第4章多自由度系统振动cppt课件

1、多自由度系统振动多自由度系统振动小结：作用力方程、位移方程和矩阵小结：作用力方程、位移方程和矩阵多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程)(XMPFX 位移方程位移方程柔度矩阵：柔度矩阵： F中的元素中的元素fij是使系统仅在第是使系统仅在第 j 个坐标受到单位力个坐标受到单位力 作用时相应于第作用时相应于第 i 个坐标上产生的位移个坐标上产生的位移. 柔度矩阵与刚度矩阵的关系：柔度矩阵与刚度矩阵的关系：1 KFIFK )(tPXKXM 作用力方程作用力方程刚度矩阵：刚度矩阵： K 中的元素中的元素 kij 是使系统仅在第是使系统仅在第 j 个坐标

2、上产生单个坐标上产生单位位移而相应于第位位移而相应于第 i 个坐标上所需施加的力。个坐标上所需施加的力。 质量矩阵质量矩阵 ：M 中的元素中的元素 mij 是使系统仅在第是使系统仅在第 j 个坐标上产生单个坐标上产生单位加速度而相应于第位加速度而相应于第 i 个坐标上所需施加的力。个坐标上所需施加的力。小结：耦合与坐标变换小结：耦合与坐标变换多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程质量矩阵中出现耦合项称为惯性耦合。质量矩阵中出现耦合项称为惯性耦合。刚度矩阵或柔度矩阵中出现耦合项称为弹性耦合。刚度矩阵或柔度矩阵中出现耦合项称为弹性耦合。不出现惯性耦合

3、时，一个坐标上不出现惯性耦合时，一个坐标上产生的加速度只在该坐标上引起产生的加速度只在该坐标上引起惯性力惯性力. 同一个系统选择两种不同的坐标同一个系统选择两种不同的坐标X 和和Y 有变换关系：有变换关系：TYX PKXXM PTKTYTYMTTTTT 如果恰巧如果恰巧Y 是主坐标：是主坐标：MTTTKTTT对角阵对角阵这样的这样的T 是否存在？如何寻找？是否存在？如何寻找？不出现弹性耦合时，一个坐标不出现弹性耦合时，一个坐标上产生的位移只在该坐标上引上产生的位移只在该坐标上引起弹性恢复力起弹性恢复力.当当T 矩阵非奇异时，称矩阵矩阵非奇异时，称矩阵A 与矩阵与矩阵TTAT） 合同。合同。对于

4、质量矩阵也如此。对于质量矩阵也如此。线性代数知线性代数知: 合同矩阵具有相同的对称性质与相同的正定性质。合同矩阵具有相同的对称性质与相同的正定性质。对称性质：对称性质： 若矩阵若矩阵A 对称，那么对称，那么TTAT对称对称。证明：证明：矩阵矩阵A 对称，对称，AAT则有：则有：(TTAT)TTTAT(TT)TTTAT正定性质：正定性质：若原来的刚度矩阵若原来的刚度矩阵K 正定，那么正定，那么TTKT仍正定仍正定。因此坐标变换因此坐标变换X TY 不改变系统的正定性质。不改变系统的正定性质。多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程小结：小结：回忆：单

5、自由度系统自由振动无阻尼自由振动回忆：单自由度系统自由振动无阻尼自由振动单自由度系统自由振动分析的一般过程：单自由度系统自由振动分析的一般过程：1、由工程装置建立自由振动的一般方程，并写出振动的标准方程；、由工程装置建立自由振动的一般方程，并写出振动的标准方程；2、根据标准方程，建立本征方程并计算得到本征值；、根据标准方程，建立本征方程并计算得到本征值；3、根据本征值，写出标准方程的通解；、根据本征值，写出标准方程的通解；4、根据初始条件，计算标准方程的特解。、根据初始条件，计算标准方程的特解。单自由度系统自由振动分析的一般目标：单自由度系统自由振动分析的一般目标：1、求系统的固有角频率，即固

6、有频率；、求系统的固有角频率，即固有频率；2、求解标准方程。、求解标准方程。多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 多自由度系统的固有频率多自由度系统的固有频率作用力方程：作用力方程：tMXKXP( )nRX自由振动方程：自由振动方程：MXKX0 在考虑系统的固有振动时，最感兴趣的是系统的同在考虑系统的固有振动时，最感兴趣的是系统的同步振动，即系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，步振动，即系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，随时间变化的规律都相同的运动随时间变化的规律都相同的运动 。多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自

