PPT_抛物线的简单几何性质

1、问题问题1：抛物线的定义是怎样的：抛物线的定义是怎样的？复习回顾复习回顾 平面内与一个定点平面内与一个定点F和一和一条定直线条定直线l的距离相等的点的的距离相等的点的轨迹叫做轨迹叫做抛物线抛物线 .定点定点F叫叫做抛物线的做抛物线的焦点焦点;定直线定直线l 叫叫做抛物线做抛物线准线准线.FMlN问题问题2：抛物线的标准方程有哪几种形式？：抛物线的标准方程有哪几种形式？yxoyxoyxoyxo 图图 形形 焦焦 点点 准准 线线 标准方程标准方程抛物线抛物线y2=2px(p0)的简单几何性质：的简单几何性质： (1) 范围范围（2）对称性）对称性 因为因为 p0p0，由方程可知，由方程可知x0

2、x0，所以抛物线在，所以抛物线在y y轴的右轴的右侧，当侧，当x x的值增大时，的值增大时，|y|y|也也增大，这说明抛物线向右上增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸方和右下方无限延伸 以以-y-y代代y y，方程不变，所，方程不变，所以抛物线关于以抛物线关于x x轴对称我们轴对称我们把抛物线的对称轴叫做把抛物线的对称轴叫做抛物抛物线的轴线的轴x0，yR关于关于x x轴对称轴对称抛物线抛物线y2=2px(p0)的简单几何性质：的简单几何性质：（3 3）顶点）顶点 在方程中，当在方程中，当y=0y=0时时x=0 x=0，因此抛物线的顶点就是坐因此抛物线的顶点就是坐标原点抛物线与它的轴标原点

3、抛物线与它的轴的交点叫做的交点叫做抛物线的顶点抛物线的顶点. . 抛物线上的点与焦点的距抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫离和它到准线的距离的比，叫做做抛物线的离心率抛物线的离心率，用用e e表示，表示，由抛物线的定义可知，由抛物线的定义可知，e=1e=1 （4 4）离心率）离心率原点原点e=1e=1图形标准方程焦点坐标准线方程范围 对称轴顶点坐标离心率yxoyxoyxoyxo（0，0）x轴轴e=1e=1（0，0）（0，0）（0，0）x轴轴y轴轴y轴轴e=1e=1e=1e=1e=1e=1x0 x0y0y0 填空练习填空练习：与椭圆、双曲线的几何性质比与椭圆、双曲线的几何性质比较，

4、抛物线的几何性质有什么特点？较，抛物线的几何性质有什么特点？ （1 1）抛物线只位于）抛物线只位于 个坐标平面内，它可以无限个坐标平面内，它可以无限延伸，但没有渐近线；延伸，但没有渐近线； （2 2）抛物线只有）抛物线只有 条对称轴，条对称轴， 对称中心；对称中心；（3 3）抛物线只有）抛物线只有 个顶点、个顶点、 个焦点、个焦点、 条准线；条准线；（4 4）抛物线的离心率是确定的，其值为）抛物线的离心率是确定的，其值为 半1无1111 例例1 1 已知抛物线关于已知抛物线关于 轴对称，它的顶点在坐标原轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点点，并且经过点 ，求它的标准方程，并用描，求它的标准方

5、程，并用描点法画出图形点法画出图形 x22, 2 M 则将则将M M点代入得：点代入得： 2 2 = 2p= 2p2 2 解得：解得：p=2p=2 因此所求方程为：因此所求方程为：y y2 2=4x =4x )22(列表：列表：描点及连线：描点及连线：oyx 0 1 2 3 4 5 0 0.25 1 2.25 4 6.25 解：解：由已知可设抛物线的标准方程为由已知可设抛物线的标准方程为y y2 2=2px=2px（p0p0） 在抛物线的标准方程在抛物线的标准方程y2=2px(p0)中，令中，令x= , 则则y=p。2p2p2p2pp-p抛物线的通径及简单画法抛物线的通径及简单画法2pp-p

6、这就是说，通过焦点而垂直于这就是说，通过焦点而垂直于x轴的直线与轴的直线与抛物线的两交点坐标分别为抛物线的两交点坐标分别为 ( , p),( ,-p ),连接这两连接这两点的线段叫做点的线段叫做抛物线的通径抛物线的通径，它的长为，它的长为2p.这就是抛物这就是抛物线方程中线方程中2p的几何意义。的几何意义。例例2 2 探照灯探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分（如反射镜的轴截面是抛物线的一部分（如图），光源位于抛物线的焦点处已知灯口圆的直图），光源位于抛物线的焦点处已知灯口圆的直径为径为60cm60cm，灯深，灯深40cm40cm，求抛物线的标准方程和焦点，求抛物线的标准方程和焦点位置位置 解

7、：解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点（抛物线的顶点）与原点坐标系，使反光镜的顶点（抛物线的顶点）与原点重合，重合，x轴垂直于灯口直径。轴垂直于灯口直径。 845445245 设抛物线的标准方程为设抛物线的标准方程为y2=2px(p0).由已知可得由已知可得点点A的坐标为（的坐标为（40，30）,代入方程得代入方程得 302=2p40，解得，解得p= 所以所求抛物线的标准方程为所以所求抛物线的标准方程为y2= x， 焦点坐标为（焦点坐标为（ ，0） 求这个正三角形的边长上另外两个顶点在抛物线于坐标原点正三角形的一个顶点位例,

8、02,32ppxy解:如图826,设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上,且坐标分别为,则:OBOApxypxy又,2,222212122222121yxyx, 0px2px2xx212221即0)xx(p2)xx(2122210)p2xx)(xx(21212121, 02 , 0, 0 xxpxx21:yy 由此可得即线段AB关于x 轴对称,因为x轴垂直于AB,且Aox=30 3330tanxy11,p2yx211. p34y2AB1, p32y11 1求适合下列条件的抛物线方程。求适合下列条件的抛物线方程。顶点在原点，关于顶点在原点，关于x x轴对称，并且经过点轴对称，并且经过点M(5,-

9、4)M(5,-4)顶点在原点，焦点是顶点在原点，焦点是F(0,5)F(0,5)顶点在原点，准线是顶点在原点，准线是x=4x=4焦点是焦点是F(0,-8)F(0,-8)，准线是，准线是y=8y=8答案：答案： y y2 2=16x=16x；x x2 2=20y=20y；y y2 2=-16x=-16x；x x2 2=-32y=-32y2 2一条隧道的顶部是抛物拱形，拱高是一条隧道的顶部是抛物拱形，拱高是1.1m1.1m，跨度，跨度是是2.2m2.2m，求拱形的抛物线方程，求拱形的抛物线方程 提示：在隧道的横断面上，以提示：在隧道的横断面上，以拱顶为原点，拱高所在的直线拱顶为原点，拱高所在的直线为为y轴（向上），建立直角坐轴（向上），建立直角坐标系。标系。答案：答案：x2=-1.1y 1 1、知识小结：知识小结：抛物线的性质和椭圆与双曲抛物线的性质和椭圆与双曲线比较起来，差别较大线比较起来，差别较大: :它的离心率等于它的离心率等于1 1；它；它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；没有对称中心；没有渐近线。准线；没有对称中心；没有渐近线。小结小结 2 2、方法小结：方法小结：利用类比的方法学