第3节任意项级数敛散性的判别1.ppt课件

1、常数项级数 正项级数 交错级数任意项级数一般项级数1 级数的绝对收敛和条件收敛 . , | 11是绝对收敛的则称原级数收敛若级数nnnnuu . , | , 111是条件收敛的则称原级数发散但收敛若级数nnnnnnuuu ( 即绝对收敛的级数必定收敛 )证证 un | un |2|0nnnuuu, | 1收敛已知nnu, )| ( 1收敛故nnnuu从而. |)| ( 11收敛nnnnnnuuuu . , | 11必收敛则级数收敛若nnnnuu2.交错级数及其敛散性交错级数是各项正负相间的一种级数,nnuuuuu14321) 1(或nnuuuuu) 1(4321其中, un 0 ( n = 1

2、 , 2 , ).它的一般形式为(莱布尼兹判别法)11) 1(nnnu满足条件:(1) (2) un un+1 ( n =1, 2, ) 则交错级数收敛, 且其和 S 的值小于 u1 .0limnnu(级数收敛的必要条件) 若交错级数(单调减少)12212432112mmmmuuuuuuuS122mmuS0 (由已知条件)只需证级数部分和 Sn 当 n 时极限存在.证证1) 取交错级前取交错级前 2m 项之和项之和mmmuuuuuuS21243212)()()(2124321mmuuuuuu由条件 (2) ：得 S2m 及)()(543212uuuuuSm121222)(uuuummm由极限存

3、在准则： . , lim12uSSSmm且存在un un+1, un 0,2) 取交错级数的前取交错级数的前 2m +1 项之和项之和12212432112mmmmuuuuuuuS由条件1) :故 , 0limnnu)(limlim12212mmmmmuSS综上所述, 有。，且 lim1uSSSnn122mmuSSuSmmmm122limlim讨论级数1) 1(nnn的敛散性.这是一个交错级数：nun1又01limlimnunnn1111nnunnu由莱布尼兹判别法, 该级数是收敛.解解例1 . ! ! )2(! ! ) 12() 1( 11的敛散性判别级数nnnn解解! ! )2)(22(!

4、 ! ) 12)(12(! ! )2(! ! ) 12(1nnnnnnun, ! ! )2(! ! ) 12(nunn: )0( 11 可得又由不等式abbaba214365 2232212nnnnun122nn325476 1222nn) 12(1nun, 0121lim ,1210 nnunn且从而由莱布尼茨判别法, 原级数收敛. , 0lim nnu故例2(1) 1 (包括 = ) 时, 级数发散.(3) = 1 时, 不能由此断定级数的敛散性.(达朗贝尔判别法)则存在若设有级数 , |lim , 11nnnnnuuu解解331cos|nnxun由 P 级数的敛散性：. 113收敛nn, | 1收敛故nnu即原级数绝对收敛. 判别级数13cosnnx的敛散性.为常数）（ x例3级数1111) 1(nnn是否绝对收敛?1111) 1(1nnn解解由调和级数的发散性可知, 111发散nn故1111) 1(nnn发散.11n例4但原级数是一个交错级数,