7、由度系统的自由振动和单自由度系统一样，自和单自由度系统一样，自由振动时系统将以固有频由振动时系统将以固有频率为振动频率。率为振动频率。多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动同步振动：系统在各个坐标上除了运动幅值不相同步振动：系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，随时间变化的规律都相同的运动同外，随时间变化的规律都相同的运动 。振动形式振动形式1振动形式振动形式2振动形式振动形式3三自由度系统三自由度系统考虑：同步振动是不是解耦振动？考虑：同步振动是不是解耦振动？ 多自由度系统的固有频率多自由度系统的固有频率作用力方程：作用力方程：)(tPKXXM n

8、RX自由振动方程：自由振动方程：0KXXM )(tfX1)(Rtf 代表着振动的形状代表着振动的形状常数列向量常数列向量 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动Tn21 Tnxxx21 X和单自由度系统一样，自和单自由度系统一样，自由振动时系统将以固有频由振动时系统将以固有频率为振动频率。率为振动频率。同步振动：系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，随时同步振动：系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，随时间变化的规律都相同的运动。间变化的规律都相同的运动。 运动规律的时间函数运动规律的时间函数 MX+KX = 0)(tf X代入，并左乘代入，并左乘

9、：T0KM )()(tftfTT MKTTtftf)()( ：常数：常数M 正定，正定，K 正定或半正定正定或半正定 对于非零列向量对于非零列向量 ： 0MT0KT20令：令：对于半正定系统，有对于半正定系统，有 0对于正定系统必有对于正定系统必有 02nRXnR多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/固有频率固有频率2)()( MKTTtftf 0)()(2tftf 0 ,)(0),sin()(battftatfa、b、 为常数0KXXM )(tf X（1正定系统正定系统 只可能出现形如只可能出现形如 的同步运动。的同步运动。)sin( taX系统

10、在各个坐标上都是按相同频率及初相位作简谐振动。系统在各个坐标上都是按相同频率及初相位作简谐振动。 （2半正定系统半正定系统 可能出现形如可能出现形如 的同步运动。的同步运动。)sin( taX也可能出现形如也可能出现形如 的同步运动的同步运动)(bat X（不发生弹性变形（不发生弹性变形 ）。）。主振动主振动00多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/固有频率固有频率首先讨论正定系统的主振动：首先讨论正定系统的主振动： M 正定，正定，K 正定正定0主振动：主振动：)sin(taX正定系统：正定系统：0KXXM nRX将常数将常数 a 并入并入 中中

11、)sin(tXTn21 代入振动方程：代入振动方程： 0)(2MK有非零解的充分必要条件：有非零解的充分必要条件：0MK2特征方程特征方程 0222212122222222212211211221211211nnnnnnnnnnnnmkmkmkmkmkmkmkmkmk多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/固有频率固有频率0222212122222222212211211221211211nnnnnnnnnnnnmkmkmkmkmkmkmkmkmk021)1(212nnnnaaa解出解出 n 个值，按升序排列为：个值，按升序排列为： 222210ni

12、：第：第 i 阶固有频率阶固有频率频率方程频率方程或特征多项式或特征多项式仅取决于系统本身的刚度、质量等物理参数。仅取决于系统本身的刚度、质量等物理参数。1：基频。：基频。多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/固有频率固有频率采用位移方程求解固有频率：采用位移方程求解固有频率： )(tFPXXFM 位移方程：位移方程：nR X1 KF柔度矩阵柔度矩阵0XXFM 自由振动的位移方程：自由振动的位移方程：主振动：主振动： )sin(tXTn21 代入，得：代入，得： 0IFM)(特征值特征值2/1多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由

13、振动多自由度系统的自由振动/固有频率固有频率0)(2MK采用位移方程求解固有频率：采用位移方程求解固有频率： )(tFPXXFM 位移方程：位移方程：nR X1 KF柔度矩阵柔度矩阵0XXFM 自由振动的位移方程：自由振动的位移方程：主振动：主振动： )sin(tXTn21 代入，得：代入，得： 0IFM)(特征值特征值2/1特征方程：特征方程： 0IFM特征根按降序排列：特征根按降序排列： 021n2/1ii多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/固有频率固有频率例：三自由度系统例：三自由度系统kkkkkkk30203Kmmm000000M0302

