文科导数复习与题型归纳

1、导数复习知识点1、 导数的概念导数 f'(x0) = l0Xo2、 导数的几何意义函数y=f(x)在点xo处的导数，就是曲线y=(x)在点P(xo, yo)处的切线的斜率.由此，可以利用导数求曲线的切线方程.具体求法分两步：(1) 求出函数y=f(x)在点x0处的导数，即曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线的斜率；(2) 在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为3、 常见函数的导数及运算法则(1) 八个基本求导公式(C)' =；(xn)' =； (n e Q) (sinx=,(cosx)=(ex)'=,(ax)，=(lnx)'= , (l

2、oga x) * =_(2) 导数的四则运算(u±v)' = Cf(x)=(uv)'= ,得)'=(v/o)(3)复合函数的导数设u=8(x)在点x处可导，y =f(u)在点u=6(x)处可导，则复合函数f0(x)在点x处可导，且f(x)=,即y；=y： ux4、 导数的应用(要求：明白解题步骤)1 .函数的单调性(1)设函数y=f(x)在某个区间内可导，若f/(x)0,则f(x)为增函数；若f/(x)c0,则f(x)为减函数。(2)求可导函数单调区间的一般步骤和方法。分析y=f(x)的定义域；求导数y，=(x)解不等式f'(x)A0,解集在定义域内的

3、部分为 区间解不等式f'(x)<0,解集在定义域内的部分为 区间1例如：求函数y = x 1的减区问x2 .可导函数的极值(采用表格或画函数图象)(1)极值的概念设函数f(x)在点xo附近有定义，且若对xo附近所有的点都有f(x) <f(x o)(或f(x) >f(x o),则称f(x o)为函数的一个极大(小)值，称 xo为极大(小)值点。(2)求可导函数f(x)极值的步骤求导数f (x)；求方程f (x) =0的; 检验f，(x)在方程f (x) =0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负(先增后减)，那么函数y= f(x)在这个根处取得 ；如果在根

4、的左侧附近为负，右侧为正(先减后增)，那么函数y= f(x)在这个根处取得 .3 .函数的最大值与最小值 设y= f(x)是定义在区间a ,b 上的函数，y= f(x)在(a ,b )内有导数，则函数y= f(x)在a ,b 上 必 有最大值与最小大;但在开区间内 未必 有最大值与最小值.(2)求最值可分两步进行：求y=f(x)在(a ,b ) 内的 值； 将丫= f(x)的各 值与f、f比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.(3)若函数y= f(x)在a ,b 上单调递增，则f(a)为函数的, f(b)为函数的；若函数y= f(x)在a ,b 上单调递减，则f(a)为函数的, f

5、(b)为函数的4 .求过函数上一点的切线的斜率或方程例题1:分析函数y=x33x (单调性，极值，最值，图象)例题2:函数y =x3 3ax在(血,一)上为增函数，在(1,1)上为减函数，求实数a例题3:求证方程x .lg x =1在区间(2,3)内有且仅有一个实根.(分析解本题要用的知识点) 一.求值1 。1. f (x)是 f (x) = x3+2x+1 的导函数，贝U f (1)的值是. 32. f (x) =ax3+3x2+2 , f (-1)=4,贝tj a=3. 已知函数f(x)的导函数为f (x),且满足f(x)=3x 2+2x f (2),则f=I4. 设f(x)、g(x)分别

6、是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f (x)g ' (x)+f ' (x)g( x)>0 且g( - 3)=0,则不等式f(x)g( x)<0的解集是.5. (2008 海南、宁夏文)设 f(x)=xlnx ,若 f'(xo)=2, Mxo=()A. e2B. e C.叫 D. In 22二.切线1(1)曲线y =x3+x+1在点(1,3)处的切线方程是 ；(2)已知函数f (x) =x3 -3x ,过点P(2,-6)作曲线y = f (x)的切线的方程变式.(1)曲线y=x33x+1在点(1, 1)处的切线方程为 (2)已知C : f(x)

