四棱锥 PABCD, ABP 是等边三角形，底面 ABCD 是直角梯形，/ DAB= 90,AD/ BC E 是线段 AB 的中点，PE!底面 ABCD 已知 DA= AB= 2BC= 2.(1)求二面角 PCDA 勺正弦值；(2)试在平面 PCD 上找一点 M,使得 EM!平面 PCD.Z的分布列和数学2018届无锡高三年级第一次模拟考试数学参考答案1n1.32. 63. 474.也5.21 6.

10、50n7. 58.9. 1 024610. 1911.812. 6713.(-2, 0)14.(OO 1u，+ O15.解析：(1)因为DEL平面 ABCD所以DELA C. (2分）因为四边形 ABCD 是菱形,所以 ACL BD.(4 分)因为 DEH BD= D, （5 分）所以 AC!平面 BDE.（6 分）（2）设 AGABD= O 取 BE 的中点 G,连结 FG OQ11所以 OG/ DE 且 OG= 2DE.（8 分）因为 AF/ DE DE= 2AF,所以 AF/ OG 且 AF= OQ从而四边形 AFGC 是平行四边形，FG/ AO. （10 分）因为 FG?平面 BEF,

11、 AO？平面 BEF,所以 AO/平面 BEF,即 AC/平面 BEF. （14 分）a根据正弦定理拓AsinC，所以a= 3.又 ac = 24 ,所以 a= 4 , c= 6.（10 分）c 32 2 2b = a + c 2accosB= 25 , b= 5.16.解析：.3因为COSA=231cosC=cos2A=2cosA1=2X4-1= 8.在厶 ABC 中，因为cosA= 4,所以sinAu：7.*8 =字,（5分）所以因为cosC= 8,所以sinC=. 1所以cosB=cos（A + B）=sinAsin（3 分）9B-cosAcosB=荷（7所以 ABC 的周长为 15.

12、（14 分）17.解析：(i)由题意，/cAP=nn所以cP=nn-9,又 PQ= AB- APcos9 =1cos9,所以观光专线的总长度nnn八f (9)= - 9 +1COS9=9 COS9 + +1,093(3 分)333n因为当 093 时，f (9) = 1 +sin90),nnn则总成本 g(9) = a 9+ 2 2cos9= a9 2cos9+ + 2 , 093, (8 分)333g(9)=a(-1+2sin9).(9 分)1令 g(9)=0，得sin9=勺nn因为 093，所以9= .(10 分)rn .,当 096 时，g (9)0 ,rnn.,小当?90 , (12

13、分)n所以当9=时，g(9)最小.(13 分)故当9=才时，观光专线 CPPQ 的修建总成本最低.(14 分)X2V2218.解析：(1)因为椭圆 E：扌+話=1(ab0)的离心率为,所以a= 2c?, b= c, (1 分)所以直线 DB 的方程为 y=fx + b,又 O 到直线 BD 的距离为二6,所以 b= 1, a = /2, (3 分)2xo所以椭圆 E 的方程为-+ y2= 1.（4 分）设 P( 2, t) , t0 ,整理得（4 + t2）x2+ 2 2t2x + 2t2- 8= 0,解得 xc=4:-t22t，则点 C 的坐标是4:-严彳, （7 分）因为三角形 ABC 的

14、面积等于四边形 OBPC 勺面积，所以三角形 AOC 的面积等于三角形的面积,SAO=X1业PB= 2XtX所以直线 PA 的方程为 x-2y+ 2 = 0. (10 分)因为 B( ,2, 0) , P( .2, t) , C(4:-,所以 BP 的垂直平分线为 y =-,_t_2d-(x + .2) , (5 分)BPC2t34 + t2=2 2t4TP，解得 t = 2.(9直线 PA 的方程为4t4 +12=BC 的垂直平分线为 y =|x t + 4所以p= 5 ,q= 9.(10 分)(3)假设存在满足条件的正整数k,使得.akak+1+ 16 =am(mN*),t2+ 8所以过

15、B, CP三点的圆的圆心为（2（t2+ 4）t* 2 *+ 8|)，(12 分)t则过 B, C, P 三点的圆方程为 X谑(t2+4)+ y 2 即所求圆方程为 x22t2+8-2x + y2 ty + = 0.(16t + 42t + 4119.解析：(1)因为 1 ai11-a211-ant4所以当n= 1 时,1 1=丄a1a1ai= 2,(1当n2时,1 -= 一和anan11 -1-a1a2两式相除可得 1即anan1= 1(n2),所以数列刘是首项为 2,公差为1 的等差数列.t2=2 (t2+ 4) + W，(14分)11an1-齐1,于是，an=n+ 1. （4 分）因为 a

