第五章方差分析与试验设计ppt课件

1、第五章方差分析与实验设计第五章方差分析与实验设计第第5.1节节 单要素方差分析单要素方差分析 第第5.2节节 两要素方差分析两要素方差分析 第第5.3节节 正交实验设计正交实验设计第第5.1节单要素方差分析节单要素方差分析一、数学模型一、数学模型二、离差平方和分解与显著性检验二、离差平方和分解与显著性检验三、参数估计三、参数估计一、数学模型一、数学模型1、问题的引入、问题的引入 在消费实际和科学实验中在消费实际和科学实验中, 经常需求处置实验数据经常需求处置实验数据,我们经常发现我们经常发现, 实验条件的不同实验条件的不同, 得到的实验结果不得到的实验结果不同同, 有时在一样的实验条件下有时在

2、一样的实验条件下, 也会得到不同的实验也会得到不同的实验结果结果. 那么那么, 自然要问自然要问, 实验结果之间的差别究竟是实验结果之间的差别究竟是由什么缘由呵斥的由什么缘由呵斥的? 是由于实验条件的不同所引起的是由于实验条件的不同所引起的? 还是由于实验误差所引起的还是由于实验误差所引起的? 假设是由于实验条件假设是由于实验条件的不同所引起的的不同所引起的, 那么对实验目的最有利的实验条件那么对实验目的最有利的实验条件即要素的程度应该如何来取即要素的程度应该如何来取? 方差分析与实验设计是方差分析与实验设计是处置这类问题的一种数学方法处置这类问题的一种数学方法. 本章主要引见单要素实验的方差

3、分析本章主要引见单要素实验的方差分析, 两要素的方两要素的方差分析及实验设计的根本方法差分析及实验设计的根本方法.化工产品化工产品的质量的质量反响温度反响温度压力压力原料成分原料成分原料剂量原料剂量溶液浓度溶液浓度操作程度操作程度反响时间反响时间机器设备机器设备 例如例如各个要素对化工产质量量的影响能否显著各个要素对化工产质量量的影响能否显著.方差分析方差分析根据实验的结果进展分析根据实验的结果进展分析,鉴别鉴别各个有关要素对实验结果的影响程度各个有关要素对实验结果的影响程度.实验目的实验目的实验中要调查的目的，如产品的性能实验中要调查的目的，如产品的性能.因素因素影响实验目的的条件影响实验目

4、的的条件.要素要素可控要素可控要素不可控要素不可控要素水平水平要素所处的形状要素所处的形状.单要素实验单要素实验在一项实验中只需一个要素改动在一项实验中只需一个要素改动.多要素实验多要素实验在一项实验中有多个要素在改动在一项实验中有多个要素在改动.例例1设有三台机器设有三台机器,用来消费规格一样的铝合金薄用来消费规格一样的铝合金薄板板.取样取样,丈量薄板的厚度准确至千分之一厘米丈量薄板的厚度准确至千分之一厘米.得结得结果如下表所示果如下表所示.表铝合金板的厚度表铝合金板的厚度机器机器机器机器机器机器0.2360.2380.2480.2450.2430.2570.2530.2550.2540.2

5、610.2580.2640.2590.2670.262实验目的实验目的:薄板的厚度薄板的厚度要素要素:机器机器程度程度:不同的三台机器是要素的三个不同的程度不同的三台机器是要素的三个不同的程度表铝合金板的厚度表铝合金板的厚度机器机器机器机器机器机器0.2360.2380.2480.2450.2430.2570.2530.2550.2540.2610.2580.2640.2590.2670.262假定除机器这一要素外假定除机器这一要素外,其他条件一样其他条件一样,属于属于单要素实验单要素实验.实验目的实验目的:调查各台机器所消费的薄板的厚度调查各台机器所消费的薄板的厚度有无显著差别有无显著差别.

6、即调查机器这一要素对厚度有无即调查机器这一要素对厚度有无显著影响显著影响.例例2下表列出了随机选取的、用于计算器的四种下表列出了随机选取的、用于计算器的四种类型的电路的呼应时间以毫秒计类型的电路的呼应时间以毫秒计.表电路的呼应时间表电路的呼应时间类型类型类型类型类型类型19 22201820 21332716151826类型类型182219实验目的实验目的:电路的呼应时间电路的呼应时间要素要素:电路类型电路类型程度程度:四种电路类型为要素的四个不同的程度四种电路类型为要素的四个不同的程度单要素实验单要素实验实验目的实验目的:调查电路类型这一要素对呼应时间有无调查电路类型这一要素对呼应时间有无

7、显著影响显著影响.例例3一火箭用四种燃料一火箭用四种燃料,三种推进器作射程实验三种推进器作射程实验.每种燃料与每种推进器的组合各发射火箭两次每种燃料与每种推进器的组合各发射火箭两次,得得射程如下以海里计射程如下以海里计.表火箭的射程表火箭的射程推进器推进器(B)B1B2B3燃料燃料(A)A1A2A3A458.252.649.142.860.158.375.871.556.241.254.150.570.973.258.251.065.360.851.648.439.240.748.741.4表表 火箭的射程火箭的射程推进器推进器(B)B1B2B3燃料燃料(A)A1A2A3A458.252.64