7、=x3 x + 2 ,则经过P(1,2)的曲线C的切线方程为(3)曲线f(x)=x 3-3x,过点A(0, 16)作曲线f (x)的切线，则曲线的切线方程为 。2 . (1)曲线f (x) =x3在点A处的切线的斜率为3,则该曲线在A点处的切线方程为 。(2)过曲线f(x)=x4x上点P处的切线平行于直线3x-y = 0,则点P的坐标为(3)若直线y = x是曲线y = x33x2 + ax的切线，a= 。3 .垂直于直线2x-6y+1=0,且与曲线y =x3+3x2-5相切的直线的方程是 . ?4 .已知直线y = kx +1与曲线y = x3+ax +b切于点(1, 3),则b的值为()A

8、. 3B. -3C. 5D. -55 .若点P在曲线y=x3-x+2上移动，经过点P的切线的倾斜角为a，则口的取值范围为()A. 0；1 B. 0Aj,J C.D. ；0 二U 值3 1r,2j 1,2J U , J 14 ,2 八 2, 46 . (08全国H )设曲线y = ax2在点(1, a)处的切线与直线2x - y - 6 = 0平行，则a =()A. 1B. -C. -D. -1227 . (09宁夏)曲线y=xex+2x+1在点(0,1)处的切线方程为 。8 (09全国卷II理)曲线y=在点(1,1 )处的切线方程为 2x-1A. x-y-2=0 B. x y-2=0 C. x

9、 4y-5=0 D. x -4y-5-09若曲线f (x )=ax2 + Inx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是1 -x10. (08海南理)曲线y=e2在点(4, e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 三.单调性1. (1)设f(x)=x 2(2-x),则f(x)的单调增区间是()A.(0, -)B.(-,+oo)C.(-g,0) D. (-oo,0) u ( ,+ 8)333(2)函数y=(x+1)(x 2 1)的单调递增区间为()A.(- °°, 1)B.( 1,+ °0)C. (- °°, 1)与(一1,+ °&

10、#176;) D. (-°°, 1) U ( 1,+ oo) 函数f(x)=x3 -3x2 +1是减函数的区间为()A. (2,-hc) B .(,2) C . (0) D. (0, 2)2. (1)若函数f(x)=x 3-ax2+1在(0, 2)内单调递减，则实数a的取值范围为 (2)设a >0,函数f (x) =x3 -ax在1,收)上是单调函数.则实数a的取值范围为;(3)函数y=ax3x在(一8,+ oo)上是减函数，则实数a的取值范围为； 3. (1)若函数f (x) =ax3 x2+x5在R上单调递增，则a的范围是.(2)已知函数f(x)=ax3 +3x2

11、 -x+1在R上是减函数，则a的取值范围是： .4.若 f(x) =ax3+bx2+cx+d(a >0)在 R上是增函数，则()(A)b2-4ac >0(B)b >0,c >0(C)b = 0,c：>0(D)b2-3ac<05、函数y=x3+ax+b在(-1,1)上为减函数，在(1,)上为增函数，则(A) a=1,b=1 (B) a=1,bwR (C) a = -3,b=3(D) a = 3,bwR四.极值1、函数y =1+3x-x3的极大值，极小值分别是A.极小值-1 ,极大值1B.极小值-2,极大值3C.极小值-2,极大值2D.极小值-1 ,极大值32

12、.函数f(x)=x3 +ax2 +3x_9 ,已知“*)在乂 = -3时取得极值，则a=()(A) 2(B) 3(C) 4(D) 53 .函数 f(x)=x 3-ax2-bx+a2,在 x=1 时有极值 10,a、b 的值为 ()A.a=3,b=-3 ,或 a=-4,b=11B.a=-4,b=11C.a=3,b=-3D.以上都不正确4、已知函数f(x)的导数为f<x) = 4x3_4x,且图象过点(0,-5),当函数f(x)取得极大值-5时，x的值应为A. - 1 B. 0 C. 1 D.±15 .若函数f(x)=x 3-3bx+3b在(0, 1)内有极小值，则 ()A.0&l