14、03321222mkkkmkkkmk0)(2MK2km03101210133210MK2113243mk/1 mk/32. 12mk/23m2kmmk2kkx1x2x3多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/固有频率固有频率小结：固有频率小结：固有频率多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/固有频率固有频率主振动：主振动：正定系统：正定系统：0KXXM )sin(tX代入振动方程：代入振动方程： 0)(2MK有非零解的充分必要条件：有非零解的充分必要条件：0MK2特征方程特征方程 021)1(212nnnn

15、aaa频率方程或特征多项式频率方程或特征多项式固有频率仅取决于系统本身的刚度、质量等物理参数。固有频率仅取决于系统本身的刚度、质量等物理参数。0XXFM 自由振动的位移方程：自由振动的位移方程：主振动：主振动： )sin(tX代入，得：代入，得： 0IFM)(特征方程：特征方程： 0IFM 多自由度系统的模态主振型）多自由度系统的模态主振型）正定系统：正定系统：0主振动：主振动：)sin( taX0KXXM nRXnnRKM、nR0MK)(2特征值问题：特征值问题：特征值特征值特征向量特征向量 n 自由度系统：自由度系统：（固有频率）（固有频率）（模态）（模态）i)(i一一对应一一对应ni11

16、)()(1)(niniiR0MK)(2)(ii)(ii、代入，有：代入，有：多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态模态第第i 阶模态特征阶模态特征值问题。值问题。振动的形状振动的形状0MK)(2)(iiTinii)()(1)(多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动nnnnn 个方程个方程奇次方程组奇次方程组000)()(2)(1222212122222222212211211221211211iniinninnninninniniininiimkmkmkmkmkmkmkmkmk当当 不是特征多项式重根

17、时，上式不是特征多项式重根时，上式 n 个方程只有一个不独立个方程只有一个不独立. i设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有 的某个元的某个元素例如素例如 ）的项全部移到等号右端）的项全部移到等号右端.)(i)(in0MK)(2)(iiTinii)()(1)( 当当 不是特征多项式的重根时，上式不是特征多项式的重根时，上式 n 个方程中有且只有一个方程中有且只有一个是不独立的个是不独立的 。i设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有 的某个元的某个元素例如素例如 ）的项全部移到等号右端）的项全部移到等号右

18、端 。)(i)(in)(, 12, 1)(11, 121, 1)(11 , 121 , 1)(121)(11, 121, 1)(111211)()()( )()()(innninninnninninininnininniniimkmkmkmkmkmk若这个方程组左端的系数行列式不为零，则可解出用若这个方程组左端的系数行列式不为零，则可解出用 表示表示的的 )(in)(1)(2)(1inii，)(i否则应把含否则应把含 的另一个元素的项移到等号右端，再解方程组。的另一个元素的项移到等号右端，再解方程组。多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态模态n

19、 -1个方程个方程非奇次方程组非奇次方程组为使计算简单，令：为使计算简单，令：1)(inTiniii1)(1)(2)(1)(则有：则有：0MK)(2)(iiTinii)()(1)( 当当 不是特征多项式的重根时，上式的不是特征多项式的重根时，上式的 n 个方程中有且只有个方程中有且只有一个不独立一个不独立 。i设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有 的某个元的某个元素例如素例如 ）的项全部移到等号右端。）的项全部移到等号右端。 )(i)(in)(, 12, 1)(11, 121, 1)(11 , 121 , 1)(121)(11, 121, 1)(

20、111211)()()( )()()(innninninnninninininnininniniimkmkmkmkmkmk多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态模态例：三自由度系统例：三自由度系统kkkkkkk30203Kmmm000000M030203321222mkkkmkkkmk0)(2MK2km03101210133210MK2113243mk/1mk/32. 12mk/232kmmmk2kkx1x2x3多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态模态0310121013321113243以以

