空间解析几何基本知识微积分-ppt课件

1、7-1 空间解析几何基本知识空间解析几何基本知识 第一节一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系二、曲面及其方程的概念二、曲面及其方程的概念 三、几种常见的曲面及其方程三、几种常见的曲面及其方程空间解析几何基本知识 第七章 xyozxoy面面yoz面面zox面面x轴轴(横轴横轴)y轴轴(纵轴纵轴)z 轴轴(竖轴竖轴)复习复习1.空间直角坐标系空间直角坐标系2.平面基本方程平面基本方程:一般式一般式0DCzByAx)0(222CBA复习复习, 0)1( D0 DCzByAx222(0)ABC截距式截距式1xyzabc, 0)2( A , 0, 0DD, 0) 3( BA0,B , 0, 0DD0,A

2、 C , 0 CB, 0 C , 0, 0DD( , )0F x y ( , )0F x z ( , )0F y z 都是柱面方程都是柱面方程25xyz引例引例. 分析方程分析方程表示怎样的曲面表示怎样的曲面 .的坐标也满足方程的坐标也满足方程222xyR 解解:在在 xoy 面上，面上，表示圆表示圆C, 222xyR222xyR 沿曲线沿曲线C平行于平行于 z 轴的一切直线轴的一切直线故在空间故在空间222xyR 过此点作过此点作所形成的曲面称为圆柱面所形成的曲面称为圆柱面.对任意对任意 z ,平行平行 z 轴的直线轴的直线 l ,表示圆柱面表示圆柱面oC在圆在圆C上任取一点上任取一点 1(

3、 , ,0),Mx ylM1M( , , )M x y z点点其上所有点的坐标都满足此方程其上所有点的坐标都满足此方程,三、柱面三、柱面C一般的一般的C三、柱面三、柱面C三、柱面三、柱面C三、柱面三、柱面C三、柱面三、柱面C三、柱面三、柱面C三、柱面三、柱面C三、柱面三、柱面C三、柱面三、柱面C三、柱面三、柱面C三、柱面三、柱面( , )0.F x y MNxoy xzyoM(x,y,z)F(x,y)=0( , )0.F x yz 方方程程中中不不含含( , ) 0F x y xzy1lxyz2l1:l2:l( , )0F x y ( , )0F x z ( , )0F y z 都是柱面方程都

4、是柱面方程xozyxozyyx22 xy 22,2yzxyyx 2yz pxz2)3(2 1) 1 (2222 czby1)2(2222 byaxxyzo例例1 1 指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？何中分别表示什么图形？; 2)1( x; 4)2(22 yx. 1)3( xy解解平平行行于于y轴轴的的直直线线平平行行于于yoz面面的的平平面面圆圆心心在在)0 , 0(，半半径径为为2的的圆圆以以z轴为中心轴的圆轴为中心轴的圆柱面柱面 斜率为斜率为1的直线的直线平平行行于于z轴轴的的平平面面 平面解析几何中平面解析几何中空间解

5、析几何中空间解析几何中2 x422 yx1 xy方程方程例如例如 :(2) 建立建立yoz面上曲线面上曲线C 绕绕 z 轴旋转所成曲面的方轴旋转所成曲面的方程程:给定给定 yoz 面上曲线面上曲线 C: ), 0(111zyM( , , )M x y z( , )0f y z ozyxC, ),(zyxM设所求曲面上的动点为设所求曲面上的动点为则点则点M一定是曲线上的某点转过来的一定是曲线上的某点转过来的.故旋转曲面方程为：故旋转曲面方程为：( , , ),M x y z当绕当绕 z 轴旋转时轴旋转时,11(,)0f y z 111(0,),My zC 设设2211,zzxyy则有则有则有则有

6、该点转到该点转到22(, )0fxyz考虑：当曲线考虑：当曲线 C 绕绕 y 轴旋转时，方程如何？轴旋转时，方程如何？:( , )0Cf y z oyxz22(,)0fyxz0),(22 zyxf. 0),(22 zxyfxy例例3. 求坐标面求坐标面 xoz 上的双曲线上的双曲线22221xzac分别绕分别绕 x轴和轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解解:绕绕 x 轴旋转轴旋转222221xyzac 绕绕 z 轴旋转轴旋转222221xyzac 这两种曲面都叫做旋转双曲面这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为所成曲面方程为所成曲面方程