13、t;b<1B.b<1C.b>0D.b< -26 .若f(x)=x 3+3ax2+3(a+2)x+1没有极值，则a的取值范围为 I7 .已知函数y=2x3+ax2+36x24在x=24处有极值，则该函数的一个递增区间是()A.(2,3)B.(3, +oo)C.(2, + oo) D. (00,3)x2 - a ,8 . (2009辽宁卷文)若函数f(x)=-a在x = 1处取极值，则a= x 1五.最值1 .函数y =2x3 -3x2 -12x+5在0 , 3上的最大值、最小值分别是()A. 5, 15 B. 5, 4 C. 4, 15 D. 5, -162 . (06浙

14、江文)f(x) =x3-3x2+2在区间1-1,1】上的最大值是()(A)-2(B)0(C)2(D)43 .函数y=x3+3在(0 , +oo)上的最小值为 xA.4B.5C.3D.14 . (07湖南理)函数f(x)=12x-x3在区间-3,3上的最小值是-5 (07江苏)已知函数f(x) = x3-12x+8在区间-3,3上的最大值与最小值分别为 M,m,则M -m =变式、函数f(x)=x3 -3x-a在区间b,31上的最大值、最小值分别为M N,则M- N的值为。6 . (2008 安徽文)设函数 f(x)=2x+1 1(x<0),贝U f(x)()xA.有最大值B .有最小值

15、C .是增函数D.是减函数六.综合1. (07福建理、文)已知对任意实数 x ,有f(_x)=_f(x), g(_x)=g(x),且xa0时,f(x)A0, g'(x)> 0,则 乂<0时()A.f (x).0, g(x)0B. f(x) .0, g(x)<0C.f (x)<0, g(x)0D. f(x) <0, g(x)<02. 对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-1)f'(x)之0 ,则必有()A.f (0).f (2) : 2f (1)B. f (0)- f (2)< 2 f (1)C.f (0)-f (2):二 2f (

16、1)D. f (0)- f (2),2 f (1)3. (2009陕西卷文)设曲线y =xn'(nw N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,则Xi x2愕人的值为Y(A) 1(B)工(C)Inn+1n+14设函数f(x)在定义域内可导，y = f(x)的图象如右图1/ 0数y=f %x)可能为()置“yyfyy|ylyJvZ J a/j/(D) 1/ V 1所小，则导函15.(浙7r 卷 11) ，_/ - 设f '( x)是函人 /x O /(A)(B)象如右图所示，则y=f(x)的 图象最后可能的是(A)(B)(C)(D)6. (2009湖声卷义)若函数x

17、人vy x ox数f(x)的导函数，(0( Dyy=f '( X)的图y yy / yyL /,kJ,二O r2 x O =1 2、x 11Xj x 、1 2y = f (x)的导函数在区间a,b上是增函数，则函数y = f (x)在区间a,b上的图象可能是【A .BC.D .7、已知函数f (x) =x3+mx2+(m+6)x+1既有极大值又存在最小值，则实数 m的取值范围 8、若函数f (x)的定义域为(0,收),且f (x) a 0, f /(x) > 0 ,那么函数y = xf (x)()(A)存在极大值(B)存在最小值(C)是增函数(D)是减函数9、当xw 0,2时，函

18、数f (x)=ax2+4(a-1)x-3ft x=2时取得最大值，则 a的取值范围七.解答题(重点)题型一：利用导数研究函数的单调性、极值、最值。1 .已知函数f (x) = x3+ax2 +bx+c,过曲线y = f (x)上的点P(1, f (1)的切线方程为y=3x+1(I)若函数”*)在* = 2处有极值，求f(x)的表达式；(H)在(I)的条件下，求函数 y = f (x)在3, 1上的最大值；(m)若函数y = f (x)在区间2, 1上单调递增，求实数b的取值范围2:已知三次函数f (x) =x3+ax2+bx+c在x =1和x = -1时取极值，且f(2)=4.求函数y = f

