（精心整理）数学建模之微分方程建模与平衡点理论

1、微分方程列微分方程常用的方法：（1）根据规律列方程利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律来建立微分方程模型。（2）微元分析法利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。（3）模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。一、模型的建立与求解1.1传染病模型 （1）基础模型 假设：t时刻病人人数连续可

2、微。每天每个病人有效接触（使病人治病的接触）的人数为，时有个病人。 建模：t到病人人数增加 （1） （2） 解得： （3） 所以，病人人数会随着t的增加而无限增长，结论不符合实际。 （2）SI模型 假设：1.疾病传播时期，总人数N保持不变。人群分为两类，健康者占总人数的比例为s(t),病人占总人数的比例为i(t)。 2.每位病人每天平均有效接触人，为日接触率。有效接触后健康者变为病人。依据：患病人数的变化率=Ni(t)(原患病人数)* s(t)(每个病人每天使健康人变为病人的人数) 建模： （4） 由于 （5） 设t=0时刻病人所占的比例为，则可建立Logistic模型 （6） 解得： （7）

3、用Matlab绘制图1，图2 图形如下，结论：在不考虑治愈情况下当时达到最大值，这时 时人类全被感染。未考虑治愈情况。（3）SIS模型假设：1.疾病传播时期，总人数N保持不变。人群分为两类，健康者占总人数的比例为s(t),病人占总人数的比例为i(t)。 2.每位病人每天平均有效接触人，为日接触率。有效接触后健康者变为病人。 3.在所有病人中，每天有比例的人能被治愈，治愈后看作可被感染的健康者，传染病的平均传染期为。依据：患病人数的变化率= （患病人数的变化率）-(治愈率）建模： （8） （9）令为整个传染期内每位病人有效接触的平均人数，。则有 （10）用Matlab绘制出（图3，图5）和 it

4、（图4，图6）。结论：为一个阈值。，极限值为增函数，的增减性由的大小确定。，病人比例越来越小，最终趋于0。 （4）SIR模型（某些疾病患者治愈后获得了很强的免疫力，不会再次被感染）假设：总人数N不变，将人群分为健康者，病人，和病愈免疫的移除者，他们在总人数中所占的比例依次为，。 为病人的日接触率，为日治愈率，为传染期接触数。 建模：由假设1得 （11） （12） 令t=0时健康者与病人所占比例分别为，则有 （13）利用Matlab绘制出，（图7），（图8）图形，图形称为相轨线。 相轨线分析：利用相轨线讨论解，的性质。平面称为相平面，相轨线在其上的定义域为为 （14）消去方程中的，并由得到 （1

5、5） 解得： （16）在定义域内，相轨线是上式所表示的曲线，如图9所示，其中箭头表示随着时间的增加和的变化趋势。下面分析、和的变化情况（时它们的极限值分别记做和）不论初始条件如何，病人最终会消失， ，证明： 首先，由式（13），而，所以存在；由式（11），而，所以存在；由式（11）得存在。其次，若，则由式（11），对于充分大的有，导致，与存在相矛盾。从图形来看，无论相轨线从何点出发，最终都将与轴相交。令式（16）中，则最终未被感染的健康者的比例是，为方程 （17）在内的根，在图形上表示为相轨线与s轴在内交点的横坐标。若，则先增加，当时，达到最大值 （18）然后减小且趋于0，单调减小至，如图中由

6、出发的相轨线。若，则单调减小至0，单调减小至，如图中由出发的相轨线。结论：若病人比例有一段时间增长即认为传染病在蔓延，则为一个阈值， 时蔓延。可以通过减小 使，使传染病不蔓延。 ，减小时，增加，也能控制蔓延程度。1.2捕鱼模型考察一个渔场，其中鱼量在天然环境下按一定规律增长、如果捕捞量恰好等于增长量，那么渔场鱼量将保持不变，这个捕捞量就可以持续产量模型假设：为渔场中鱼量。1.无捕捞时，鱼的的增长服从logistic规律，即 （19）其中：表示固有增长率，表示环境容许的最大鱼量，表示单位时间的增长量。2. 用E表示单位时间捕捞率，单位时间捕捞量和渔场鱼量成正比，则有单位时间捕捞量为 （20） 建

7、模：捕捞情况下渔场鱼量满足 （21） 其中：。判断的稳定条件，求式（21）的平衡点，分析其稳定性。令式（21）为0，得两个平衡点： （22）稳定性判断 当时，则点稳定，点不稳定。当时，则点稳定，点不稳定。分析：用表示捕捞率，r表示固有增长率。当时，可使鱼量稳定在，获得稳定产量。当时，稳定，渔场干枯。根据（19），（20）式分别绘制曲线及，使用Matlab绘制图形如下所示，得两曲线交点为P，则P横坐标为稳定平衡点，纵坐标为稳定条件下单位时间的产量，当交点位于抛物线顶点时获得最大的持续产量，此时的稳定平衡点为， 单位时间的最大持续产量为，捕捞率。结论：将捕捞率控制在固有增长率的一半，即使渔场鱼量保

8、持在最大鱼量的一半时，能够获得最大的持续产量。效益模型（经济效益=总收入收入-成本）假设：鱼销售单价，单位捕捞率费用是，单位时间收入为，成本为，单位利润为，则有 （23）建模：在稳定条件下，将式（22）代入式（23）得 （24）求出使利润最大的捕捞强度为 （25）最大利润下的渔场稳定鱼量和单位时间的持续产量 （26） （27）结论：当有最大效益时，捕捞率和持续产量都减小，渔场应保持的稳定鱼量增加，捕捞成本越大或销售价格越低所需减少增大的部分越大。捕捞过度：封闭式捕捞追求利益最大，开放式捕捞只追求利润。令式（24）中,解,则 (28）当时，利润经营者加大捕捞强度，当，经营者减小捕捞强度，为盲目捕

9、捞下的临界强度。或利用Matlab绘制曲线如图（12），则交点横坐标即为。二、微分方程与平衡点理论2.1一阶微分方程设一阶微分方程为 （1）求解方程即可出平衡点。再判断平衡点是否稳定。判断平衡点的常用方法有以下两种（1）直接法将在点作泰勒展开，仅取一次项，则得方程（1）的近似线性方程为 （2）所以，也是方程（2）的平衡点。令，则方程（2）的一般解为对于点的稳定性有如下结论：如果，则对于方程（2）和（1）都是稳定的；如果，则对于方程（2）和（1）都是不稳定的；（2）间接法如果存在某个邻域内的任意值，使方程（1）的解满足 （3）那么是稳定的，否则是不稳定的。2.2二阶微分方程设二阶微分方程为 （4）求出方程的解，即为二阶微分方程的平衡点记作利用直接法判断平衡点的稳定性，由线性常系数微分方程组 （5）得系数矩阵记 （6）为