8、9.142.860.158.375.871.556.241.254.150.570.973.258.251.065.360.851.648.439.240.748.741.4实验目的实验目的:射程射程要素要素:推进器和燃料推进器和燃料程度程度:推进器有推进器有3个个,燃料有燃料有4个个双要素实验双要素实验实验目的要素对火箭射程实验目的要素对火箭射程的有无显著影响的有无显著影响 在每一个程度下进展独立实验在每一个程度下进展独立实验,结果是一结果是一个随机变量个随机变量.回想例回想例1 铝合金板的厚度铝合金板的厚度机器机器机器机器机器机器0.2360.2380.2480.2450.2430.257

9、0.2530.2550.2540.2610.2580.2640.2590.2670.262问题分析：问题分析： 将数据看成是来自三个总体的样本值将数据看成是来自三个总体的样本值.,321 设总体均值分别为设总体均值分别为.,:,:32113210不全相等不全相等 HH 检验假设检验假设进一步假设各总体均为正态变量进一步假设各总体均为正态变量,且各总体的且各总体的方差相等方差相等, 但参数均未知但参数均未知.问题问题检验同方差的多个正态总体均检验同方差的多个正态总体均值能否相等值能否相等.处理方法处理方法方差分析法方差分析法- 一种统计方法一种统计方法.2、数学模型、数学模型12,(rjArA

10、AAAj 设设因因素素 有有 个个水水平平在在水水平平1 22, , ),(),iirn n 下下 进进行行次次独独立立试试验验 同同时时假假设设1222211 212 ( )(, , ),(, )(,),;iiiiiniiiA irXXXirN 各各个个水水平平下下的的样样本本来来自自具具有有相相同同方方差差均均值值分分别别为为的的正正态态总总体体与与均均未未知知2.iA（ ）不不同同水水平平下下的的样样本本之之间间相相互互独独立立2(,),ijiXN 因因为为20( ,).ijiXN 所所以以,ijiijijXX 记记表表示示随随机机误误差差 那那么么可可写写成成2201 21 2, (

11、,), , , , ,ijiijijijiiXNjn ir 相互独立相互独立与均未知与均未知上式就是单要素实验方差分析的数学模型上式就是单要素实验方差分析的数学模型需求处理的问题需求处理的问题012112:,:,.rrHH 不不全全相相等等1.检验假设检验假设2122.,.r 估估计计未未知知参参数数3、数学模型的等价方式、数学模型的等价方式总平均总平均11220 .rrnnn 且且,.iiAA称称为为水水平平的的效效应应 表表示示水水平平下下的的总总体体均均值值与与总总平平均均的的差差异异111r, riiiiinnnn设记设记1 2, , ,iiir 2101 21 20, ( ,), ,

12、 , , , ijiijijijiriiiXNin irn 相相互互独独立立原数学模型原数学模型改写为改写为2201 21 2, ( ,), , , , ,ijiijijijiiXNjn ir 相互独立相互独立与均未知与均未知012112:,:,.rrHH 至至少少有有两两个个不不相相等等检验假设检验假设等价于等价于检验假设检验假设0121120:,:,.rrHH 至至少少有有1 1个个不不为为0 0111inrijijXXn总平均总平均211()inrTijijQXX总离差平方和总变差总离差平方和总变差111,iniijjiXXirn iA水水平平下下的的样样本本平平均均值值, , 称称为为

13、组组内内平平均均二、离差平方和的分解与显著性检验二、离差平方和的分解与显著性检验为了进展上述假设检验，需求进展一系列变化。为了进展上述假设检验，需求进展一系列变化。1、总离差平方和分解、总离差平方和分解211()()inrijiiijXXXX221111()()iinnrrijiiijijXXXX 112()()inrijiiijXXXX 0 211()inrTijijQXX1111()()()iinnrriijiiijiiijijXXXXXXXn X 10()riiiiiiXXn Xn X 221111()()iinnrrTijiiijijQXXXXEAQQ 211()inrEijiijQX

14、X组内离差平方和，反映实组内离差平方和，反映实验误差引起的数据动摇验误差引起的数据动摇22111()()inrrAiiiijiQXXn XX 221riiin XnX 组间离差平方和，反映了要组间离差平方和，反映了要素程度变化引起的数据动摇素程度变化引起的数据动摇2、分解式的统计特性、分解式的统计特性111211N(0,),iinnriijijjijiijnn令，令，由于故由于故22(0,),(0,),1,2, ,1,2,iiiNNir jnnn 211()inrEiijiiijQ()EE Q(1) 求求211()inrijiij22101()( ,),inijiijNn 是的修正样本方差的倍

15、是的修正样本方差的倍22112()().inijiijn 由定理由定理1.12可得可得22211121()()() E()inrrEijiiijiEEQEnnrQnr 从从而而 = =即即 ()AE Q2211()()rrAiiiiiiiQn XXn 22111()2()rrriiiiiiiiiinnn 2211()()2()rrrAiiiiiiiiiiE QnEnnE (2) 求求2221122211(2)()()rriiiiiiirriiiiiinEnnn EnE 22211(),()11reAiiiQQEEnnrrr 从而有从而有 21122211221(1)rriiiiiirriiii