19、(x)的表达式； 求函数y = f(x)的单调区间和极值；(3)若函数g(x) =f(x m)+4m (m >0)在区间m 3,n上的值域为M,16,试求m、n应满足的条件.3.(海南文 本小题满分12分)设函数 f (x) =ln(2x 3) x2(I )讨论f(x)的单调性;(n)求f(x)在区间U3,1 的最大值和最小值.一 4 44、已知 f (x) =ax3+bx2+cx(a *0)在 x = ±1 取得极值，且 f (1) = 10(1)试求常数a,b,c的值;(2)试判断x = ±1是函数的极大值还是极小值，并说明理由。5.已知函数f(x)= x3+3x

20、2+ax+b在x = (1 , f(1)处的切线与直线12xy1=0平行.(1)求实数a的值；(2)求f(x)的单调递减区问；(3)若f(x)在区间2, 2上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.题型二：利用导数研究不等式包成立。1 .已知两个函数 f (x) =7x2 _28x , g(x) =2x3 +4x2 40x + c.(I ) F(x)图像与f (x)图像关于原点对称，解不等式F(x) > f (x) -x-3(n)若对任意xw3, 3,都有f(x)Eg(x)成立，求实数c的取值范围；2 .已知函数 f(x)=x 3- -x24hx+Cn 2若f(x)在(-8, +oo)上

21、是增函数，求b的取值范围；若f(x)在x=1处取得极值，且x -1,2 时，f(x)<c 2包成立，求c的取值范围I3 .(天津卷21)(本小题满分14分)已知函数 f (x) =x4 +ax3 +2x2 +b (xwR),其中 a,b 三 R.10 (I)当2=一时，讨论函数f(x)的单调性； 3(II)若函数f(x)仅在x = 0处有极值，求a的取值范围；(m)若对于任意的aw-2,2,不等式f (x)E1在-1,1上恒成立，求b的取值范围.训练题1 .(本小题12分)设函数f(x) =刍x3 +bx2 +4cx + d的图象关于原点对称，f (x)的图象在点 3P(1,m)处的切线

22、的斜率为-6,且当x = 2时f(x)有极值.(I )求 a、th c、d 的值；(H)求f(x)的所有极值.2 .设函数 f (x ) = x3+bx2+cx(x w R),已知 g(x) = f (x) - f'(x)是奇函数。(1) ( I )求 b、c 的值。(2) ( H )求g(x)的单调区间与极值。3. (2005北京理科、文科)已知函数f (x)=-x3+3x2 + 9x+a.(I )求f(x)的单调递减区问；(II )若f(x)在区间2, 2上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.4. (2006 安徽文)设函数 f (x)=x3+bx2+cx(xw R),已知 g

23、(x)= f(x)-f'(x)是奇函数。(I )求b、c的值。 (H )求g(x)的单调区间与极值。5. (2008 全国 II卷文)设aw R,函数 f (x) = ax3 -3x2 .(I)若x=2是函数y= f(x)的极值点，求a的值；(II)若函数g(x)= f(x) + f'(x), xw0,2,在x = 0处取得最大值，求a的取值范围.6. (2008湖北文)已知函数f(x)=x3+mx2-m2x+1 (m为常数，且n>0)有极大值9.(I)求m的值；(II)若斜率为-5的直线是曲线y=f(x)的切线，求此直线方程.7. 已知函数 f (x) =x3 -ax-

24、1 .(I)若f(x)在实数集Rk单调递增，求a的范围；(H )是否存在实数a使f (x)在(_1,1)上单调递减.若存在求出a的范围，若不存在说明 理由.09福建理科14 .若曲线f(x)=ax3+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a取值范围是.20、(本小题满分14分)1已知函数 f(x)=x +ax +bx ,且 f '(-1)=03(1)试用含a的代数式表示b,并求f(x)的单调区问；(2)令 a = -1,设函数 f (x)在2?2国(x2)处取得极值，记点 M(x1，f(x1)，N(x2, fd),P(m, f(m), x <m<x2,请仔细观察曲线f (x)在

25、点P处的切线与线段MP的位置变化趋势， 并解释以下问题：(I )若对任意的m亡(xx 2),线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点，试确定t的 最小值，并证明你的结论；(II )若存在点Q(n , f(n) ), x <n< m,使得线段PQ与曲线f(x)有异于P、Q的公共点，请 直接写出m的取值范围(不必给出求解过程)09福建文科15 .若曲线f (x )=ax2 + Inx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取佰范围是21.(本小题满分12分)1已知函数 f(x) =-x3+ax2+bx,且 f'(1) = 03(I )试用含a的代数式表示b ;(n)求f(x)的单调

