用常数变易法求解二阶非齐次线性微分方程学习教案

1、会计学1用常数变易法求解用常数变易法求解(qi ji)二阶非齐次线二阶非齐次线性微分方程性微分方程第一页，共24页。)(, 0).2xPqyypym 是特征复根是特征复根，是特征单根是特征单根，不是特征根不是特征根0)(0)(0, )(2* xQxxxQxQymmm第1页/共24页第二页，共24页。型型)sin)(cos)()(. 2xxPxxPexfnlrx 1) . 当ir不是(b shi)特征根时，则特解具有(jyu)形式)sin)(cos)(*xxRxxQeymmrx 2. 当ir是特征(tzhng)根时，则特解具有形式)sin)(cos)(*xxRxxQxeymmrx ;,max,)

2、()(nlmmxRxQmm 式式次待定多项次待定多项为两个为两个和和其中其中第2页/共24页第三页，共24页。)()()(xfyxQyxPy 将将)()(2211xyCxyCy )()(21xCxC与与中的常数变易成函数中的常数变易成函数).()(21xCxC与与然然后后求求出出 对应齐次方程(fngchng)的通解第3页/共24页第四页，共24页。 )()()()()(0)()()()(22112211xfxyxCxyxCxyxCxyxC例 求 的通解(tngji)；xyycos1 第4页/共24页第五页，共24页。若已知齐次方程(fngchng)0)()( yxQyxPy的一个(y )不恒

3、为零的解),(1xyy 行求解。行求解。化为一阶线性方程，进化为一阶线性方程，进，可将非齐次方程，可将非齐次方程则利用变换则利用变换)()()()(1xfyxQyxPyxuyy 第5页/共24页第六页，共24页。hw：p301 5,8.的通解。的通解。性方程性方程的一个解，求非齐次线的一个解，求非齐次线是齐次方程是齐次方程已知已知例例3221222022)(.xyyxyxyyxyxxxy 第6页/共24页第七页，共24页。9 欧拉方程(fngchng) Euler Equation 欧拉方程欧拉方程(fngchng) )(1)1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn )(为常数为常数k

4、p,tex 令令常系数常系数(xsh)线性微分方程线性微分方程xtln 即即第7页/共24页第八页，共24页。欧拉方程的算子欧拉方程的算子(sun z)解法解法: )(1)1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn ,tex 令令则 xyddxttyddddtyx dd1 22ddxyxttyxtdd)dd1(dd tytyxdddd1222 计算计算(j sun)繁繁! tyyxdd tytyyxdddd222 ,lnxt 则则第8页/共24页第九页，共24页。,ddtD 记记则由上述则由上述(shngsh)计算可知计算可知: yDyx yDyDyx 22, ), 3, 2(dd kt

5、DkkkyDD)1( 用归纳法可证用归纳法可证 ykDDDyxkk)1()1()( 于是于是(ysh)欧拉方程欧拉方程 )(1)1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn )(11tnnnefybyDbyD 转化转化(zhunhu)为常系数线性方程为常系数线性方程:)(dddd111tnnnnnefybtybty 即即第9页/共24页第十页，共24页。例例1.1. .ln2ln2222的通解的通解求方程求方程xxyyxyx 解解:,tex 令令,lnxt 则则,ddtD 记记则原方程则原方程(fngchng)化化为为ttyyDyDD222)1(2 亦即亦即ttytyty22dd3dd22

6、2 其根其根,2, 121 rr则对应则对应(duyng)的齐次方程的的齐次方程的通解为通解为特征方程特征方程, 0232 rrttyDD2)23(22 即即 tteCeCY221 第10页/共24页第十一页，共24页。 的通解的通解(tngji)为为41ln21ln212221 xxxCxCy4121212221 tteCeCytt换回原变量换回原变量, 得原方程得原方程(fngchng)通解为通解为设特解设特解:CtBtAy 2代入确定代入确定(qudng)系系数数, 得得4121212 tty第11页/共24页第十二页，共24页。例例2.2.22的通解的通解求方程求方程xxyxyy 解解