16、iiriiinn DnDnnnnnnr 2()DYEY2 2注：EY注：EY检验假设检验假设012112:0,:,.rrHH 不不全全为为零零,0为真时为真时H2()(),()().11AEAEQQQQEEEErnrrnr 否否则则1/(1),F=/()AAEEQrQHQnrQ为为真真时时有有偏偏大大的的趋趋势势故故F F可可作作为为检检验验的的统统计计量量. .3、假设检验的统计量和回绝域、假设检验的统计量和回绝域下面我们先求出在下面我们先求出在H0成立条件下成立条件下, 统计量的统计量的概概率分布率分布. H0成立时成立时 22211111iinnrrrTijijiiiijijiQn 22

17、21111iinnrrijijijijn因因 222211111iinnrrrijijiiiijijinn 故故 *222111( )inrijijn 由于由于 *式右边各项中式右边各项中 222111,inrEijiijQ 有有r个约束条件个约束条件 101,2,inijijir ， 222111rAiiiQn 有有1个约束条件个约束条件 10riiin 2222/;/1;() /11EAQnr Qrnnrrn 所所以以的的秩秩为为的的秩秩为为的的自自由由度度为为 。它它们们的的自自由由度度之之和和为为（) )+ +( () )+ +1 1= =2222/;/-1(1,).(1)()EAAE

18、QnrQrQQFF rnrrnr 2222由柯赫伦分解定理知由柯赫伦分解定理知（）（）,且他们相互独立（）（）,且他们相互独立故故检验假设检验假设012112:0,:,.rrHH 不不全全为为零零(1)W=(1,)()AEQrFFrnrQnr 回绝域为回绝域为将以上分析列成方差分析表将以上分析列成方差分析表表表5.4-5.4-单要素实验方差分析表单要素实验方差分析表方差来源方差来源组组 间间组组 内内总总 和和平方和平方和自在度自在度 平均离差平均离差F 值值AQEQTQ1r nr 1 n1AAQQr EEQQnr AEFQQ 2211111 () , ,iinnrrijijijijPXRXn

19、 则则2111) , inrijijiQXn 为为了了计计算算方方便便，记记( ( , , AETQQPQRQQRP 例例4(p156例例5.3) 某种型号化油器的原喉管构造油耗较某种型号化油器的原喉管构造油耗较大，为节省能源，想象了两种改良方案以降低油耗指大，为节省能源，想象了两种改良方案以降低油耗指标比油耗，现对用各种构造的喉控制造的化油器分标比油耗，现对用各种构造的喉控制造的化油器分别测得如下表数据别测得如下表数据0 01.,. 在在显显著著性性水水平平条条件件下下进进行行方方差差分分析析 判判断断喉喉管管的的结结构构对对比比油油耗耗的的影影响响是是否否显显著著223.6221.4226

20、.1224.3220.2218.5224.5222.8230.3229.3225.5224.7228.3227.6232.8231.0比比 油油 耗耗 目的目的 程度程度1:A原原结结构构2:AI改改进进方方案案3:A改改进进方方案案I II I解解12338416155 64 , .ArnnnnQ 其其中中240 9885 34TE., .QQ 方差分析表方差分析表方差来源方差来源组组 间间组组 内内总和总和平方和平方和自在度自在度均方均方F 值值155.6411.86 77.82 6.562131585.34240.980 0111 862 136 70.( ,).FF 00 01.H在在

21、水水平平下下拒拒绝绝 为了计算方便，首先每个原始数据减为了计算方便，首先每个原始数据减220，经过，经过计算计算P,R,Q,计算其离差平方和计算其离差平方和.从从 的大小可以知道，改良方案的比油耗最小，的大小可以知道，改良方案的比油耗最小，采用这种构造有能够节省油耗采用这种构造有能够节省油耗iX即喉管构造对比油耗有显著影响即喉管构造对比油耗有显著影响.2()EE Qnr )(XE1 2(), ,iiE Xir 2()EQnr X iiX 无偏估计无偏估计,1,2,iiir iiXX220 ,(,),(,).ikikjkHNN 若若拒拒绝绝需需对对两两总总体体的的均均值值差差作作出出区区间间估估

22、计计(),ikikE XX 因因为为211()(),ikikD XXnn三、参数估计三、参数估计由于由于2222110 111(,()()()N , )()(),ikikikikikikEikEXXNnnXXnnQnrXXQnr 且且故故又又且且与与独独立立11()()()ikikEikXXQnn 所所以以211()()()ikkkEikXXQnrnn ().t nr 1ik 均均值值差差的的置置信信水水平平为为的的置置信信区区间间为为211()() .ikEikXXtnrQnn例例5(p158例例5.4) 有有5种油菜种类，分别在种油菜种类，分别在4块实验田块实验田上种植，所得亩产量如下表：上种植，所得亩产量如下表：21222021220625931528028832223027725