26、区间；(m)令a = T ,设函数 f(x)在 Xi,X2(Xi <x2)处取得极值，记点 M (为，f(x1), N(x2, f d),证明：线段MN与曲线f(x)存在异于M、N的公共点；08福建理科(11)如果函数y=f(x)的图象如右图，那么导函数y=f (x)的图象可能是(19)(本小题满分12分)已知函数f (x)x3 x2 -2 . 3(I)设an是正数组成的数列，前n项和为S,其中ai=3.若点(an,a；4-2an4(n C N*)在函数y=f' (x)的图象上，求证：点(n, S)也在y=f' (x)的图象上；(H)求函数f(x)在区间(a-1, a)内

27、的极值.文科(21)(本小题满分12分)已知函数f (x) =x3+mx2+nx-2的图象过点(-1 , -6 ),且函数g(x) = f'(x) + 6x的图象关于y轴对称.(I )求m n的值及函数y=f (x)的单调区间；(11)若2>0,求函数y=f(x)在区间(a-1,a+1)内的极值.07福建11.已知对任意实数 x,有 f(-x)=-f(x), g(x)=g(x),且 x>0 时，f'(x)>0, g'(x)A0,则x < 0时()A.f (x) 0, g (x)0B.f (x) 0,g (x)：二0C.f (x)：二0, g (x

28、)0D.f (x)：二0,g (x) <022.(本小题满分14分)已知函数 f (x) =ex -kx, x R(I)若k=e,试确定函数f(x)的单调区问；(H)若k >0,且对于任意xw R, f(x)A0恒成立，试确定实数k的取值范围； n(m)设函数 F(x) = f (x) + f (x),求证：F(1)F(2)| F(n)>(en 木十 2a(n w N *).(全国一文20)设函数f (x) =2x3 +3ax2 +3bx+8c在x=1及x=2时取得极值.(I )求a、b的值；(n)若对于任意的xW0,3,都有f(x)<c2成立，求c的取值范围.(陕西文

29、21)已知f (x) =ax3 +bx2 +cx在区间0,1上是增函数，在区间(-00,0), (1,收)上是减函数，又1 、3f二一2 2(I )求f (x)的解析式;(H )若在区间0,m (m>0)上恒有f (x) <x成立，求m的取值范围.1 o 112.已知函数f (x) =-x +-(b -1)x +cx, 右f(x)在x =1, x = 3处取得极值，试求吊数b, c 32的值； 若"*)在(*,%),(乂2,+8)上都是单调递增，在(K,x2)上单调递减，且满足x2 -x1 >1 ,求证：b2 >2(b +2c)14.设t#0,点P (t, 0

30、)是函数f (x) =x3+ax与g(x) =bx2+c的图象的一个公共点，两函 数的图象在点P处有相同的切线.(I )用 t 表示 a, b, c；(II)若函数y = f(x)-g(x)在(1, 3)上单调递减，求t的取值范围.2 o例1已知曲线S: y = x3+x2十4x及点P(0,0),求过点P的曲线S的切线万程.3正解：设过点P的切线与曲线S切于点Q(x0,y°),则过点P的曲线S的切线斜率k =y'x 仝0 = -2x。2 +2x0 +4,又 kPQ =,，2x。2+2x0+4 = &。丁点 Q 在曲线一XoXoS上，232XoXo 4Xo2322Q，y

31、o=Xo +Xo +4X0.，代入得 -2x0 +2x0 +4=3 Xo4 . o3化间，行-Xo - Xo = 0 ,X。= 0或Xo = - .右X。= 0 则k = 4 ,过点P的切线方程为 34,335 .35y=4x;若x°=3,则k=35,过点P的切线方程为y =35 x.过点P的曲线S的切线方程488为 y =4*或 y = 35x.8例2已知函数f (x) = ax3+3x2 -x+1在R上是减函数，求a的取值范围.错解：f'(x) =3ax2+6x-1,< f (x)在R上是减函数，J. f'(x) < 0在R上包成立，二 3ax2+6x