7、: 将方程将方程(fngchng)化为化为xyyxyx22 (欧拉方程欧拉方程(fngchng) ,ddtD 记记则方程则方程(fngchng)化为化为,tex 令令teyDDD2)1)1( 即即teyDD2)12(2 特征根特征根:, 121 rr设特解设特解:,2tetAy 代入代入 解得解得 A = 1,ttetetCCy221)( xxxxCC221ln)ln( 所求通解为所求通解为 第12页/共24页第十三页，共24页。例例3.3.满足满足设函数设函数)(xyy 1,ln5d)(321 xxttytyyxx,01 xy且且. )(xy求求解解: 由题设得定解问题由题设得定解问题(wn

8、t)xyyxyx524 0)1(,0)1( yy,tex 令令,ddtD 记记则化为则化为teyDDD 54)1(teyD 5)4(2特征特征(tzhng)根根: ,2ir 设特解设特解: ,teAy 代入得代入得 A1 第13页/共24页第十四页，共24页。得通解得通解(tngji)为为tetCtCy 2sin2cos21xxCxC1)ln2sin()ln2cos(21 利用利用(lyng)初始条件初始条件得得21, 121 CC故所求特解为故所求特解为xxxy1)ln2sin(21)ln2cos( hwhw：p319 2,4.p319 2,4.第14页/共24页第十五页，共24页。一类(y

9、 li)特殊变系数非齐次线性微分方程)(1)1(11)(xfyayxayxayxnnnnnn 第15页/共24页第十六页，共24页。解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过(tnggu)(tnggu)变量代换可化为常系数微分方程变量代换可化为常系数微分方程. .特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的方特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的方次数次数(csh)相同相同令tex 将方程(fngchng)转化为常系数微分方程(fngchng)。第16页/共24页第十七页，共24页。,1dtdyxdxdtdtdydxdy ,122222 dtdydt

10、ydxdxyd将自变量换为将自变量换为, t,2312233333 dtdydtyddtydxdxyd第17页/共24页第十八页，共24页。用用D表示对自变量表示对自变量t求导的运算求导的运算,dtd上述结果上述结果(ji gu)可以可以写为写为,Dyyx ,)1()(2222yDDyDDdtdydtydyx ,)2)(1()23(232322333yDDDyDDDdtdydtyddtydyx 第18页/共24页第十九页，共24页。.)1()1()(ykDDDyxkk 将上式代入欧拉方程，则化为以将上式代入欧拉方程，则化为以 为自变量为自变量t的常系数的常系数 线性微分方程线性微分方程. .求

11、出这个方程的解后求出这个方程的解后，t把把 换为换为 ，xln即得到原方程的解即得到原方程的解. .一般一般(ybn)地，地，例例求欧拉方程求欧拉方程(fngchng)22334xyxyxyx 的通解的通解(tngji)解解作变量变换作变量变换,lnxtext 或或第19页/共24页第二十页，共24页。原方程原方程(fngchng)化为化为,34)1()2)(1(2teDyyDDyDDD 即即,332223teDyyDyD 或或.33222233tedtdydtyddtyd (1)方程方程(fngchng)(1)(fngchng)(1)所对应的齐次方程所对应的齐次方程(fngchng)(fngchng)为为, 0322233 dtdydtyddtyd其特征方程其特征方程, 03223 rrr第20页/共24页第二十一页，共24页。特征方程的根为特征方程的根为. 3, 1, 0321 rrr所以齐次方程所以齐次方程(fngchng)的的通解为通解为tteCeCCY3321 设特解为设特解为,22bxbeyt 代入原方程代入原方程(fngchng)，得得.21 b所给欧拉方程所给欧拉方程(fngchng)的的通解为通解为.2123321xxCxCCy ,22xy 即即.3321xCxCC 第21页/共24页第二十二页，共24页。例 .34. 203. 12232xyxy