线性代数课件--11解线性代数方程组的消元法

1、线性代数线性代数第第1 1章章 线性代数方程组（消元法）线性代数方程组（消元法）第第2 2章章 矩阵矩阵第第3 3章章 行列式行列式第第4 4章章 矩阵的秩和线性代数方程组的解矩阵的秩和线性代数方程组的解第第5 5章章 向量空间初步向量空间初步第第6 6章章 矩阵特征值问题矩阵特征值问题第第7 7章章 线性变换线性变换第一章第一章 线性代数方程组（消元法）线性代数方程组（消元法） 历史上，线性代数的第一个问题是关于解线性代历史上，线性代数的第一个问题是关于解线性代数方程组的问题数方程组的问题mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111

2、通过通过消元法消元法解最简单的二元线性代数方程讨论这解最简单的二元线性代数方程讨论这一应用非常广泛的课题，从而看出研究矩阵的必然性一应用非常广泛的课题，从而看出研究矩阵的必然性. .1.1 解线性代数方程组的消元法解线性代数方程组的消元法 1、 二元线性代数方程组二元线性代数方程组2、 高斯高斯若尔当消元法若尔当消元法线性方程组线性方程组（system of linear equation）线性方程组重要的求解方法是线性方程组重要的求解方法是消元法：消元法：通过对方程组做通过对方程组做同解变形同解变形，使各个方程变成，使各个方程变成分别分别各含一个未知数，并能求出其值，各含一个未知数，并能求出

3、其值，从而得到整个方程从而得到整个方程组组的解，这个解当然的解，这个解当然也可以由数组表示。也可以由数组表示。1、 二元线性代数方程组二元线性代数方程组首先认识首先认识二元线性方程二元线性方程，如，如82 yx4323yxyx方程组的方程组的等价变形等价变形有三类：有三类：1.1.交换组内任意两个方程的次序；交换组内任意两个方程的次序；2.2.任意一方程乘一非零常数；任意一方程乘一非零常数；3.3.任意一方程两端乘同一常数后加到另一方程去任意一方程两端乘同一常数后加到另一方程去. .例例 试用方程组等价变形法，解下列方程组试用方程组等价变形法，解下列方程组4323 ) 1 (yxyx26443

4、2 )2(yxyx864432 ) 3(yxyx线性代数方程组的解有线性代数方程组的解有三种三种可能的情形：可能的情形：(1)(1)惟一确定的解；惟一确定的解；(2)(2)无解；无解；(3)(3)无限多个解无限多个解. .上例三个二元线性方程组上例三个二元线性方程组解的几何意义解的几何意义：2x- -3y= - -4yxox+y=3(a)(a)一对相交直线有一对相交直线有 唯一公共点唯一公共点2x- -3y= - -4yxo-4x+6y= 2(b)(b)一对平行直线无一对平行直线无 公共点公共点2x- -3y= - -4yxo-4x+6y= 8(c)(c)一对重合直线每一一对重合直线每一 点都

5、是公共点点都是公共点 将具有相同未知数个数的多个线性方程看成一个将具有相同未知数个数的多个线性方程看成一个整体，称为整体，称为线性方程组线性方程组. . 若一个方程组含有若一个方程组含有m个方程、个方程、n个未知数，常简称个未知数，常简称为为m n方程组方程组. . m n方程组的解方程组的解应是应是n维数组，维数组，将数组各分量依将数组各分量依次代入未知数时能使次代入未知数时能使m个方程全部成立个方程全部成立. .2、 高斯高斯若尔当消元法若尔当消元法(Gauss-Jordan)对有解的方程组，称为对有解的方程组，称为相容方程组相容方程组，而称无解的方程组为而称无解的方程组为不相容方程组不相

6、容方程组或或矛盾方程组矛盾方程组. 通过三类等价运算，先用第通过三类等价运算，先用第1个方程，将方个方程，将方程组第程组第1个未知数在各个方程中的系数变成只在个未知数在各个方程中的系数变成只在第第1个方程中成个方程中成1，其他方程中全为，其他方程中全为0； 再用第再用第2个个方程第方程第2个未知数在各个方程中的系数变成只在个未知数在各个方程中的系数变成只在第第2个方程中成个方程中成1，其他方程中全为，其他方程中全为0，如此等等。，如此等等。 回顾上例，由于求解过程只是通过方程组回顾上例，由于求解过程只是通过方程组等价运等价运算变各个方程的系数算变各个方程的系数，为简化计算，可省写未知数，为简化

7、计算，可省写未知数，用用列表形式列表形式凸现其系数的变化过程凸现其系数的变化过程. .将方程的系数及常数列抽象成如下表：将方程的系数及常数列抽象成如下表：xy常数列常数列r1 1113r2 22-3-4表表1 14323yxyx重解方程组重解方程组xy常数列常数列r1 1113r2 2 0-5-10表表2 2经等价运算经等价运算r1（-2）+r2，得，得xy常数列常数列r1 1113r2 2 0-5-10表表2 2经运算经运算r2 （-1/5），），得得r1 1113r2 2012表表3 3经运算经运算r2 （-1）+ r1， 得得r1 1 101r2 2012此时常数列位置成为方程组的解此时

8、常数列位置成为方程组的解 21 这样求方程组解这样求方程组解的方法称为的方法称为消元法消元法(elimination)或一般称或一般称为为高斯高斯- -若尔当若尔当(Gauss-Jordan)消元法。消元法。例例 用高斯用高斯- -若尔当消元法解若尔当消元法解3 33 3方程方程组组63329223122zyxzyxzyx例例 用高斯用高斯- -若尔当消元法（或若尔当消元法（或 G J 消元法）解消元法）解方程组方程组 27313423273zyxzyxzyx在表中对方程组所作的等价运算所用记号为：在表中对方程组所作的等价运算所用记号为：1. 1. 第第1 1类运算记成如类运算记成如r r1313，表示将第，表示将第1 1、3 3个方程个方程（即表的第（即表的第1 1、第、第3 3行）交换位置；行）交换位置；2. 2. 对第对第2 2类运算记成如类运算记成如 ，表示将第，表示将第2 2个方个方)101(2r101程（即表的第程（即表的第2 2行）乘常数行）乘常数3. 3. 对第对第3 3类运算记成如类运算记成如 ，表示将组内第，表示将组内第1 1)2(21 r 个方程乘常