32、 1 c0对一切 xw R恒成立，A<0,即 36+ 12a < 0 ,a < 3.正解：f'(x)=3ax2 +6x-1 , 丁 f(x)在R上是减函数，f'(x) E 0在R上恒成立，二AW0且 a <0,即 36+12a M0且a <0, a<-3.例 5函数 f (x) =3x3 +3ax1,g(x) = f '(x) - ax -5 ,其中 f'(x)是 f (x)的导函数.(1)对满足-1< a<1的一切a的值，都有g(x) <0,求实数x的取值范围；(2)设2 = m2,当实数m在什么范围内变化

33、时，函数 y=f(x)的图象与直线y=3只有 一个公共点.解：(1)由题意 g(x)=3x2ax+3a-5令中(x) = (3 x)a + 3x25, -1 <a <1对1 wa Ml,恒有 g(x)<0 ,即中(a)<0：1 <0:-1 <023x - x - 2 ： 023xx -8 : 0-2斛得 -一 :x ：: 1故 x J 2,1 i 时,3,'3对满足10a&1的一切a的值，都有g(x)<0.(2) f'(x )=3x2 -3m2当m=0时，f(x)=x3-1的图象与直线y =3只有一个公共点当m #0时，列表：极

34、大极小f(xL =f (x )=-2m21m -1<-1又f(x W勺值域是R,且在(|m,y)上单调递增二当x|m时函数y= f (x)的图象与直线y = 3只有一个公共点.当x <|m时，何有f (x户f (- m )由题意得f ( - m产3即2m2 m -1 = 2 m3 -1 < 3解 得m5-底0 jU(0,3/2)综上，m的取值范围是(-姮3/2)./.二工4 -士必 - fc? + 2*+ 1例6、(1)是否存在这样的 k值，使函数32 在区间(1, 2)上递减，在(2, +8)上递增，若存在，求出这样的k值；(2)若 网=4+工恰有三个单调区间，试确定 心的

35、取值范围，并求出这三个单调区间。解:(1)/'(4=妹，N -2/ - 2灯+ 2由题意，当彳&12)时/ (1)H ,当x 6 (2,+言)时/ (1)：口，.由函数的连续性可知rQ)=口，即口!：I：二整理得 16k3-2k-3=0,_ 1,3k k= _ 一解得 2或 8验证：,1(I)当 2 时，/,(工)二工3-29-1+2 =(1+1)。-1)0-2)若1(工<2 ,则)。；若132 ,则八幻口，符合题意；k=- fx) =x3 - 2/ +-z+ 2(n)当 '时，1649,7-7193 v 7+7193.= x-)(x - 2)(z )1699,显

36、然不合题意。无于是综上可知，存在2使/(方在(1, 2)上递减，在(2, +8)上递增。(2) /'G"加 + 1若Q>0，则丁,口r R),此时/(才只有一个增区间(-8+8),与题设矛盾;若，则,此时了（力只有一个增区间（一巴+6），与题设矛盾;/=%（/+：）=%6+4）（工-若虹口，则允4一 3a并且当 34 寸-3b时，/1”口 ；当J-3a （- 3仃时，八工）口综合可知，当口时，f 恰有三个单调区间：-11-11（一四/）,（占,+6减区间 J-勿止为 ；增区间 v- 3a止3a进而再利用已知条件对所/（才取得极值，并且极大点评：对于（1）,由已知条件得1

37、r（2）=口 ，并由此获得k的可能取值,得k值逐一验证，这是开放性问题中寻求待定系数之值的基本策略。例7、已知函数/=/+/+历+ 1 ,当且仅当x = -l, z=l时,值比极小值大4.(1)求常数2b的值;(2)求了的极值。解:（1）令义工”口得方程51+3/+力=口f3在x=处取得极值- x=-1或1=1为上述方程的根，p(-l)4+3df(-l)a +5=0故有'/.一5+3(7 + 6 = 0 ,即=-%-5= 5(/ -1) + 3 -1)=h+l)(xT 后，3a+5)又: M 仅当x=+l时取得极值，.方程/:口的根只有1=-1或工=1 ,.方程 5工。3。+5 = 0