21、 为例进行说明：为例进行说明：11将将 代入，有：代入，有：110210111012321020023232121由第三个方程，得：由第三个方程，得：235 . 005 . 0221代入第二个方程：代入第二个方程：0221与第一个方程相同与第一个方程相同方程组中有一式不独立。方程组中有一式不独立。例如，将第三个方程去掉例如，将第三个方程去掉321210203121112因此若令因此若令 131122可解出可解出整理整理多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态模态0MK)(2)(iiTinii)()(1)( )(, 12, 1)(11, 121,

22、1)(11 , 121 , 1)(121)(11, 121, 1)(111211)()()( )()()(innninninnninninininnininniniimkmkmkmkmkmk令：令：1)(inTiniii 1)(1)(2)(1)( 解得：解得：)(in的值也可以取任意非零常数的值也可以取任意非零常数ia)(iia将解得将解得 特征向量特征向量 在特征向量中规定某个元素的值以确定其他各元素的在特征向量中规定某个元素的值以确定其他各元素的值的过程称为归一化值的过程称为归一化 。多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态模态正定系统：正定

23、系统：0主振动：主振动：)sin(taX0KXXM nRXnnRKM、nR)(iia将将 ， 代入主振动方程代入主振动方程,ii并将并将改为改为第第 i 阶主振动阶主振动 ：)sin()()(iiiiitaXTiniixx)()(1)(XTinii)()(1)( 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态模态系统在各个坐标上都将系统在各个坐标上都将以第以第 i 阶固有频率阶固有频率wi 做做简谐振动，并且同时通简谐振动，并且同时通过静平衡位置。过静平衡位置。 )sin()()(2)(1)()(2)(1iiiiniiiniitaxxx多自由度系统振动

24、多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动第一阶主振动第一阶主振动第二阶主振动第二阶主振动第三阶主振动第三阶主振动三自由度系统三自由度系统系统在各个坐标上都将以第系统在各个坐标上都将以第 i 阶固有频率阶固有频率wi 做简谐振动，做简谐振动，并且同时通过静平衡位置并且同时通过静平衡位置 123第第 i 阶主振动阶主振动 ：)sin()()(iiiiitaXTiniixx)()(1)(XTinii)()(1)()()()(2)(2)(1)(1ininiiiixxx 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动)sin()()(2)(1

25、)()(2)(1iiiiniiiniitaxxx)sin(iiita第第 i 阶主振动阶主振动 ：)sin()()(iiiiitaXTiniixx)()(1)(XTinii)()(1)( )()()(2)(2)(1)(1ininiiiixxx 比值：比值： 虽然各坐标上振幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统虽然各坐标上振幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统振动形态已确定振动形态已确定 。描述了系统做第描述了系统做第 i 阶主振动时具有的振动形态，称为第阶主振动时具有的振动形态，称为第 i 阶阶主振型，或第主振型，或第 i 阶模态。阶模态。)(i 主振型仅取决于系统的主振型仅取决于系统的 M

26、 阵、阵、K 阵等物理参数。阵等物理参数。多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态模态第第 i 阶特征向量阶特征向量 ，就是系统做第，就是系统做第 i 阶主振动时各个坐标上位阶主振动时各个坐标上位移或振幅的相对比值移或振幅的相对比值 。)(i正定系统：正定系统：0KXXM nRXnnRKM、第第 i 阶主振动阶主振动 ：)sin()()(iiiiitaXni1系统的自由振动：系统的自由振动：niiiiinnnntatataat1)()(222)2(111)1()sin( )sin()sin()sin()(XTiniixx)()(1)(XTinii

27、)()(1)( n个主振动的叠加 模态叠加法模态叠加法 由于各个主振动的固有频率不相同，多自由度系统的固有由于各个主振动的固有频率不相同，多自由度系统的固有振动一般不是简谐振动，甚至不是周期振动。振动一般不是简谐振动，甚至不是周期振动。 ：)1(,niaii初始条件决定初始条件决定多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态模态例：两自由度弹簧质量系统例：两自由度弹簧质量系统m2m2kkkx1x2求：固有频率和主振型。求：固有频率和主振型。多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态模态解：解：003220