7、为zpzyx222 旋转抛物面旋转抛物面oyzxxyzo22yozypzz 如如面面上上的的抛抛物物线线绕绕：轴轴旋旋转转一一周周所所得得旋旋转转曲曲面面的的方方程程为为：例例4. 试建立顶点在原点试建立顶点在原点, 旋转轴为旋转轴为z 轴轴, 半顶角为半顶角为的圆锥面方程的圆锥面方程. 解解: 在在yoz面上直线面上直线L 的方程为的方程为cotzy 绕绕z 轴旋转时轴旋转时,圆锥面的方程为圆锥面的方程为22cotzxy 2222()zaxycota 令令xyz 两边平方两边平方L), 0(zyM)(2222yxaz 2221azxy 时时，222yxz 222zyx xyz L), 0(z

8、yM22zxy, ,x y z旋转曲面方程的特点：三元二次方程中含中任两个字母的平方和.222221xyzab 如如：.一一定定是是旋旋转转曲曲面面22221.yzyozabz母母线线是是面面上上的的平平面面曲曲线线：绕绕 轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的曲曲面面2221xyz2221xyz 旋转抛物面旋转抛物面. .旋转双叶双曲面旋转双叶双曲面. .如如5、其它的二次曲面、其它的二次曲面三元二次方程三元二次方程 这类曲面通常都可以先经过旋转这类曲面通常都可以先经过旋转,然后伸缩变形得到然后伸缩变形得到称为旋转称为旋转+伸缩型二次曲面伸缩型二次曲面 .其基本类型有其基本类型有: 椭球面、抛物面

9、、双曲面、锥面椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面的图形通常为二次曲面. FzxEyxDxyCzByAx2220JIzHyGx(二次项系数不全为二次项系数不全为 0 )1.定义：三元二次方程定义：三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍就几种常见标准型的特点进行介绍 .研究二次曲面特性的基本方法研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法截痕法,伸缩法伸缩法 .其基本类型有其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面的图形通常为二次曲面. 222AxB

10、yCzDxyEyxFzx 0GxHyIzJ (二次项系数不全为二次项系数不全为 0 )截痕法：截痕法：5、其它的二次曲面、其它的二次曲面xyz伸缩法：伸缩法：CC y 沿沿 轴轴伸伸缩缩 倍倍111( , , )(,)x y zxy z111,xx yy zz 1111,xxyy zz ( , , )0F x y z 如如：y 沿沿 轴轴伸伸缩缩 倍倍1111(,)0F xy z 得得：1( , )0CF xy z 即即：22222xyzab 1 1. .椭椭圆圆锥锥 面面 2222xyzyaab 把把圆圆锥锥面面沿沿 轴轴方方向向伸伸缩缩倍倍，22222()aybxzaa 变变为为22222

11、.xyzab ozyx将旋转椭球面将旋转椭球面 沿沿 轴方向伸缩轴方向伸缩 倍得：倍得：222221xyzac yba2. 椭球面椭球面222222(1, ,)xya b czabc 为为正正数数222221axyzbac 2222221xyzabc 椭球面的几种特殊情况：椭球面的几种特殊情况：(1),ab 时时2222221xyzaac 旋转椭球面旋转椭球面(2),abc 时时球面球面2222xyza2222223.1xyzabc 单单叶叶双双曲曲面面 22221xzxOzzac 把把面面上上的的双双曲曲线线绕绕 轴轴旋旋转转，222221.xyzac 得得旋旋转转单单叶叶双双曲曲面面bya

12、把把此此旋旋转转曲曲面面沿沿 轴轴方方向向伸伸缩缩倍倍，.即即得得到到单单叶叶双双曲曲面面22222()1axyzbac 2222221xyzabc （2双叶双曲面双叶双曲面ozyxxyoz1222222 czbyax旋转双曲面旋转双曲面 ,22222z1cxya 沿轴沿轴 方向伸缩方向伸缩 倍倍yba2222xyzab 5 5. .椭椭圆圆抛抛物物面面 22xxOzzza 把把面面上上的的抛抛物物线线绕绕 轴轴旋旋转转，得得旋旋转转抛抛物物面面，222,xybzyaa 把把此此旋旋转转面面沿沿 轴轴方方向向伸伸缩缩倍倍，.即即得得到到椭椭圆圆抛抛物物面面222(),axybza 2222xy