16、p, 30, S 成等差数列，ap, 18, S 成等比数列,所以P+Sq=60 ,2于是ap= 6,ap= 54,或(7 分)Sq= 54Sq= 6.-P=6,时,Sq= 54-P=54 ,Sq= 6p+ 1 = 6 ,(q+ 3)q2=54解得P= 5 ,q= 9 ,p+ 1 = 54 ,(q+ 3)q2无正整数解,2m 2k+ 5= 63,2m 2k+ 5= 21,所以或2m- 2k 1 = 12m- 2k 1 = 3或2仰珀5=9，(4 分)2m 2k 1 = 7,解得m= 15,k= 14 或m= 5,k= 3 或m= 3,k= 1(舍去),综上所述，k= 3 或 14. (16 分

17、)20.解析：(1)设切点为(xo, yo), f (x) =ex(3x +1)，则切线斜率为ex(3x。+ 1),所以切线方程为y yo=exo(3x。+ 1)(x xo)，因为切线过(2 , 0),所以exo(3xo 2) =exo(3xo+ 1)(2 xo),2化闻得 3xo 8xo= o,8 解得 xo= o 或 xo= 3. (3 分)当 xo= o 时，切线方程为 y = x 2, (4 分)8当 xo= 3 时，切线方程为 y= 9e错误!x 18e错误! . (5 分)3(2)由题意，对任意 xR有 ex(3x 2) a(x 2)恒成立,e (3x 2)e (3x 2)当x(g

18、,2)时，ax2?ax2，人ex(3x 2) 山 ，ex(3x2 8x)人，令F(x) =x，贝F(x)= (x2)2，令F(x) = o 得x= o,x(m, 0)0(0 , 2)F(x)+0一F(x)单调递增极大值单调递减F(x)max=F(o) = 1,故此时a 1.(7 分)当x= 2 时，恒成立，故此时a R.(8 分)8令F(x) = 0?x= 3,当x(2,+s)时,(3x 2)x 2ex(3x 2)aWx 2x8 2 -2,3838一-km3，十所以当a7e3时，没有整数成立，所有a (7 e3, 5e4.F(x)o+F(x)单调递减极小值单调递增8F(x)min=F3 = 9

19、e 错误！，故此时a9e 错误！.综上 1aW9e 错误! .(10 分)因为f(x)g(x), 即 ex(3x 2)a(x- 2),由知a (g,1)U错误！，(g,o(o,2)(2,88(3，x83o)3)+ g)F(x)+oo+单调极大单调单调极大单调F(x)递增值递减递减值递增(12 分)当x(g,2)，存在唯一的整数xo使得f(xo)g(xo),xe (3x2)等价于a亏厶存在唯一的整数xo成立,x 2F(1) = 1，所以当aT丄存在唯一的整数xo成立,8因为F3 = 9e 错误！；最小，且F(3) = 7e3,F(4) = 5e4,所以当a5e4时，至少有两个整3数成立,令F(x

20、)=ex(3x 2)x 2，则因为F(0) = 1 最大，F( 1) = 3e，当x (2,+g)，存在唯一的整数xo使得f(xo)g(xo),综上:a3e，134U（7e,5e. （16121.解析：由矩阵 A 属于特征值的一个特征向量为a1= 2 可得，3 8 =入1,a2b= 2入1,（2分）得a= 2b= 10,2由矩阵 A 属于特征值入2的一个特征向量为 a2=，可得3即612=222a 3b= 3入2,（6分）得 2a 3b= 9,a= 12,34解得即 A=, （10 分）b= 11, 12 1122.解析：由p= 4sinB,得p= 4psin0,所以 x2+ y2= 4x,即

21、圆 C 的方程为 x2+ （y 2）2= 4, （3 分）1x= 2t，又由消去 t，得弓 x y + m= 0, （6 分）由直线 I 与圆 C 相交，所以|m2|2，即2m6.（10 分）23.解析：（1）记该公司在星期四至少有两辆汽车出车为事件A,则 A 为该公司在星期四最多有一辆汽车出车.11.311.111P（A）= 4 2 + 暂 4 2 + 匕 2 4964 P（A）= 1 P（A）= 64.（3答：该公司在星期四至少有两辆汽车出行的概率为5564.由题意，Z的可能值为 0, 1 , 2, 3, 4,1 1 1P(Z=0)= 2 4 = 64；P(z =1)=d121214+ d| 41 1 14 2=8；1131+ d1,311P(z =2)=24+422C24 4=32；16313!13P(z =3)=244+2=8；319分)P(z =4)=4264(8z01234P164181132389645答：z的数学期望为 2.(10 分)24.解析：(1)因为 PE!底面 ABCD 过点 E 作 ES/BC,贝 U ESI AB以