28、02121xxkkkkxxmm 动力学方程：动力学方程：令主振动：令主振动： )sin(2121txx或直接用或直接用 0MK)(2002322122mkkkmk得：得： m2m2kkkx1x2多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态模态00322002121xxkkkkxxmm 002322122mkkkmk00231122105722311220021212km令令 特征方程：特征方程： 5 . 2, 121mkmk581. 1,2111为求主振型，先将为求主振型，先将 代入代入 ：一个独立一个独立 12令令11那那么么111）（第一阶主振型

29、：第一阶主振型：12令令21那那么么5 . 22代入代入122）（第二阶主振型：第二阶主振型：多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态模态同理：同理： 111 ）（第一阶主振型：第一阶主振型：122）（第二阶主振型：第二阶主振型：画图：画图：横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值。横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值。 第一阶主振动第一阶主振动:11多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动m2m2kkkx1x2mk /1mk /581. 12两个质量以两个质量以w1为振动频率，同

30、时经过各自的平衡位置，方向相为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相同，而且每一时刻的位移量都相同。同，而且每一时刻的位移量都相同。aa同向运动同向运动( )( )sin()iiiiiatX111 ）（第一阶主振型：第一阶主振型：122）（第二阶主振型：第二阶主振型：画图：画图：横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值 -21多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动m2m2kkkx1x2第二阶主振动第二阶主振动: mk /1mk /581. 12两个质量以两个质量以w2为振动频率，同时经过各

31、自的平衡位置，方向相为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相反，每一时刻第一个质量的位移都第二个质量的位移的两倍。反，每一时刻第一个质量的位移都第二个质量的位移的两倍。 异向运动异向运动 2aa111 ）（第一阶主振型：第一阶主振型：122）（第二阶主振型：第二阶主振型：第一阶主振动第一阶主振动:同向运动同向运动始终不振动点始终不振动点11-21多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动无节点无节点 一个节点一个节点 m2m2kkkx1x2第二阶主振动第二阶主振动:异向运动异向运动 mk /1mk /581. 12节点节点 如果传感器放如果传感器放在节

32、点位置，在节点位置，则测量的信号则测量的信号中将不包含有中将不包含有第二阶模态的第二阶模态的信息信息 。正定系统：正定系统：0KXXM nRXnnRKM、0MK)(2特征值问题：特征值问题：特征矩阵特征矩阵记为记为 B或或)(B2iadjB)(i当当 不是重特征根时，可以通过不是重特征根时，可以通过 B 的伴随矩阵的伴随矩阵 求得相求得相应的主振型应的主振型 。根据逆矩阵定义根据逆矩阵定义 ：BBBadj11两边左乘两边左乘 ：BBBBIBadj0)()(iiadjBBi当当 时时 ：0)()(2iiadjBMK或或0MK)(2)(iiTinii)()(1)()(iadjB的任一非零列都是第的

33、任一非零列都是第 i 阶主振动阶主振动)(i多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态模态主振动的伴随矩阵求法：主振动的伴随矩阵求法：伴随矩阵：矩阵伴随矩阵：矩阵A中的元素都用它们在行列式中的元素都用它们在行列式A中的代数余子式替换后得到的矩阵中的代数余子式替换后得到的矩阵再转置，这个矩阵叫再转置，这个矩阵叫A的伴随矩阵。的伴随矩阵。 A与与A的伴随矩阵左乘、右乘结果都是主对角线上的元素全为的伴随矩阵左乘、右乘结果都是主对角线上的元素全为A的行列式的对角阵的行列式的对角阵。 例：三自由度弹簧质量系统例：三自由度弹簧质量系统2kmmmk2kkx1x2

34、x3求：固有频率和主振型。求：固有频率和主振型。多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态模态解：解：动力学方程：动力学方程：主振动：主振动： 或或 0MK)(200030203000000321321xxxkkkkkkkxxxmmm )sin(321321txxx000310203321222mkkmkkkmk2kmmmk2kkx1x2x3多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态模态000310203321222mkkmkkkmk2km令令 000310121013321行列式行列式00)45)(3(24, 3, 1321mkmkmk/2,/732. 1,/321单根单根 可用伴随矩阵求振型可用伴随矩阵求振型 1)2)(3(313)3(3131)2)(3(3101210132adjMKB2特征矩阵特征矩阵0)()(2iiadjBMK多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态模态1)2)(3(313)3(3131)2)(3(