13、zabxyzooyzx2222(5).xyzab 方程表表示示椭椭圆圆抛抛物物面面设设a,b均大于均大于0,以平行于以平行于xOy面面的平面的平面z=z0(z00)截椭圆抛物截椭圆抛物面面,所得截线方程为所得截线方程为22002a2bxyzzz 它表示平面它表示平面z=z0上一椭圆上一椭圆.以以z=0截曲面截曲面,截得一点为截得一点为原点原点. 以平行于以平行于xOz面的平面面的平面y=y0截截曲面曲面,截线方程为截线方程为 22002a2byxzyy 这是平面这是平面y=y0上一条抛物线上一条抛物线.以平行于以平行于yOz面的平面面的平面x=x0截截曲面所得截线是平面曲面所得截线是平面x=x

14、0上的上的一条抛物线一条抛物线. 2222xyzab 6 6. .双双曲曲抛抛物物面面 xyzo1.空间曲面空间曲面三元方程三元方程( , )0F xy z 球面球面2222000()()()xxyyzzR 旋转曲面旋转曲面 柱面柱面-二元方程二元方程如如,曲面曲面( ,)0F xy 表示母线平行表示母线平行 z 轴的柱面轴的柱面.又如又如,椭圆柱面椭圆柱面, 双曲柱面双曲柱面, 抛物柱面等抛物柱面等 . 圆锥面的方程圆锥面的方程2222()zaxy 时时 叫标准圆锥面叫标准圆锥面.1a 222zxy yoz面上的曲线面上的曲线f(y,z)=0绕绕z轴旋转一周所成的轴旋转一周所成的旋转旋转曲面

15、的方程：曲面的方程：22(, )0fxyz 内容小结内容小结2. 二次曲面二次曲面三元二次方程三元二次方程 椭球面椭球面2222221xyzabc 抛物面抛物面: 椭圆抛物面椭圆抛物面双曲抛物面双曲抛物面 双曲面双曲面: 单叶双曲面单叶双曲面双叶双曲面双叶双曲面 椭圆锥面椭圆锥面: 2222xyzab2222xyzab2222221xyzabc 2222221xyzabc 22222xyzab 2.( ).例例 以以下下曲曲面面方方程程是是旋旋转转曲曲面面方方程程的的是是2222( ), ( ),A xyxB xyz 22222( ), ( )321.C xyzD xyz B2223.1( )

16、.4yxz 例例 方方程程表表示示.椭球面； 旋转双曲面； 双曲柱面； 锥面ABCDB空间曲线可视为两曲面的交线空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组其一般方程为方程组( , , )0( , , )0F x y zG x y z 2SL0),(zyxF0),(zyxG1S例如例如,方程组方程组221236xyxz 表示圆柱面与平面的交表示圆柱面与平面的交线线 C，是空间一个椭圆，是空间一个椭圆.xzy1oC2一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程补补又如又如,方程组方程组表示上半球面与圆柱面的交线表示上半球面与圆柱面的交线C. 222220zaxyxyax yxzao222yxa

17、z 4)2(222ayax .曲线曲线ViVeni例如例如: 下列方程组各表示怎样的曲线？下列方程组各表示怎样的曲线？ 0. 1222zryx 2222222. 2ryxrzyx 00. 3zy 00. 4zyzy.,为为半半径径点点为为圆圆心心以以原原面面上上的的圆圆是是rxoy轴轴x所以，空间曲线的方所以，空间曲线的方程是不唯一的程是不唯一的.三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影 CCC关于关于 的投影柱面的投影柱面 C在在 上的投影曲线上的投影曲线 Oxzy 0),(0),(:zyxGzyxFC设曲线设曲线 则则C关于关于xoy面的投影柱面面的投影柱面方程应为消方程应

18、为消z后的方程：后的方程：( , )0H x y 所以所以C在在xoy面上的投影曲线的方程为：面上的投影曲线的方程为： 00),(zyxH 1) 1() 1(1222222zyxzyx02222 yyx . 002222zyyx，,1 zyzyx1OC总之总之:设空间曲线设空间曲线C( , , )0( , , )0F x y zG x y z 消去消去 z得投影柱面得投影柱面( , )0H x y xoy 面上的投影曲线方程面上的投影曲线方程与与xoy 面方程联立得面方程联立得C 在在( , )0:0H x yCz 消去消去 x 得得C 在在yoz 面上的投影曲线方程面上的投影曲线方程消去消去y 得得C 在在zox 面上的投影曲线方程面上的投影曲线方程( , )00R y zx ( , )00T x zy CC zyxooyzx22zxy