38、 无实根，,A = m-4x5x(%+5)K 即为+ 5。543 4J而当 3时，5M +3。+ 5口恒成立，/”的正负情况只取决于 (向)(“1)的取值情况当x变化时， 组)与烟 的变化情况如下表:1(1 , +°0)+00+极小值极大值 在T = -l处取得极大值*1)，在1=1处取得极小值处O由题意得 於1)一m4整理得(7 + i = -3于是将，联立，解得 . (2)由(1)知，/W = -2x + l/(X)碣丈L /(T) = 4 /椅卜通-#) T点评：循着求函数极值的步骤，利用题设条件与fV)的关系，立足研究丁0:口的根的情况，乃是解决此类含参问题的一般方法，这一解

39、法体现了方程思想和分类讨论的数学方法，突出了 “导数 /也)=。”与“烟 在占处取得极值”的必要关系。1 .已知函数f(x)=ax3+(2a-1)x2+2 ,若x = 1是y = f (x)的一个极值点，则a值为 ()A. 2B.-2 C.-D.472 .已知函数f (x) =x3 +ax2+bx + a2在x = 1处有极值为10,贝U f (2)=.3 .给出下列三对函数： f (x)=-,，g(x) =-x， f (x) = ax2(a > 0) , g(x) = J xa1 Vf(x)=-(-) , g(x) = Tog(-x);其中有且只有一对函数 既互为反函数，又同是各3自定

40、义域上的递增函数”，则这样的两个函数的导函数分别是f'(x),g (x) =.4 .已知函数f(x)=x3 +3ax2 +3(a+2)x+1有极大值和极小值，求a的取值范围.5 .已知抛物线y = -x2+2,过其上一点P引抛物线的切线I,使l与两坐标轴在第一象限围 成的三角形的面积最小，求I的方程.6 .设 g(y) =1 -x2 +4xy3 -y4在 y £-1,0】上的最大值为 f (x) , xe R ,(1)求f(x)的表达式；(2)求f(x)的最大值.设 a R R ,函数 f (x) = ax3 3x2.(I)若x=2是函数y= f(x)的极值点，求a的值；(I

41、I)若函数g(x) = f(x) +(x), xw0,2,在x = 0处取得最大值，求a的取值范围.解：(I) f (x) =3ax2_6x =3x(ax2).因为x=2是函数y = f(x)的极值点，所以(2)=0,即6(2a2) = 0,因此a = 1.经验证，当a=1时，x =2是函数y = f (x)的极值点. 4分(H )由题设，g (x) =ax3-3x2+3ax2_6x = ax2(x+3)-3x(x+ 2).当g(x)在区间0,2上的最大值为g(0)时,6一八g(0) > g(2), 即 02 20a24 .故得 a0 . 9 分56 .、反之,当a 0 时，对任意x0,

42、2,53x23x)= (2x +x 10)= (2x+5)(x2) 0 0 ,55而g(0)=0,故g(x)在区间0,2上的最大值为g(0).综上，a的取值范围为3,6 1 12分53已知工=1是函数/3 =瞅3-35+ 1*+呱+1的一个极值点，其中 根猿月崩旬(I)求附 与H的关系表达式；(n)求/的单调区间；(田)当 代T时，函数y= / 的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m,求用 的取值范围解析：（1）本小题主要考查了导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的基本方法以及函数与方程的思想，第2小题要根据 ”）的符号，分类讨论 /（X）的单调区间；第 3小题是二次三项式在一个区间上恒成立的问题，用区间端点处函数值的符号来表示二次三项式在一个区间上的符号，体现出将一般性问题特殊化的数学思想。解答：（I）14 = 3须一6（根+1）k+m ,=是函数/（k）的一个极值点收二3掰+6 ；. 二二、"一+-一： 1 - -二二二二I 12令/如。，得叮用:0,二芍5/与1